谈高中数学教学结构的优化

王明山

（兴化中学，江苏 兴化 225700）

自新课标实施以来，数学教学的目标设置就由单一的知识目标向知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观三维目标转化，评课的标准也由单一“严谨科学”形式向评目标、评教学理念、评教学个性[1]的三维形式转化，进而具体为评亮点、研究点和努力点的“三点”转变；但同时，也出现了一些“怪现象”——评课时认为很完美的课，谈到效果却难以尽如人意，甚至个别的连一般也算不上，而不被评为完美的课，效果却往往是很好或不好的两极。这其中缘由，除了个别的公开课有些“作秀”因素外，最初认为是设计的三维目标中过程与方法、情感态度与价值观不具体，过空、过泛，但将之具体化之后，此问题扩张的势头仍然没有得到控制。细究发现，发生这种情况的最大根源在于讲练长期“不协”，其中少数是内容不协，而多数则在于难度或顺序或思想方法的不协，亦即教学结构出现了问题！那么如何优化教学结构，就是一个迫切而又现实的问题。

一、数学教学结构的含义

教学结构是指在一定的教学思想指导下，为完成一定的教学目标，对构成的诸因素在时间、空间方面所设计的比较稳定的、简化的组合方式及其活动程序。它既含有一节课的总体宏观和过程微观安排，也包含教学理念、方法的备课预设、课后反思以及练习或作业的布置设计。目前,中小学已经不再是二三十年前的“有教材缺教辅”的时期，而是教辅材料随处可见，以内容选材料对各学校而言已不再是问题，甚至以内容创编材料也正在有条件的学校酝酿或兴起。如何安排这些材料，使其更好地为内容服务，就构成了教学结构优化的核心内容。

目前，对数学教学结构，由于侧重点不同，理解也不尽一致，大致有三种认识：其一，认为真正有意义的教学是观念性教学[2]，数学的意义不是一个逻辑概念，而是被理解为生命的表现；不是从文本中提炼出来的，而是从对话中创造出来的[3]。因而在教学方式上应注重活动与探究[4][5]，数学课堂教学的核心在于简约[6]。可见，这是侧重于思想、理念方面的理解。其二，认为每个数学问题的研究对象中，都有一个或多个关键的量，称为元[7]，数学知识的本质包含概念的内涵与外延、概念之间的联系、知识获得过程中蕴含的数学思想方法，以及获得知识的思维过程和元认知过程[8]。数学教学结构的核心是元认知的递进过程，因此操作上注重将概念讲透、点透、练透、悟透。其三，认为数学教育的意义在于让学生的思想更具有逻辑性，数学教学结构是“教与学对应”和“教与数学对应”的双逻辑结构[9]，数学课堂要进行逻辑推理，通过典型例子的分析和自主探究活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含其中的思想方法，把数学的艺术形态转变为学生易于接受的教育形态[10]，因此数学教学结构重心在于新知与原知间的各种联系，通过这种联系来实现原知向新知的正向迁移。无论何种认识，对真正实施一节课教学的教师而言，不仅要考虑这些材料因素，还要考虑学生状况与自身实际的人为因素，只有将这些因素均考虑进去，找出其中最佳效果的教学结构这一过程，才是教学结构的优化。

二、高中数学教学结构优化的途径和方法

按照教学的次序，数学教学结构的优化也分作备课预设优化、课堂交流优化及课后反思优化。

（一）备课预设结构优化

所谓备课预设结构优化，指的是在备课之前，对至少两个方案，相互比较优劣，从中选取和组合或改编为一个较好的模式进行的备课预设。课堂效果如何，很多情况下与课前的预设程度有关。

一般情况下，备课预设结构优化要考虑材料和人为两个因素。材料因素主要考虑以下几个问题：该节课的目标是什么？用什么材料？如何嫁接这些材料？有无改编这些材料的必要？如何改编？改编或嫁接后预估问题的难点何在？人为因素主要考虑的是学生和自身两方面，着重于以下几个问题：学生已经知道相关的什么内容？通过什么方式联系亦即用什么教学法来实现已知向新知的迁移？这些方式、方法中哪个对自己而言用得更得心应手？课上对自己、对学生应注意什么问题？

1.系统、章、节教学顺序结构优化

系统、章、节教学顺序结构优化，主要从逻辑关系及分散难点考虑。

就逻辑关系而言，目前的高中数学，主要有四大系统：一是工具系统，含有集合、算法、简易逻辑、推理与证明；二是代数系统，含有函数、不等式、导数、三角、复数、数列；三是概率与统计系统，含计数原理（限理科）、统计、概率；四是几何系统，主要是平面向量、解析几何、立体几何、空间向量及其应用（限理科）。一般情况下，由于工具的基础性及代数的广泛性，决定了高中数学的新知教学，无论是必修还是选修，需将工具、代数教学前置，而将其他教学后置这样有序进行；从分散难点角度而言，分散难点操作的基本理念是“尽量不一步到位”（一次性地将一个系统内容学习完毕）。所以章节的新知教学顺序一般随模块循序渐进。

分散难点有两层含义：一是尽量使各难度较大的单元或章节不集中在一段时间内进行——过分集中的结果，往往是人为增加了学生的学习难度；二是具体到每节课上，基于多数学生“跳一跳可够得着”的思路，设置一节课有且仅有一个难点——无难点的课易“走神”，长此以往，会养成学生懒惰的行为习惯，而两个以上的难点，一般智商、基础的学生往往会学得吃力，长期的吃力就容易让学生丧失学习的兴趣与信心。

2.教学方法结构优化

数学教学方法，大致可分为新式教学法和传统教学法。从教学理论上而言，课堂更侧重学生主体地位的教学方法称新式教学法，目前基本含有活动法和探究法；而将讲授法、讲练结合法、练习法等相结合的课堂更侧重于教师主导地位，以上这些方法归属于传统教学法。从理论上说，采用什么教学方法，又采用多少，取决于学生达到形式思维及其运算的阶段，随着年龄的增长，高中生基本能用形式化的抽象表述进行思维过程，所以新式教学方法就应相应减少，这样传统教学法未必一定不好，新式教学法未必一定就是好的[11]。目前社会上有种偏见，只要是传统教学法就被扣上一个“满堂灌”的帽子，其实真正的教学追求是效果，效果是评价教学方式、方法的唯一标准，而不是其形式，教学上还是要提倡教无定法这一原则性理念的。笔者在1999年就传统教学法总结了几句话：优等生指着走，中等生牵着走，后进生扶着走，可以作为一丝经验参考。

新式教学法的理论基础在于一项大规模的教育心理学研究发现:采用不同的教学方式，学生对所教内容的平均回忆率不同，具体数据为——教师讲授5%、学生阅读10%、视听并用20%、教师演示30%、学生讨论50%、学生实践70%、学生教别人95%。[12]这些落实到具体的教学上，基本就是活动法（含有讨论、角色扮演、模拟与游戏等方法）和探究法。迄今为止，高中用此法成功者还只是零星的个案，多数还在摸索实践当中，目前我们只是知道，影响这种方法实施的最大因素首要的是学生的习惯自觉性，其次是教师驾驭课堂的能力，再次是学生的基础水准。不过从成功的个案中找出共性的结构顺序，基本为“自主学习——合作交流——点拨诱导”，要说优化的话，前面的自主学习，如果用问题引领，如何能更快而有效地切入主题？中间的合作交流，如何使交流不偏离主题？后面的点拨诱导，怎样充分发挥学生教学生的高效作用？

传统教学方法优化的总体思想是如何更好地体现学生的主体地位。所以，讲授法，可分解为小问题展开，或者先让学生讲解，教师再汇总讲解，是优化的方向与思路；讲练结合，必要时是不是将顺序倒过来为练讲结合，这样比照讲练结合效果会更好；练习法，为避免因评判时间延误而遗忘带来效果的打折扣，练习法是否可以将题目变少、变精，做了练习就进行订正或讲评。

3.教学环节结构优化

一节数学课，一般有一定的教学环节顺序，如新知与复习课的环节顺序一般是：引入——知识——例练——小结——作业，这里各环节究竟起到什么作用？能否起到应起的作用？是优化必须要考虑的问题。在流行的教辅资料中，常常将几个基础题作为引入，这一环节有无时间进行？有无必要进行？再如课上例题与练习，是就教材还是就学生手头有的教辅资料，还是自己“另搞一套”？这些例题与教材及自己设想有何关联？目前看来，也许是由于时间所迫或利益驱动的原因，编教辅资料者并未过深地考虑这些问题，不只如此，当中缺陷莫过于这些环节预设没有一个为处理上节课问题预留时间，与之矛盾的是，这种时间预留又基本是每节数学课所必需的！那么，又预留多少时间为宜呢？实践表明，为不影响本节主题，一节45分钟的课，处理上节习题在8分钟之内为宜。就单独一节课而言，许多课的确能称得上一节“好课”，但由于缺少这种处理上节课问题的时间预设，也就难以推广到正常的课堂，这不能不说是个遗憾！

4.作业布置结构优化

现在各校认真负责的教师有许多问题与困惑，一方面不得不为学生身心发展考虑，随社会及政策高呼“减负”，另一方面又要及时讲评作业，讲评时又要求学生勤于思考，所以得要求当天作业当天完成。在这种形势下，作为“主科”的数学，量的完成上一般不存在多少问题，但谁又能知晓到底有多少是学生认真“做完”而不是抄完的呢？这里的关键是没有一个统筹兼顾的考虑，更别谈什么规划与措施了。其中最核心的是作业设置量与难度问题。

我们不妨做一下分析：假如一个学生每天有6门功课，需要写6科作业，写作业时间估计为4个小时，这样平均每科作业时间为40分钟；如果说，在各科都想多挤占一点儿时间的情况下，又要求学生去当天完成，再勤于思考，不出现“应付”状况又怎么可能呢？因此，比较理想的数学作业量是40—45分钟。至于难度，如上文所述，共性问题能够在下节上课的8分钟之内处理完毕为宜，太容易则起不到作用，太难又不可避免地会让下节课出现喧宾夺主的情况。

另一方面，能力毕竟是练出的，而不是看出、听出的，既然练，就得有收获，无收获的不如不练。遗憾的是，如今市面上的教辅资料的习题，多数是在与教材中的争“双基”，使得基础题到处都是，而在基础之上的，又多是竞赛味颇浓的技巧性难题占据主导地位，中等题廖若晨星，成为作业题中的一段空白。所以，布置作业时，让教材习题充当夯实基础的任务；将教材习题稍加拓展延伸或迁移应用，变形为中等题，作为补充题的主要内容；将竞赛题通过分解微型解题、前后呼应、操作实验、质疑纠错、查阅资料的方式变为探究性题[13]，这是作业性质优化的一个方向。

目前，悄然兴起一种仅说或写解题思路的作业设置方法，这种做法值得商榷：毕竟对数学而言，从说出思路到书面表达，还是要有个过程的。可以毫不夸张地说，对数学，听懂了，看懂了，不如自己独立完整地写出，这才能算真正地学会。

最后，感悟出适合所教学生留作业的难度、新颖度的比例与结构顺序，更是作业布置优化的一个方面，[14]因为，2003年高考试题告诉我们，每个题都是好题，但组合在一起未必是一组好题，这与将世界精英球员放于一起，未必是一个好的球队是一个道理。

总之，备课预设结构优化，总体思路是要相互和谐；操作时，主要从逻辑和难点两者来考虑；要点是：逻辑关系理顺，难点分散进行。

（二）课堂交流结构优化

课堂教学，是师生共同就材料进行交流、相互适应的过程，单方面强调学生主体或教师的主导地位，都未免偏颇，所以，课堂交流优化的核心在于灵活，这一点是不能从书本上学来的，这既与人的个性相关，也与经验积累密切相关。

1.课堂引入结构优化

数学课堂引入，目前看来，大致可分为史料式、故事式、生活式、知识推理式和自学预习式，它们各自有各自的优点。从多年实践的结果上看，对于一般智商的学生，自学预习式的课堂引入效果是最差的，遗憾的是，目前许多学校还在“新课标多活动”的口号下，不遗余力地搞自学式预习。当然，不是说采用教材中的引入例子，让学生自学不可以，而是真要自学的话，教师最好要进行重点强调。至于其他几种引入方式优劣，关键看其应用与课堂联系的关联度或者说巧妙程度。不过，对各地学生就感兴趣的引入方式进行调查，结论是：故事式＞生活式＞史料式≈知识推理式，这可以作为数学课堂引入结构优化的一点参考。

2.课堂衔接结构优化

有了环节，就需将各环节衔接起来，衔接得越自然，课堂就越生动，相应效果也就越好。目前，关于课堂衔接，有两种基本的框架结构理论：一是模式推进结构，指围绕该节课的中心，说明主要有哪几类应用，这些应用如何用一般思路解决？与该节课的中心有何关系？这种结构的优点在于中心问题的应用比较全面，如果是这一结构，优化的方面一般也有两个，即如何设置更好的层次结构？如何汇总出操作步骤及注意事项？这两方面可以用一个如何有序来概括。[15]二是双基变式结构理论，认为基础知识教学应求联，基本技能的教学应求变，这一结构，优点在于重点比较突出、层次分明，其优化方向即如何让数学思想充分渗透或彰显，这里将数学思想的关键词作为衔接技术未尝不是个好办法，如“差异分析”“依次二分”等，其具体显现的终极优化目标是“一题式”教学。[16]

3.课堂解题教学结构优化

课堂解题教学，在新课标理念下，常常是先做后评。这样就有两种情形发生：一种是学生解出、解对了，教师是作为一个订正者一带而过还是更充分地暴露其解题思路？若是后者，教师不妨用“分析法”的技巧来阐明，再点明操作的有序步骤、关键点，甚至改进的解法；另一种情况是学生解答有缺陷或解答错误，这时教师是就学生思路点明问题所在并进行优化还是直接用另外巧法进行？笔者认为前者更为优越。上述情形，中学数学教师感受最深，探求优解也是多数数学教师一贯进行的工作。

4.课堂小结结构优化

课堂小结一般是每节课必需的，既然是小结，就得简明扼要地说明一下。对于数学而言，小结不外乎知识、技巧、方法和思想，知识口诀化，技巧注意点化，方法有序化，思想关键词化，是优化的一个方向。[17]

总之，课堂交流结构优化，总体思路是因势利导，具体操作主要从质和量两个角度考虑，要点是，质如何更有序，量如何更简明。

（三）课后反思优化

课后反思的必要性，无须再用理论去说明，实践证明：不进行反思的教学，永远也无经验积累可言。那么，究竟应反思什么内容呢？对以往成果汇总，可以概括为：汇精彩、查缺失、记火花。[18][19]这样，反思优化方向就很明显——首先，能否将这些反思内化为经验？如果将预设作为第一次备课，反思作为第二次备课的话，那么记下积累经验的教后感就可以说是第三次备课。[20]其次，能否将经验上升为一定的理念或理论？

三、高中数学教学结构优化应注意的问题

数学教学结构的优化要适合自身条件，不能生搬硬套。如果教师将感觉好的做法、经验不加分析地搬来贯彻、实施，结果常常是“邯郸学步”，貌合而神离。所以，在教学结构优化上，首先，要反对生搬硬套的冒进，起码对于自身，须有一个一节课如何上的规划。

其次，一个成形集体的数学教学结构的贯彻，需要有一定的规程保障运行，笔者在2003年曾提出一个观点：见问题不说等于零，说了不布置等于零，布置了不检查等于零，如今形势的发展，最好再加上一条，检查了走形式等于零，笔者将此合称为“四零原则”！

再次，我们说到优化，总得有个对象加以比较与鉴别，而不是空洞地说某某就是优化。目前，许多学校教师认为，20世纪八九十年代提倡的素质教育不甚理想，究其原因，在于你也说素质，我也说素质，但它自诞生之日起，作为基层的学校就没有感受到其具体的内涵，是空洞的，更莫谈什么实施的措施与评价了。新课标所倡导的素质教育能够大面积推广并基本获得成功，它告诉我们，由上而下的模式运作，不适合数学教育的深入发展，当转向反思性教学实践[21][22]，由下向上的理论开拓更具有现实意义。因此，数学教学结构的优化不能走避实就虚的路子，而应多一点务实，多一点协作，这样才能让教学结构优化永无止境地走下去。▲

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[21]郑毓信.展望后课标时代[J].中学数学教学参考，2009(10):2-4.

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