一道测试题的命题“失败”引发的反思

☉江苏省苏州实验中学 丁益民

一道测试题的命题“失败”引发的反思

☉江苏省苏州实验中学 丁益民

一、测试结果引起的交流与反思

最近，笔者所在学校高一年级组织了一次调研测试，在第14题位置编制了以下一道题.

在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c.若c=2acosB，4c2+a2+b2=4，则△ABC的面积的最大值为_________.

本题旨在考查学生对解三角形有关知识的掌握情况，从测试结果来看，全年级458人中仅有12人正确，本题难度可见一斑.翻阅学生的答卷发现很多空白，为此组织了问卷调查，以及与部分学生面对面交流，集中反馈了以下困惑或困难.

①对“4c2+a2+b2=4”无从下手，毫无处理方向；

②不知如何选择△ABC的面积公式，导致解题不畅或卡壳；

③由于是第14题，又是“最值”问题，索性放弃.

面对这些情况，笔者陷入了沉思.

反思1：学生为何面对一些条件、目标表现出无法准确表征的倾向？

反思2：试题命制与学生学习实际的“脱钩”现象何以解决？

要真正解释与解决上述问题，需从教学实际和试题命制两方面去寻求答案.

二、试题命制与考试实情的落差分析

1.试题命制的“初衷”

本着源于课本、高于课本的命题原则，一开始注意到苏教版教材必修5·P17的第5题（下称题1）：“在△ABC中，已知c=2acosB，试判断△ABC的形状.”判断形状是“解三角形”这一章节中重要的题型之一，考虑到若单一考此类问题，学生可能去猜测答案，无法真实、准确了解到学生对此问题的掌握情况，于是决定不直接命制此类问题.恰好搜集到2015届泰州高三第一学期期末卷第13题（下称题2）：“在△ABC中，A、B、C所对应的边分别为a、 b、c，若B=C且，则△ABC的面积的最大值为_________.”于是将二者改装组合，感觉题2中“7a2+的数据烦琐，不利于解答，故将其改为“4a2+b2+c2=4”.在演算过程中，根据式的结构特征，由“阿波罗尼斯定理”演算发现可得出此等腰三角形腰上的中线之长（设为x），即2（a2+c2）=b2+（2x）2，解得，由此联想到2011届南通高三第一学期期末卷第14题（下称题3）：“已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值为_________.”在题3的处理上方法颇多，这样的转化通道或许可为学生的思维走向提供多个方向.

2.考试的实际情况

通过深入的调查与交流，学生反馈了解答中几种主要情形.

情形1：部分学生在条件“c=2acosB”的处理上，选择了不同的转化方向，导致转化过程（推演过程）过于甬长，耗费了解题时间，如有些同学选择用正弦定理将边转化为角，而后花了一些时间才想到将sinC转化为sin（A+B），影响了后面的解题进展.

情形2：在得到“a=b”后，很多同学在“4c2+2a2=4”与三角形面积公式两者之间不知如何架设通道，不能准确地根据信息选用正确的目标关系，导致思维链延长或断裂，无法进行下去.即便想到如何表示面积（如但接下来在“消元”“根式处理”“换元”等环节上出现很多“技术故障”，也使得解题中途“夭折”.

情形3：从调查与交流的学生来看，几乎没有学生想到由“4a2+b2+c2=4”演算出中线长，更不要说通过各种方法来研究三角形的面积的最值了.

3.命题与实际情况的“脱钩”深层分析

从上述命题初衷与现实的落差之大，可见本试题的命制上存在问题.

命制的试题是在成题的基础上加以改编，能力要求明显高于原题，并且是在高三模拟测试题的基础上进行的组合改编，可想而知，题3本身就面向高三学生，综合性强，隐蔽性大，改编之后的题目与高一学生的现有学习能力存在较大距离.原以为改编题是测试学生能力的“好题”，从实际情况来看，实属一厢情愿，成了“废题”——这样的试题不利于学生对基础知识的学习，只能干扰或打击学生学习的积极性.

从信息量上看，命制的试题较题2实际上增加了信息量，而在规定时间内去测试学生的多重表征水平属于极高要求，学生在解题中表现出的信息处理能力完全处于初级水平，那么出现“索性放弃”的尴尬境况就不足为奇了.因此，命制的试题与学生的心理距离相距较远.

从解题过程来看，学生肯定是先入为主地思考问题——先研究“c=2acosB”，再研究“4a2+b2+c2=4”，怎能在短时间内想到运用“阿波罗尼斯定理”求得“中线长”呢？这样的思维跨度很大，对学生的思维能力要求极高，更何况这本身就是数据的特殊产生的“偶然巧合”，学生实际的思维方向根本不可能走向这个方向.

由此可见，在本题的命题立意上出现了极其严重的“主观倾向”，严重脱离了学生的认知基础和思维水平，在命题中更多地以教师的思维视角来揣度学生的认知可能性，甚至以少许学生的思维水平替代了全校（区域）学生的思维水平，这是冒险之举，更是错误之举.因此，在命题中，应充分调查学生的学情，更多地以多数学生的能力水平为基本依托，以当前学生的思维能力为基本要求，恰当、合理地编制试题，特别是在基础年级阶段，务必要做到：重视基础考查，避免高难度，素材选择要适宜，改编尺度要适中，切勿贪求综合度.

三、关于教学层面的思考

从上面的分析可以看出，本案例是当前教学中急功近利心态的一个缩影.受到高考“指挥棒”的影响，不少教师在教学中不重视“三基”的落实，不能从学生的实际情况出发进行教学组织（包括命题），尤其是在基础年级阶段更为严重.刚讲完一个新的概念（知识），与之相关的高考题、模拟题、综合题便纷至沓来，殊不知，这样不负责任“揠苗助长”式的畸形教学行为严重挫伤了学生学习数学的积极性，使得学生越来越畏惧数学、厌倦数学.因此，我们呼吁广大一线教师在教学中务必遵循以生为本的教学理念，立足学情分析，加强研究讨论，有针对性地开展教学的一切活动.

另外，学生在本题解答中表现出的茫然、慌乱等心理状态，也折射出当前教学中“过程性教学”的缺失.事实上，有些教师在教学中过分重视技能方法目标的实施，将教学的重心更多地偏向于解题中技能的传授，而对知识产生的过程不予重视，对知识建构过程中所内含的数学观点和思想方法的揭示视而不见，导致知识技能目标的拔高，造成过程方法目标的丢舍.所以我们要重视引导学生经历知识发生、发展的全过程，充分暴露师生的思维过程，重视他们的表征能力和思维水平的培养，引导学生去参与、探索和体悟数学知识过程中的思想方法.

最后，需要说明的是本文对笔者亲身经历的一个真实案例的解剖，旨在点出当前教学中的一些问题，盼引起广大同仁的重视与研讨.

1.许志者.浅谈试卷编制的几个要素［J］.中学数学（上），2015（7）.

2.张俊.例谈改编课本题的“七种武器”［J］.数学通讯，2015（7）.A