TIMSS 2015高中数学评价框架

曾小平+洪小辉

国际数学与科学教育成就趋势研究（The Trends in International Mathematics and Science Study，简称TIMSS），是由国际教育成就评价协会（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement，简称IEA）组织的大型国际教育评价研究项目.该研究的目的在于，评价各国中小学数学与科学教育成就的发展趋势，研究各国数学与科学教育成就同文化背景、教育制度等影响因素的关系，帮助各国提升数学和科学教育质量.

TIMSS的数学评价主要针对四年级、八年级和高中阶段进行. 其中，首次TIMSS高中数学评价于1995年进行，第二次于2008年进行，第三次将于2015年进行. 2014年3月，国际教育成就评价协会的官方网站上发布了TIMSS 2015高中数学评价框架（TIMSS Advanced 2015 Mathematics Framework[1]）. 下面我们对此框架进行详细介绍.

一、TIMSS高中数学评价概要

TIMSS认为，高中阶段的数学学习应当为大学学习做充分的准备，而大学学习又是为学生将来从事科学、技术、工程和数学等职业做准备的.今天的高中学生，将会成为明天的科学家与工程师，将会成为经济社会中科学创新与技术发展的重要力量.因此，国家和社会都应该高度关注高中毕业生的数学水平，以确保其为富有挑战的大学学习做好充分的准备.

因此TIMSS特别针对各国高中数学教育进行评价，主要针对十二年级学生进行.评价框架尽量贴近各参与国家和地区的数学课程标准与教育改革，比如，美国的“共同核心数学标准”（Common Core State Standards for Mathematics[2]，2010）、新加坡的“高中数学教学大纲”（Mathematics Higher 2 Syllabus）、中国香港的“高中数学课程”（Mathematics Curriculum Secondary 4-6）和美国大学理事会的《微积分》（AP Calculus Course Description，2012）.

TIMSS高中数学教育评价重点评价学生数学基础知识的掌握和数学思考的过程. 评价框架包括“知识”和“认知”两个领域，“知识领域”（Content Domains）包括代数、微积分和几何，“认知领域”（Cognitive Domains）包括知道、运用和推理.TIMSS评价结果将有助于各国评价其自身的教育政策与教学策略，优化自身的课程结构，为学生在大学学习科学、技术、工程和数学做好充分准备.

二、评价框架的知识领域

TIMSS 2015高中数学评价框架的“知识领域”包含“代数”、“微积分”和“几何”三个区域，各区域所占比重分别为35%、35%和30%.

（一）代数

代数是进一步学习数学和其他学科的基础，包括“表达式与运算”、“方程与不等式”和“函数”三个主题.

1.代数式与运算

进行指数式、对数式、多项式、有理式、无理式的运算，进行复数的运算;对代数式进行评价;算术级数与几何级数的通项公式，数列的前n项和公式和各项和公式.

2.方程与不等式

求解一元二次方程与不等式;求解指数式、对数式、多项式、有理式和无理式方程;用一元二次方程与不等式解决问题.

3.函数

进行函数的等价表征，比如图象、文字、公式和复合函数等之间的转换;识别和比较指数函数、对数函数、多项式函数、有理函数和无理函数的特征.

（二）微积分

微积分是理解物质世界运行原则的重要手段，也是绝大多数以数学为基础的科学类学科的中心思想.微积分的内容包括极限、微分和积分.重点是极限概念和函数极限、函数的导数与微分，并用这些技能解决问题.

1.极限

求函数的极限（包括无理函数）;确定和描述函数连续与可导的条件.

2.微分

求多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、有理函数、无理函数和复合函数的导数，积与商的导数;利用导数解决最优化和变化率问题;利用一次和二次导数来确定斜率、极值和多项式函数与有理函数的拐点;使用一次和二次导数来绘制和描述函数图象.

3.积分

求多项式函数、指数函数、三角函数和简单无理函数的积分;计算定积分，并利用积分来求面积与体积.

（三）几何

几何被直接用于解决许多现实问题，被广泛用于科学中.同时，源于研究测量问题的三角学，也是几何学的重要元素.几何包括坐标几何与非坐标几何和三角学两个板块.

1.坐标几何与非坐标几何

利用非坐标几何解决平面和立体图形的问题;用坐标几何解决平面几何问题;使用向量解决几何问题.

2.三角学

使用三角学解决涉及三角形的问题;识别、描述和绘制正弦、余弦和正切函数的图象.

三、评价框架的认知领域

TIMSS 2015高中数学评价的“认知领域”包含“知道”、“运用”和“推理”三个区域，各区域所占比重分别为35%、35%和30%.

（一）知道

“知道”是指学生需要知道的数学事实、概念和程序.该区域包含“回忆”、“辨认”、“计算”和“提取”四个层级，各层级的含义见表1.

表1 “知道”的四个层级

（二）运用

“应用”区域，着重于评价学生运用知识和概念的理解来创造表征和解决问题的能力.问题可能来源于现实生活，也可能来源于数学内部，比如数字或代数表达式、函数、方程和几何图形.该区域包含“确定”、“表征、建模”和“实施”三个层级，各层级的含义见表2.endprint

表2 “运用”的三个层级

（三）推理

“推理”需要逻辑性和系统性思维.推理包括形成猜想、基于预先假设与已有规则进行逻辑演绎推理和证明结果.该区域包括“分析”、“整合、综合”、“评价”、“结论”、“概括”和“辩护”六个层级，各层级的含义见表3.

表3 “推理”的六个层级

四、高中数学的评价样题

在TIMSS 2015评价框架的“附录”中，给出了一些评价样题.通过这些样题，我们可以更好地了解TIMSS 2015高中数学评价的形式、理念与重点.

1.下面两个函数模型预测了收益y（美元）与销量x（千件）之间的关系，其中x的范围是0

A. 0

D. 3

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，请确定a，b，c的值.

3.函数f（x）的图象与x轴之间的区域如图2所示，其中A=4.8单位，B=0.8单位，C=2单位.那么定积分f（x）dx的值为多少呢？  （    ）

A. 5.6    B. 6.0     C. 6.8     D. 7.6

4.索菲亚正在研究函数y=x+cosx，其图象如图3所示.索菲亚说：“点A与点B的斜率是相同的.”索菲亚的话是正确的，请解释为什么？

5.如图4所示，半圆形屋子的圆弧墙上装有10扇窗户.如果半圆的半径为r，那么，每扇窗户的宽度是多少呢？（    ）

A. w=rsin9°

B. w=2rsin9°

C. w=rcos18°

D. w=2rsin18°

6.在图5中，一条直线经过点A（1，-2）和点B（3，4）.请问直线AB与直线PQ是否平行？为什么？

通过这些样题，我们可以体会到TIMSS 2015高中数学评价的侧重点是：“知道”区域侧重于评价学生回忆和识别数学事实、程序和概念所必需的能力;“运用”区域侧重于评价利用这些知识解决问题时的数学建模和实施策略;“推理”区域侧重于评价学生进行数学论证和论断时的分析、综合和归纳能力.

参考文献：

[1] TIMSS Advanced 2015 Mathematics Framework [EB/OL]. [2014-03-31]. http：//timss.bc.edu/timss

2015-advanced/frameworks.html.

[2] 曾小平，刘效丽. 美国“共同核心数学课程标准”的背景、内容、特色与启示[J]. 课程·教材·教法，2011，31（7），92-96.