解析高考对抽象函数的考查，探究求解此问题的策略

李伟

抽象函数是高考考查的热点之一.解决抽象函数最大的困难是在没有具体函数表达式的情景下，如何通过转化、变形（式）、构造、考察特殊情形等实现问题的解决，显然对技巧性要求比较高，对变式、构造等能力要求比较强，所以了解和掌握转化、变形（式）技巧方法，培养这方面的能力就显得十分重要.本文的目的是通过对近年高考试题对抽象函数考查的分析，介绍几种解决抽象函数问题的技巧方法和策略，以期提升考生解决这类问题的能力.

一、直接利用复合函数的定义解决问题

对于复合函数f（g（x））而言，g（x）的值域应受f（x）定义域的约束，据此求复合函数定义域往往要借助f（x）的定义域构造关于g（x）的不等式，通过解不等式来解决.

例1 （2013年全国卷数学理）已知函数f（x）的定义域为（-1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）.

A.（-1，1） B.（-1，-12） C.（-1，0） D.（12，1）

分析 依据上述思想，构造不等式-1<2x+1<0，解之即可，答案为B .

二、运用函数的性质，借助转化、变形（式）等方法解决问题

函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性、对称性、互为反函数等函数性质.这些性质反映了函数值、自变量值之间的某种特定关系，是解决抽象函数问题中最常见、最基本的方法.下面问题的解决就是来源于这种思考.

例2 （2010年安徽高考试题）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）-f（4）=（ ）.

A. -1 B. 1 C. -2 D. 2

分析 问题的解决显然要用到条件中已知f（1）=1， f（2）=2， 所以将f（3）、f（4）转化为f（1）、 f（2）的形式是问题解决的关键.注意到条件中有f（x）是周期为5的奇函数，借助于奇函数与周期函数的性质，知f（3）=f（5-2）=f（-2）=-f（2）=-2; 同理f（4）= -1，问题即可解决.答案为A.

例3 （2013年高考上海卷）对区间Ⅰ上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}，已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f -1（x），且f -1（[0，1））=[1，2），f -1（（2，4]=[0，1），若方程f（x）-x=0有解x0，则x0=______.

分析 因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f -1（[0，1））=[1，2）， f -1（2，4]）=[0，1）， 所以对于函数f（x）， 当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）-x=0即f（x）=x无解; 当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）-x=0即f（x）=x无解; 所以当x∈[0，2）时方程f（x）-x=0即f（x）=x无解.又因为方程f（x）-x=0有解x0，且定义域为[0，3]， 故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞）， 故若f（x0）=x0，只有x0=2， 故答案为2.

三、构造抽象函数方程（组）实施转化、变形（式）解决抽象函数问题

把不同的抽象函数式符号化，即看做是新的未知变量U、V，以此构造关于新变量U、V的方程组，借助于解方程组的办法求出f（x）的具体表达式，实现问题的解决.下面这个问题就是来源于这种思考.

例4 （2009年安徽高考试题）函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）.

A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3

分析 注意到f（2-x）=2f（x）-（2-x）2+8（2-x）-8.设U= f（x），V= f（2-x），则有U=2V-x2+8x-8，V=2U+4-4x-x2.联立二元方程组并解之得U=f（x）=x2.所以答案为A.

四、充分挖掘已知条件中抽象函数所具有的性质，借助运用性质，通过实施转化、变形（式）等方式解决抽象函数问题

周期函数、奇偶函数、单调函数等概念都是通过抽象函数的形式给出的，反之给出抽象函数的关系式也同样可能包含该抽象函数本身所具有的、有待挖掘的特殊性质，所以通过挖掘抽象函数自身的特殊性质，并应用这些性质去解决问题也是解决抽象函数问题的方法之一.下面这个问题的解决就是来源于这种思考.

例5 （2009年山东高考试题）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m （m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=______.

分析 由条件得f（x+8）=-f（x+4）= f（x），这样就挖掘出抽象函数f（x）是以8为周期的周期函数.再注意到f（x-4）=- f（x），所以f（x）的图象是以直线x=-2为对称轴.综合挖掘出的两个性质及条件得到f（x）在区间[-8，8]上的图象增减性变化形式，再由方程f（x）=m （m>0）在区间[-8，8]上的四个不同根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=-8.

五、通过考察特殊情形，解决抽象函数问题

考察特殊情形是解决数学问题中常见的解题方法，对于解决抽象函数问题仍然有效.根据条件和结论的特点，适当取特殊值，在解决抽象函数问题中同样可以使用.下面这个问题的解决就是来源于这种思考.

例6 （2006年重庆高考试题）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x +x） = f（x）-x2+x，若f（2）=3，求f（1）;又若f（0）=a，求f（a）.

分析 在取特殊值时要基于两点考虑，一是要出现f（2），以此处理掉f（f（x）-x2+x）中的f（x）.二是要出现f（1），便于问题的求解.基于上述考虑，取x=2，得f（f（2）-22+2） = f（2）-22+2，由于f（2） =3，∴f（1）=1.同理：取x=0， 得f（a）=a.

六、通过构造数列实施转化、变形（式）

数列是特殊的函数，对于给出的抽象函数关系式，当自变量赋予自然数值n时，其就是数列递推式.对于这类问题，可以借助于解决数列问题的办法.

例7 （2010年重庆高考试题）

已知函数f（x）满足：f（1）=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y） （x，y∈R），则f（2010）=______.

分析 在条件式中，令x、y取适当整数值，构成递推数列，就可以借助数列知识进行求解.

所以，取x=n，y=1，得f（n）=f（n+1）+f（n-1），由此可推得f（n+3）= -f（n），即f（n+6）=f（n），所以{f（n）}是以6为周期的周期数列.

∵2010=335×6， ∴f（2010）=f（0）.再取x=1，y=0，得f（0）=12， ∴f（2010）=12.

七、视抽象函数为符号，含抽象函数进行运算

视抽象函数为符号，含抽象函数进行运算，通过变形等方式，实现问题的解决.下面问题就来源于这样的思考.

例8 （2013年辽宁高考题）设函数f（x）满足x2f ′（x）+2xf（x）=exx，f（2）=e28，则x>0时，f（x）（ ）.

A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值

分析 如果x>0时，有f ′（x）≥0，即可得到答案D.由条

件的f ′（x）=ex-2x2f（x）x3， 设g（x）=ex-2x2f（x），只需判断g（x）>0（个别点可以等于0）即可.求导后，再由已知条件知g（x）最小值为0.所以f ′（x）≥0（x=2时取等号）， 所以f（x）为增函数，所以选D.

以上是对近几年来抽象函数在高考中的考查类型和解决方法做了系统的分析归纳，供大家在学习中参考.