数学课堂教学注重发展学生应用知识的案例研究

刘春妮+舒萍+莫慧琼+黄芳+杨如群

义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课堂教学应着眼于为学生未来生活、工作和学习奠定必备的基础，重视培养和发展学生的数学应用意识，提高学生的数学应用能力。新课标指出，应用意识有两方面的含义：一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题;另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。初中数学课程改革十多年来，许多教师对应用意识教学仍缺乏足够认识，或者只是追求课堂上探究活动所呈现的热闹场面而忽视了数学的本质，人为地把生活与数学割裂开来。我校数学组在刘春妮特级教师工作室的引领下，基于广西A类课题《以教师专业化发展促进中学课堂有效教学实施的研究》，针对数学课堂教学如何注重发展学生的应用意识，采取课型研究形式，根据不同学段和课型进行了案例对比研究。

一、利用数学的概念、原理和方法，解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题，培养学生的数学应用意识

数学是形式化思维的最高境界，让抽象的数学概念、公式注入生命活力，动作思维和形象思维往往是一块很好的敲门砖。在课堂上可让学生动口、动手、动脑，使其体验到数学来源于生活也服务于生活，亲身感受到学习数学概念的意义，从而有效激发学生的学习积极性，充分调动他们的探究热情。

（一）创设问题情境，让学生体会数学概念、原理和方法与实际结合的意义

当前课堂教学仍然存在轻视概念教学的现象，导致学生对数学的概念、原理和方法不求甚解，只会模仿做题，陷入题海之中，成为知识的“存储器”。我校数学组成员在教学中力求让学生联系实际，回归数学的本源，感悟数学精神，领会贯通数学概念、原理和方法。

案例一：人教版（注：本文所举案例均为人教版教材内容）八年级（上）第十二章“全等三角形”第一节

教法1：要求学生观察图1，然后提问——

图1

师：请指出每个图案中图形之间有何关系。

生：形状、大小都相同。

师：利用动画，将上面每组图形中的两个形状、大小都相同的图形重叠在一起，又能发现什么结论？

生：两个图形一模一样，能完全重合。

师：大家看得很仔细！我们把能完全重合的两个图形称为全等形。在全等形中，最常见、最简单的就是全等三角形。

教法2：要求学生观察图1，在教法1的基础上延伸——

师：你能举出生活中一些全等形的实例吗？

生：利用电脑对图形进行复制得到的图形都是全等形，同一张底片洗出的一寸照片也是全等形，两块相同的三角板、两本相同的数学书……

师：对极了！这也恰恰说明全等形在我们生活中有很大用处，我们有必要去研究它。

教法1虽然充分挖掘了教材资源，但对于大量的课堂生成资源视而不见，学生的活动有被强制引导的痕迹，而不是因为学生的学习需要才展开，学生并没有弄明白为什么要学习全等形、学习全等形有什么作用。教法2的设计添加了“让学生举出生活中全等形的实例”这个环节，以开放式的问题为教师提供了更多的课堂生成资源，也让学生经历了从现实世界抽象出几何模型的过程，真正把学生放到了学习主体的位置。

案例二：七年级（上）2.2“整式加减”第一节“概括同类项的定义”

教法1：给出几组单项式（1）2a2b、7a2b、ba2，（2）6xy、-3xy，（3）8n、5n，向学生提问——

师：上节课我们学习了单项式，请同学们观察以上三组单项式，它们有什么共同特点？

生：每组单项式都含有相同的字母，并且相同字母的指数相同。

师：很好，我们将满足这样条件的单项式叫做同类项。

教法2：（1）给出一幅图片，如一些水果任意摆放。

师：怎样摆放这些水果才能便于人们选购？

生：给这些水果分类，将同一种水果放在一起。

（2）有若干张面值不同的钱币混在一起，如何快速而准确地知道一共有多少钱？

生：将五元、一元、五角、一角的钱先分类整理，然后再分别点数。

师：很好，分类在生活中随处可见，给我们的生活带来了很多便利。在数学世界里，是否也存在着某种分类，能让一些复杂的运算变得简便呢？下面我们来考虑一道与分类有关的数学问题。

（3）有8只小白兔，每只小白兔身上都标有一个单项式（如图2），你能根据这些单项式的特征将这些小白兔分到不同的房间吗？（不限制房间数）

图2

生1：我将它们分到两个房间：6xy、3ab2、2a2b;-3xy、-7a2b、-ab2。

师：你是按什么标准分的？

生1：按照系数的正负分类。

生2：根据单项式的次数，我将它们分到三个房间：8n、5n;6xy、-3xy;3ab2、2a2b、-7a2b、-ab2。

师：很好，还有其他的分类方法吗？

生3：我要将它们分到四个房间：8n、5n;6xy、-3xy;3ab2、-ab2;2a2b、-7a2b.

师：这位同学分得很细，大家观察一下他是按什么标准来分的？

生4：它们都含有相同的字母。

生5：并且相同字母的指数相同。

师：很好，我们将满足这样条件的单项式叫做同类项。

教法1是概括同类项定义的常见教学方法，即直接给出几组同类项，让学生观察这些式子的特征，在学生找出特征之后，提出同类项的概念。这样的处理方法缺乏关注数学概念形成的意义，学生的学习是孤立的知识接受和存储。教法2则关注从生活中的分类到数学中的分类，让学生在给单项式分类的过程中发挥主体作用，从个人视角去观察、分类、归纳、研究学习，通过探究去发现一些新的现象和规律，然后用数学概念去解释，总结得出同类项的概念。endprint

（二）利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题

在教学中，我们力求让学生体验用数学概念和原理、方法去解释五彩斑斓的生活现象，解决生活中的问题，一方面激发学生学习的内动力，使学生获得愉悦的学习体验;另一方面让学生体会数学与生活的密切联系，更好地揭示数学的本质，强化数学学习的重要性。

案例三：“轴对称图形”第一课时

师：今天老师带来了一些漂亮的图案（如图3）。观察生活中这些美丽的图案，你有何感想？（学生进行交流，谈自己的感想）

图3

师：同学们知道剪纸艺术吗？剪纸是我国的民间艺术瑰宝，请同学们拿出准备好的剪刀、彩纸，即兴创造一幅剪纸作品，看谁的剪纸最有创意。最好再为你的作品配上一句话，说说这些图案有什么特点，并用一个数学名称来定义具有这些特征的图形。

生：轴对称图形。

案例四：“等式的性质”

师：请依据“生活中的跷跷板、天平”打一数学名词。

生：等式。

师：等式就像平衡的天平，你能否通过加减天平两边的重量，使天平继续保持平衡？请思考如下问题：

（1）在天平两边放入相同重量的物体，天平是否保持平衡？

（2）在天平左边放入一个砝码，右边如何操作才能保持天平平衡？

（3）在平衡的天平一边拿出一个物体，发生了什么变化？应怎样才能使天平保持平衡？

师：通过以上操作，你能得到什么结论？你能用数学语言将其规律描述出来吗？

教师接着给学生提供实验器材，请学生到讲台上动手实验，学生通过实验相互交流的过程不断补充，将等式性质一表述完整并用式子表示出来。

以上两个案例均注重学生自主探究，体现了新课程标准的理念。教师并不是简单地把数学概念和定理传授给学生，而是让学生自己动手实验、观察、讨论、探究，各述所见、所得，找出规律，自己归纳出轴对称图形的概念和等式的性质。学生在生活实验活动中学习，自主探索，抽象出数学原理，从而获得成功体验。在这个过程中，学生不再是被动的知识“储存器”，而是知识的“发现者”，知识发现的过程，是由学生依据自身已有的知识和经验主动建构的，他们真正成为学习的主人，体现了以学生为认知主体的教学思想。

二、将现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题抽象成数学问题，用数学的方法予以解决，培养学生的数学建模能力，发展学生的数学应用意识

数学的本质是数学建模。数学是从现实世界中抽象出来的，它源于生活又应用于生活，数学教学应是逻辑的严谨、形式的抽象、丰富的思考以及生动的呈现相互交融的过程。

（一）经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，从生活的数量关系抽象成数学模型

案例五：九年级（上）“实际问题与二次函数——利润最大化问题”

题目：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。据市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

此题牵涉的已知量和变量较多，综合性强，如何将实际问题转化为二次函数模型来解决问题是本节课的重点和难点。在研讨中，教师们一致认为学生已有了利用一元二次方程解决有关利润问题的经验，而一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系，教学过程可以由一元二次方程模型转化为二次函数模型，进一步加强学生对方程与函数的特殊与一般关系的认识，让学生的思维在原认知的基础上螺旋式上升。在教学中为了突出重点、突破难点，我们采取了合作探究、分类讨论、类比学习的交流活动。

活动1：铺垫练习。假设要获得6 090元的利润，该商品应定价为多少元？此练习是在原题的基础上，只考虑涨价部分，并给定利润，是学生熟悉的一元二次方程问题。教师启发学生通过三个探究问题完成：（1）审题，找出题目中涉及的量及等量关系：总利润=（售价—进价）×销售量。（2）填写表格，探究售价、销售量与涨价之间的关系，通过表1、表2帮助学生找到涨价后的售价、销量与利润的关系。（3）列方程解方程，由学生完成解题过程。

表1

表2

活动2：实现由方程模型到函数模型的转化。通过活动1和前一节课学习利用二次函数解决最大面积问题的经验，学生读完原题后会有一种熟悉感，认为并不难，但真正要动手解题时出现了困惑：涨价和降价的规律不一样，到底是选择涨价还是选择降价来解决问题呢？为了适应学生的认知发展水平，分散本题的难点，教师启发学生对题目进行讨论分析，明确要解此题，关键要解决如下问题：（1）涨价时的最大利润是多少？（2）降价时的最大利润是多少？（3）选择哪种方案利润最大？然后让学生采用分组合作的方式逐一探究解决这三个问题。学生由此学会了利用类比学习、分类讨论对实际问题中出现的大量数据信息进行整合重组，建构利润问题的二次函数模型。

活动3：变式训练，拓展学生的思维，提高学生的灵活应用能力。

变式（1）：改变自变量的取值范围。在原题基础上增加一个条件：“商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%”，与原题不同之处是：自变量的取值范围不仅受销售量限制，还受到利润范围的限制，取得最大值不是二次函数的顶点处，因此不能用顶点坐标公式求解。因为学生容易产生思维定式，认为求最大值都是在二次函数的顶点处取得，设计此题可以让学生注意考虑在实际应用问题中自变量的取值范围。

变式（2）：改变涨（降）价的幅度。某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。据市场调查反映，如调整价格，每涨价0.5元，每星期要少卖出5件;每降价0.5元，每星期可多卖出10件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使该商品利润最大？此题与原题不同之处是：把涨（降）价幅度由每涨（降）1元变成每涨（降）0.5元，设计此题意在让学生明白，解决这类问题需要把问题转化为先求出涨（降）1元时的销售量。endprint

以上两个题目设计层层递进，符合靠近学生“最近发展区”的要求，让学生经历由特殊到一般、由简单到复杂的认知过程，经历自主探究与合作交流的学习过程，提高了学生综合运用知识的能力和迁移能力，激发了学生的学习兴趣，符合学生的认知发展规律。在解题过程中以建模为主线，渗透转化思想、类比思想、数形结合及方程思想，同时引导学生从不同的角度思考并寻找建模的途径，提高其思维灵活性，体现了数学教学的育人价值。

（二）从图形相关问题抽象成数学模型

案例六：课题学习——“最短路径问题”。第一课时。

本节课以数学史的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题探究，让学生经历将实际问题的图形抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）的数学模型。

如上图所示，（1）复习旧知：当点A，B在直线m的异侧（图6）时，如何在m上找到点Q，使AQ与QB的和最小？请说明理由。（2）由旧知导出新知：当点A，B在直线m的同侧（图4）时，如何在m上找到点Q，使AQ与QB的和最小？能否想个办法将其转化为‘直线m异侧的两点（图5），与m上的点的线段和最小，为什么需要这样转化？怎样通过轴对称实现转化？这实际上就是探究最短路径的过程，在这过程中，学生体会到轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，并通过小组学习发现解决最短路径问题的一般方法，总结解决最短路径问题的关键是通过轴对称变换将“折”路径转化在一条直线上，依据“两点之间，线段最短”这一数学模型，达到基本知识的认知建构。

我们的教师还通过设计同类变式、拓展突破问题加强学生对解决最短路径问题的应用，进一步让学生学会利用数学模型解决同一类题。

（1）同类变式：如图7所示，若将军从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到A处，请画出最短路径。

问题1：如何将这个问题转为数学问题？（全班完成）

问题2：如何确定最短路径？（小组合作）

问题3：解决这类最短路径问题的一般步骤是什么？

图7

（2）拓展突破：如图8所示，若将军从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。

图8

设计以上两个问题，意在让学生在归纳、总结相关结论的基础上进行再应用，体会轴对称在解决最短路径问题中的“桥梁“作用。最后总结归纳利用轴对称变换把“折”路径摆成“直”路径解决最短路径问题的基本步骤：①抽象出实际问题中的点和线;②确定已知点关于线的对称点;③利用轴对称的知识将“折”线段转化为“直”线段;④根据“两点之间，线段最短”确定最短路径。即“对称加平移，最短问题不被迷;化归同一线，最短长度图自现”。

综合实践活动是培养应用意识很好的载体，教师应充分利用综合实践活动课调动学生的探究积极性，培养学生的数学应用意识，提高学生的数学应用能力。几年来，我们围绕发展学生的应用意识开展课型研究取得了一定成绩，积累了一些经验。舒萍、莫慧琼、黄芳、杨如群等一批青年教师在教研中迅速成长，分别在自治区、市级优质课竞赛中获得一等奖，教学成绩突出，受到学生广泛好评。我们认为，教师的教不是简单的结论教学，也不是重复训练，只有关注数学应用意识，让数学“接地气”，培养学生的探究意识和创新精神，我们的课堂才能充满生命力。

（责编 周翠如）endprint