神奇的“小叉”：尺规作出三角形

薛竞舟

刚开始学习几何，老师就教给我们各种尺规作图的方法，以前只是模仿操作，很多作法的依据老师并不深入讲解，只说“等你们学习了全等之后就会明白”，我总是对作图中最后出现的那个神奇的“小叉”特别好奇.待到本章学完全等，再看之前有些尺规作图，原来角平分线、垂线、复制角等操作的理由都来自全等三角形.下面我再把教材中提到的一些作三角形的方法整理一下，看看作图过程中那个神奇的“小叉”是如何出来的！

情形1：已知三边作三角形

己知一个三角形三条边分别为a，b，c求作这个三角形.

作法步骤：先作线段BA=c，分别以B，A为圆心，a，b为半径画弧交于C，连接AC，BC，则△ABC即为所求.

作法依据：最后得出的三角形三个顶点都被唯一确定，根据SSS，只要按上述作图保证了三边相等，则两个三角形一定全等.

情形2：已知两边及其夹角作三角形

已知一个三角形的两条边长分别是1 cm和2 cm，这两条边的夹角为40°（如图3）.请作出一个满足题设条件的三角形.

作法步骤：如图4，先作∠MAN=40°，在AM、AN上分别取AB=2cm，AC=1cm，连结BC，则△ABC即为所求.

作法依据：这个作法的关键在于复制∠MAN=40°，那个神奇的小叉就是尺规作角的特征之一，本题作法的依据是“SAS”证明全等.

情形3：已知两角及其夹边作三角形

已知一个三角形的两角分别为∠a、∠β，夹边为a，求作这个三角形.

作法步骤：如图6，先作线段AB=a，再分别以A、B点为顶点，射线AB、BA为一边，在AB的同一侧作∠DAB=∠a，∠EBA=∠β，AD，BE交于C点，则△ABC即为所求.

作法依据：跟“情形1”一样，这里关键是复制两次角，∠a、∠β，依据仍然是SSS复制角；然而作图的顺序跟“情形1”不同，先作出线段AB=a，可以明确三角形的两个顶点.

情形4：已知一直角边、斜边作直角三角形

如图7，已知线段c、b（c>b）.

求作：△ABC，使∠C=90°，AB=c，AC=b.

作法：第一步：作直线MN，并在直线MN上取点C；

第二步：作平角MCN的平分线CE；

第三步：在射线CE上截取CA=b；

第四步：以A为圆心，c为半径画弧交直线CM于B点；

第五步：连接AB.则△ABC就是所求作的三角形（如图8）.

作法依据：上面的作法中作垂直比较费事，其实可以看成是作一个平角的角平分线.

教师点评：尺规作图问题是平面几何的经典，需要合理安排作图次序.如果做一些人文的联想，有点类似于中国古代建筑中的某些木作结构，工序的先后往往决定了成败.在一定意义上说，尺规作图也是这样.小作者在上文中提到四种作三角形的情形，还只是最为基本的作三角形问题，有兴趣的同学还可以深入思考一些较为复杂的作三角形问题，这里不妨提供一例，供挑战.

挑战作图题：已知线段a，b，h. 求作△ABC，使BC=a，AC=b，AC边上的高BD=h.

提示：先作出Rt△BCD，满足斜边BC=a，直角边BD=h，再将CD延长到A，使CA=b，连接AB，所以△ABC为所求.（这里第一次作出的Rt△BCD，常常被称之为“奠基三角形”.）

（指导教师：江海人）