建立数学模型解有关应用题

颜元财

应用题是中学数学的重要组成部分，而与实际生产、生活有关的应用题，已经成为当今中高考命题的一个热点.这类题目涉及面广，主要考查学生对数学知识的应用能力.解题的关键在于建立相关的数学模型，然后用所学的数学知识求解.这种解题思路，正是新的课程标准下，数学教材呈现出“问题情境—建立模型—解释应用”的教学模式.建立数学模型的过程可以用下面的框图表示：

下面根据建立模型所用的中学数学知识点进行分类举例说明.

一、运用函数知识建模

例1：某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为了鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件.问当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂獲得的利润是多少元？（2004年北京春季高考题）

解：假设一次订购量为x件，服装的实际出产单价为p元，则可以建立函数模型

因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5850元.

二、运用方程（组）与不等于只是建模

例2：某机床厂生产中所需垫片可外购，也可自己生产.如外购每个价格是1.10元，如自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个垫片的材料和劳动力费用需0.60元.试决定该厂外购或自厂的决策转折点.

解：假设在固定成本增加800元不变的条件下，决定垫片外购还是自厂的关键在于需要量的多少.设该厂每月需要垫片x个，则外购费用为1.10x元.自产费用为（800+0.06）元，当外购费用大于自产费用时则自产，否则便外购.问题转化为求不等式1.10x>800+0.06x的解.解得x>1600.

当该厂垫片需要量在1600个以上时，自产较合算，少于1600个时，自产较合算，少于1600个时，以外购为好，而恰为1600个时，外购和自产一样，都需花费1.10×1600=1760元.

三、运用数列知识建模

例3：某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增量不应超过多少辆？（2002年高考题）

四、运用三角形知识建模

速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/n的速度不断增大.问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？（2003年高考题）

解：假设在时刻t（n）台风中心为Q（如上图）.此时台风侵袭的图形区域半径为10+60（km），若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则可以建立三角模型，即边OQ=10t+60.

由余弦定理知

∴12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

五、运用圆锥曲线建模

例5：A.B.C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6千米，C在B的北偏西30，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4秒后，B，C才同时发现了这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）.A为炮击的方位角.

解：如图，以BA所在直线为X轴，过B点垂直于直线BA的直线为y轴建立直角坐标系，则可建圆锥曲线模型，B，A，C的坐标分别是（0，例6：王教授欲从北京出发，前往智利的圣地亚哥参加国际学术会议.假如只有两种方案供选择：

甲方案：从北京出发，先飞往美国纽约，再从纽约飞往圣地亚哥.

乙方案：从北京出发，先飞往澳大利亚的费里曼特尔，再从费里曼特尔飞往圣地亚哥.

为简单起见，我们把北京的地理位置粗略地认为是东经120度，北纬40度.纽约的地理位置大致是：西经70度，北纬40度.澳大利亚的费里曼特尔的地理位置大致是西经70度，南纬30度.智利的圣地亚哥的地理位置大致是：西经70度，南纬30度.假设飞行航线走的是球面距离.请你比较这两种方案哪一个飞行距离更短些？说明理由.（第三届北京高中数学知识应用竞赛试题）

综上所述，用建立数学模型的思想解题，常常能打破常规，另辟蹊径，使得问题迎刃而解.当然，除了上面介绍的方法外，还可以运用排列组合、概率统计、极坐标、参数方程等知识建立模型，这里不再一一赘述.

参考文献：

[1]叶其孝主编.中学数学建模.湖南教育出版，1998.