初三数学教学中渗透初、高中衔接的实践与思考

☉北京四中 唐绍友

初三数学教学中渗透初、高中衔接的实践与思考

☉北京四中 唐绍友

初、高中数学的衔接一直倍受重视，特别是高中数学教师能否在高一教学中进行顺利的衔接，直接影响到学生在数学科上的后续发展和学科成绩.对于高中数学教师如何在高中教学中进行初、高中数学衔接的研究，已经非常深刻了，并且在众多学术期刊有详细的论述，对此，本文不再赘述.笔者主要从初、高中教学的衔接工作的实际出发，对在初三数学教学中如何有效进行与高中的衔接，进行了初步的实践与探索.

一、衔接的可行性和必要性

1.学生数学基础好，数学能力较强，为衔接提供了能力基础

2013年9月，笔者服从学校安排，到北京四中初中部任初三两个A班的数学教学工作（两班共82人）.这两个班的生源构成仅次于两个A+班（即数学竞赛班，共44人），笔者所任教班级的学生数学基础较好，数学能力较强，这为在教学中实施衔接提供了基本条件和能力基础.学生有时间与精力在确保中考的前提下，进行适度拓展与拔高，这是完全可行的.

2.初三学生自我意识的逐步增强，为衔接提供了心理基础

小学生升入初中后，随着成人感的产生，出现了学生自主的需要，他们要求自己的事由自己来做，有了比较强的自我意识.特别是到了初三阶段，独立自主的需要进一步增强，自我意识的迅速发展使学生的求知欲望等多方面能力及良好的个性品质得到相应的发展，发展自我的需要，对形成一个人积极向上的心理，促使个性健康、全面的发展都有重要意义.这种发展自我的需要给初三数学教学中实施高中衔接带来了很好的机遇.因为在衔接中出现的困难与问题，学生有表现自我的心理需要，所以相当一部分学生会独立自主地向困难与问题发起挑战，这为他们独立探究课外的思考问题提供了心理内驱力.所以初三学生自我意识增强的心理特征为实施衔接提供了心理基础.

3.中考与衔接的相融为衔接提供了升学基础

在2014年的北京中考数学中，出现了相当数量的初、高中数学的衔接问题.

一是从考查的知识点看：重点考查的知识点瞄准了初、高中数学的衔接点，为高中数学的学习作了良好的铺垫.比如，多处考查函数图像与几何对称，这两个知识点都是高中数学的重点.高中研究的一些函数几乎都是通过图像去研究的，中心对称与轴对称不但在高中几何里是重要的角色，而且在研究函数图像时也是重要的性质.2014年北京中考卷还注重了四边形的考查，任意四边形、平行四边形、菱形、正方形都出现在试卷中，这也是衔接的标志.因为高中立体几何中的证明与计算都涉及各种四边形的性质，解析几何中也经常用到各种四边形的相关性质.

二是从考查的思想方法看：体现了初、高中数学思想方法的衔接点.例如，2014年北京中考卷第25题以函数的有界性为背景，考查了反比例函数、一次函数、二次函数在给定区间上的最值，这是知识上的衔接，更主要的是数学思想方法的衔接，本题在解决过程中体现了浓厚的数形结合与分类讨论思想.做第三问时，必须从图像入手，确定分类标准，这就实现了“数形结合与分类讨论”交融的目标，这也是高中数学的主要思想方法.

总之，无论从知识点的角度，还是从思想方法的角度，都很好地体现了初、高中的衔接，从而看到了中考与衔接的相融性.所以抓好初三和高中的衔接与中考息息相关.注重衔接不但有助于学生中考成绩的提高，还有利于学生在高中的数学学习中提高效率.由此可见，在尖端学生中注重初、高中数学的衔接对升学是有保障的.这样既可以消除学生因为衔接而影响升学的顾虑，又增强了学生衔接的自信.

4.初、高中数学的重要不同点为衔接提出了必要的要求

初、高中数学主要呈现出如下几个不同点.

一是高中数学表述的抽象性增强.初中数学中的数学描述侧重于粗糙描述与直观描述，而高中数学侧重于精确的量化描述.比如：对函数增、减性的描述.初中用中文描述，y随x的增大而增大，表示增函数图像.而高中用“任取x1、x2∈I，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”，显然量化标准大大增强了，为学生的学习增加了难度.

二是知识容量与难度大幅度增加.初中3年完成6本书的学习，而高中3年要完成10本书的学习，况且知识的难度也有很大提高，学习数学能力的要求也需要提高.所以若不注重初三与高中的衔接，有些学生到了高中学习时就显得很被动.

三是思维方式更加理性.在初中阶段，解决数学问题的思维方式常常是感性、直观的，特别是几何问题的解决，过分依赖于图形的准确性探究结论与思路.而高中数学问题的思维方式常常是理性、严谨的，面对高中代数描述的抽象性，必须依靠严谨的演绎推理，面对立体几何需要空间想象能力，面对解析几何则需要坐标化的定量方法.

从以上初、高中数学的这些不同点看出：从初中到高中，无论从数学知识上还是从思想方法上都呈现出很大的跨度，若不在初三开始衔接，就会让相当一部分学生很难通过这种跨度，从而导致高一学生在数学学习中严重分化，较长时间不适应高中的学习，出现数学成绩下降与心理上的不自信.所以在初三渗透初、高中的衔接是必须的，唯有这样，才能让高中教学有主动权，为学生尽快适应高中数学的学习奠定基础.

二、衔接的实践

1.知识点上的衔接

从高中数学教学的实际情况来看，相当多的知识点在初中没有纳入中考要求或要求较低，这样就给高中教学带来了一些困难.所以在初三教学中，应该把相关知识点纳入教学计划，当然是在不影响中考的前提下进行.主要的知识点如下：绝对值、立方和（差）公式、因式分解中的十字相乘法、分组分解法、二次三项式的双根式法（二次函数双根式）；韦达定理、平行线等分线段；平行线分线段成比例定理；梯形中位线定理、四点共圆的判定与相关性质；射影定理、相交弦定理、弦切角定理、切割线定理.这些知识点在中考中没有要求，而高中数学中又必须用到，若不衔接，就会出现这些知识点的脱节.实践证明，在初三教学中进行适度的衔接是可行的.不但不影响中考，而且还有助于中考成绩的提高.比如：十字相乘法，在解一元二次方程时，能用十字相乘法的，若用公式法解，将会增加运算量，而用十字相乘法解却很容易，特别是在解含参数的一元二次方程时，用十字相乘法解，会事半功倍，而用公式法解，常因为含参代数式开方出错.比如：2011年北京中考第23题第一问就涉及解一元二次方程mx2+（m-3）x-3=0，显然用十字相乘法解占优势.2014年朝阳一模第23题第二问，也涉及解一元二次方程mx2-3（m+1）x+2m+3=0，而且在各地中考与模拟试题中经常出现.所以在初三做好这些知识点的衔接，何乐而不为呢？关于射影定理、相交弦定理、切割线定理、弦切角定理等知识，在解题时可以考虑先证明再用.这样既可以强化证明相似三角形的方法，又能弥补上这些知识点，可谓：“一箭双雕”.对于其他知识点，可以作为专题讲座进行，特别是四点共圆与韦达定理，这两个定理作为专题讲座，重点强化其应用，让学生体会到应用的优越性.用四点共圆求解问题，可以回避一些相似三角形的证明，应用韦达定理求解相关问题，可以回避求根的运算，还可以体现整体代入的思想方法.

2.思想方法上的衔接

（1）适时关注感性思考向理性思考的过渡.

数学思想方法贯穿于数学的始终.因此，数学思想方法的衔接是极其重要的.从总体上来看，初中学生习惯于老师总结的定势思维套路，而且含有较重的感性、直观的成分，而高中数学的思维方法，更加理性、灵活、抽象.从此意义上看，在初三教学中，应该抓住时机培养学生理性分析问题和解决问题的能力和方法.

（2）适时关注常用数学思想方法的衔接.

众所周知，数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程、换元法、消元法、配方法、待定系数法、整体法、构造法等是高中数学的重要数学思想方法.在当今中考形势下，换元法、配方法、构造法比较淡化.比如：求二次函数的最值，绝大部分考生乐于用公式法求解，而不用配方法.事实上，用配方法求二次函数的最值，更容易从代数角度知道最值的所以然，而用公式法求，只是一种重结果的方法，不知其理由，且忽略了方法的形成过程，不利于与高中最值方法的衔接.所以笔者认为在初三教学求二次函数的最值时，应该强调配方法与图像法.因为配方法能让学生知其所以然，图像法能让学生领会到数与形的统一，为学生将来进入高中学习二次函数打下良好的基础.

对函数与方程的衔接教学中，可以在“用函数观点看一元二次方程”一节中，适度深化，可将简单的二次方程实根分布纳入教学计划，旨在强化数形结合、函数与方程之间的关系，为学生学习高中的函数与方程打好基础.关于构造法的衔接，可以在几何、函数的教学中实施，在研究几何变量之中可以建构函数，在证明相等关系中，建构全等三角形与相似三角形.在教学相似三角形与三角函数之后，布置一些课外思考题，让学生构造相似三角形；在研究二次方程实根分布中，可建构二次函数；在研究代数最值问题时，可建构一个目标函数.比如：（1）设a-b=8，b-c=6，求ab+bc+ac的最小值；（2）设ab=8，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的最小值.（1）的解决思路是：通过消元法，将ab+bc+ac转化为3b2+4b-48，于是可以构造一个二次函数y=3b2+4b-48，从而求出其最小值；对于（2），可以引入新变量x，设b-c=x，则可将a2+b2+c2-ab-bcac化为［（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2］=［64+x2+（8+x）2］=

x2+8x+64=（x+4）2+48，从而求出最小值.这两题的题干中并没有说“函数”一词，而是运用恰当的数学方法，将其转化为函数问题，然后构造目标函数，这无疑是强化构造法、消元法、配方法、换元法、函数思想的有效问题.关于其他数学思想方法，按中考要求，已经能达到衔接的效果了.

总之，上述思想方法的衔接要结合教材的知识体系，不但要在知识的形成过程中贯穿与提炼，而且要在知识体系的构建中适当深化.

（3）解题教学中的衔接.

解题教学是数学教学的核心环节之一，解题教学占据了数学教学的主阵地.所以在解题教学中实施衔接是重要突破口.首先，在精选例题与习题上，要紧扣知识与方法的衔接点，当然也不能离开中考的轨道；其次，在讲授例题的教学中，做到自然拓展，逐步引申，让数学思想方法的衔接在这种拓展过程中进行对接.比如，P为等边△ABC内一动点，其边长为2，求PA+PB+PC的最小值，其解决办法是将△CAP绕C点沿顺时针方向旋转60°得到△CA′P′，连接PP′，可将PC与PA转化为P′C、P′A′，从而可得PA+PB+PC的最小值为A′B=2.若到此为止，就浪费了本题在初、高中衔接上的教学价值.事实上可以拓展：（1）P为等边△ABC内一动点，其边长为2，求PA2+ PB2+PC2的最小值；（2）将等边三角形换为直角三角形，请自行编制一题，提出类似问题，并提出解决思路.拓展（1）的解决思路如下所示.以BC边的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则点B（-1，0）、C（1，0）、A（0，）.设点P（x，y），则PA2+PB2+PC2=x2+（y-）2+（x+1）2+y2+（x-1）2+y2=3x2+3y2-2y+5=3x2+（y-1）2+4，则x=0、y=时，PA2+PB2+PC2取得最小值4.此题的解决可以达到两个教学目标：（1）激发学生的思考欲望，从几何的角度入手非常困难，面对这种困难，要学会变换思维的角度，从代数的角度思考，这有利于培养思维的灵活性与深刻性；（2）从思想方法的角度看，原题展现了几何的变化技巧与化归技巧，而拓展（1）却展现了坐标化（即代数化）的技巧，实现了数形统一的数学思想，从中渗透了解析法的思路，这有利于高中解析几何的教学，所以起到了自然衔接的作用.拓展（2）旨在顺应学生的自我意识、独立自主的心理特征，培养学生独立思考、独立设计数学问题的意志品质，也是为高中数学教学的自主学习提供了前奏曲.

又比如：关于x的方程x2-x+m=0有两个均大于-1的不等实根，求实数m的取值范围.

拓展1：关于x的方程（x2-1）2-（x2-1）+m=0有4个不等实根，求实数m的取值范围；

拓展2：关于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+m=0有8个不等实根，求实数m的取值范围.（注：这是笔者在2014年2月27日西城区公开课的教学片断）

拓展3：（课后思考）讨论关于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+ m=0的实根的情况.

通过本题的教学，可以达到如下目标.

（1）强化转化与化归思想的应用，将方程问题转化为函数问题，再将函数问题转化为图像问题，这正是高中数学所必须学习的方法；

（2）从拓展问题可进一步体会到转化思想的应用价值，通过换元法，将高次方程转化为低次方程，将解一个复杂的方程转化为解两个较简单的方程，实现了复杂问题简单化、陌生问题熟悉化的转化目标；

（3）通过图形特征代数化的抽象概括过程，强化数形结合的思想，从中领悟到数形之间的等价转化关系.

对于拓展（3），旨在使学生的学习内容弹性化，突出学生的个性化选择，为培养尖端学生提供素材，满足学生发展自我的心理需求，也是强调在分类讨论、数形统一、函数与方程中的衔接.

总之，在初三数学教学中要精选和设计具有衔接价值的典型例题与习题，充分发挥其深刻的教学价值，自然地架起初中数学通往高中数学的桥梁.美国著名的数学教育家波利亚说得好：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”.所以在例、习题的教学中，既要体现初中教学的重点要求和方法，又要根据衔接的需要，发挥例、习题在衔接方面的教学价值.比如通过第一个例题的学习，把学生引领到几何与代数两个领域，后者体现与高中解析法的衔接；通过第二个例题的学习，把学生引领到“函数与方程思想”“转化思想”“数形结合思想”“换元法”等不同数学思想方法的学习中，题组的坡度明显，循序渐进，让学生“跳一跳够得着”.无论是从知识点（实根分布）上还是从数学方法方面都体现了较好的初、高中衔接，发挥了例、习题各方面的价值.

三、衔接的成效与思考

1.衔接的成效

笔者通过一年的教学实践，取得了一定的成效.

（1）从学生反馈的信息来看.学生在评教作文中写到：“唐老师不仅教给我们做题，更教给我们如何思考”“他布置的作业永远是最适量的，虽然时多时少，但少的时候是要我们探索每一题的精华，多的时候需要我们进行巩固，不打好基础，又如何攀登高峰？”.这说明在初、高中衔接的教学中，让学生学到了数学的思维方法，衔接教学没有加重学生的课业负担与心理负担，是在学生可以接受的状态下进行的衔接教学，学生的收获是比较显著的.

（2）从中考成绩来看.两个班共82人参加中考，平均分112.5分，其中满分（120分）2人，119分1人，118分4人，117分2人，116分8人，115分7人，总计115分以上24人，约占30%，110分以上的70人，约占85%.从这些成绩可以看出：在初三教学中进行衔接教学，有助于中考成绩的提高，有助于尖端学生的培养.衔接让他们的个性化发展得到充分体现，让他们的数学思维得到锻炼和提高，更让学生们学习数学的能力得到展现和提升.衔接不但为学生参加中考提供了正能量，还更有助于他们在高中阶段的学习，为他们在高中数学的学习奠定良好的基础.

2.几点思考

在初三一年的衔接中，刚开始也有一些顾虑和问题：衔接是否会影响学生的中考成绩？衔接的难度控制在什么程度？高中的内容是否下放？衔接的度如何把握？以中考为主还是以衔接为主？这样就给衔接教学提出了值得研究与思考的课题，在此，提出以下几点想法与思考.

（1）衔接的难度应适度控制.

衔接的难度调控，一方面要根据生源的构成进行调控；另一方面要依据中考要求.笔者所任教的两个班的学生没有参加竞赛的任务，所以按照学校的要求，结合班里的具体情况，把难度控制在以中考水平为主，适当延伸与拓展，不刻意追求难度的拔高.在初三上学期教学即将结束时，个别学生的数学能力发展特别超前，比如张卓敏同学的数学思考力超越了本班其他同学的水平，不适合本班的教学难度，所以笔者极力推荐他到竞赛班去学习，后来到了竞赛班，最终获得了全国竞赛一等奖.因此，衔接的难度的把握很重要，对此，笔者设计了问卷调查学生，获得了绝大部分学生的赞同，然后就坚持把教学内容把握在此难度上.

（2）初、高中衔接不等于把高中数学内容简单下放.

实施初、高中的衔接是知识上与方法上的衔接，不是把高中数学内容简单下放，不是提前学习高中数学，应该是为学生后续高中学习数学作一些铺垫.其原因如下.

把高中数学内容下放，势必加重学生的课业负担.学生的接受能力毕竟受年龄的影响.学生的可接受能力可能没有达到学习高中数学所应有的智力水平.所以学习高中数学可能会加重负担.

高中数学内容下放，会影响高中的正常教学.如果学生提前学习了高中数学，那么升入高中后，高中数学的知识点对学生的学习就没有任何新鲜感，学习的内驱力就会打折扣，还会导致厌恶心理的产生，这样就会影响学习效果.

高中数学内容下放，会影响到正确的知识体系的建构，因为高中的知识点之间是相互联系的.比如讲某个知识点，可能会涉及其他多个知识点.如果不讲相关知识点，就只是囫囵吞枣，只知其然，不知其所以然.比如：经常有老师讲由两直线垂直就可以得到k1k2=-1，然后将结论用在解题中，而事实上，学生根本没有直线的倾斜角、直线的斜率的概念.如果讲斜率，又涉及任意角的三角函数，所以没有那么多的时间给学生讲清楚知识形成的来源去脉.这样让学生不理解、不消化去吸收新知识，对学生建构正确的数学知识结构是有害无益的，这是典型的只重结果不要过程的教学，脱离了数学教学的本质.

高中数学内容下放的条件有三个：一是生源很好；二是可以整班直升高中；三是不参加年级统考或区统考.要提前学习高中数学的课程，必须在学好初三课程后，在还有精力和时间的条件下进行.基于此，需要学生的智力因素与非智力因素都很强，才能高速度完成初三学习内容，计划出学习高中课程的时间，如果整个班直升高中，就可以直接接上初三的进度进行高中数学教学，这样就不会影响正常的教学进度.由于本班的教学进度快，所以不能参加统考，可以单独考试，有富余的时间用于数学竞赛与大学自主招生的辅导.这样让学生在参加数学竞赛与大学自主招生考试中有主动权.

综上所述，初、高中的衔接是一项比较复杂的系统工程，不但涉及初三的整个数学课程计划，而且还涉及高中的数学课程计划.在当今新课标下，知识与方法严重脱节，所以衔接的任务相当繁重，必须在初三开始，结合具体的知识与方法的教学实际，将衔接自然地渗透在其中，既不影响中考，又能体现衔接，从而达到良好的衔接效果.