教材研究：编排意图指向何方？——以人教版“平方根”教学编排为例

☉江苏省南通市第一初级中学 周 玉

教材研究：编排意图指向何方？
——以人教版“平方根”教学编排为例

☉江苏省南通市第一初级中学 周 玉

华东师大终身教授钟启泉先生关于教材使用，曾有深刻的阐释，钟教授认为：“教师究竟是‘教教材’还是‘用教材教’，这是区分新旧教学的分水岭.”并进一步指出：“教师的‘教材研究’，实际上是指教师在深刻理解教材本质的基础上，思考如何借助教材使学习者掌握某种能力（关于自然、社会、文化的知识、技能和态度），从而思考怎样的教学设计.教师的‘教材研究’的焦点在于如何实现教材的两个转化.”受到启发，笔者将围绕义务教育阶段人教版教材中关于“平方根”的编排，就其编排意图展开深入思考，与同行展开研讨，就教于大家.

一、人教版“平方根”的编排及初步理解

在人教版“平方根”中，教科书从典型的实际问题（已知正方形的面积求边长）出发，首先介绍算术平方根，给出算术平方根的概念和它的符号表示；再对数的平方根展开讨论，介绍利用乘方与开方互为逆运算求数的平方根的方法，给出平方根的概念和它的符号表示，并探讨数的平方根的特征.

教材中“算术平方根”是这样定义的：“如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.”在实际教学过程中发现，学生无论在尝试定义，还是理解定义时，往往会忽视“正数x”这个条件，所以导致部分同学在求算术平方根时反而多出一个答案.事实上能做对的同学也未必真正理解了算术平方根的定义，他们中部分人对数的认识，本身就仅停留在前面两个学段所学的“正有理数和零”的范畴，做对实属歪打正着.因为他们在后面“平方根”的学习过程中，又再一次暴露出这个问题，出现了丢解的情况，对于“算术平方根”与“平方根”之间的联系与区别，学生在认知结构上未能将新经验与旧经验进行综合概括去建构知识，所以理解出现偏差.

鉴于学生现有的知识储备与认知水平，我们能否把教学顺序进行调整，先介绍平方根，再介绍算术平方根呢？

先来看看教科书为何作此安排，人教版八年级上册《教师教学用书》指出：由于实际中所求问题的答案往往是正数的情况，因此教科书先介绍算术平方根，让学生看到算术平方根与实际的联系，在学习算术平方根的基础上再学习平方根.初中数学新课程特别重视问题情境的创设，常常把它作为数学知识的重要来源.那么此处的问题情境究竟能否起到抛砖引玉的作用呢？

二、基于“认知根源”的进一步分析

塔尔在1989年提出认知根源的概念，与某个数学概念相关的特定的生活经验是个体认识这个数学概念的认知根源.教材为引入“算术平方根”创设的问题情境，可以看作是学生学习“算术平方根”的认知根源.认知根源具有两重性，一方面有可能助长概念生成，一方面也可能阻碍概念发展.此处的问题情境有助于学生生成“算术平方根”的概念，却不利于学生在“算术平方根”的基础之上建构“平方根”的概念，甚至给学生造成一种错误的印象，即“方程x2=25只有一个解”.

如何发挥这个认知根源的优势，帮助学生由具体的实例向抽象的概念过渡，避免给“平方根”的学习造成不必要的困惑，笔者认为可以调换一下“平方根”的教学顺序，先教“平方根”再教“算术平方根”.顺便指出，著名特级教师李庾南老师在平方根的第1课时，就是先组织学生学习平方根，再引出算术平方根的概念，笔者感觉非常自然、大方，而且有数学味.

学生在抽象“已知正方形求面积”这个问题时，仅能到达“已知x2=25，求x”这个水平，无法达到“已知正数x的平方等于25，求正数x”这一水平，鉴于此，作为教者，我们应充分尊重学生的实际认知能力，在此基础上开展教学.

平方根属于运算性概念，而运算性概念包含“过程”和“对象”两重特性.斯发德认为“运算性（即过程）是获得概念的第一步”，研究表明，只有在“过程”上花足够的时间，积累相当多的经验，才能最终形成概念“对象”.由此可见，平方运算是认识“平方根”的基础，而且是必经之路.那么就让学生从平方运算“x2=25”开始，认识开平方运算、认识平方根，又有何不可呢？为什么要人为地制造障碍，增加附加条件“（正数x）2=25”，使简单运算复杂化呢？

而且学生的这个认知漏洞可以在后面的解答中得到弥补，因为“正方形边长不可能为负数”这一认知水平学生还是具备的，学生完全可以通过检验这一步骤来完善整个问题的解答.也许学生在建模过程中出现瑕疵，让教学看上去不那么完美，但是以尊重学生认知规律为基础的教学本身才是完美.教材如此安排，还有一个原因是“正数有两个平方根”与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同，学生不易接受，所以教材先介绍算术平方根的概念，再介绍平方根的概念.那么学生是否真的对此一穷二白，毫无准备呢？事实上，学生进入初中数学的学习，遇到的第一个问题就是“从正数到负数”，因此八年级的学生所认识到的数已扩充至有理数，包括正有理数、负有理数和零，“负数”是他们认知概念中必须具备的；而且在七年级第一学期就认识到“绝对值是1的数有两个”这类双解的问题.

三、建议先讲平方根，再定义算术平方根

前苏联教育家维果茨基提出的最近发展区理论表明，儿童有两种发展水平，“一种是已经达到的发展水平；另一种是儿童可能达到的发展水平”，这两种水平之间的距离，就是“最近发展区”.他主张“教学应走在学生已有发展水平前面”，那么在“平方根”的教学中，我们完全可以不必降低要求，从“算术平方根”入手；相反我们可以在学生已有发展水平之上，提出问题，引出平方根的概念，这样才能真正促进学生的发展，而不是原地踏步.也许从难到易有违情理，看上去不那么完美，但是带动学生更高、更快、更强地发展才是真正的完美.新课程以促进学生全面、持续、和谐的发展为目标，它不仅要考虑数学自身的特点，更强调遵循学生学习数学的心理规律，而先讲平方根正是“数学的不完美”成就了“学生学习的完美”.

1.喻平.数学教育心理学［M］.南宁：广西教育出版社，2008.

2.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程，2014（2）.

4.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.

5.刘东升.悠然神会，妙处与君说——李庾南老师“平方根”课例赏析［J］.中国数学教育，2014（5）.