太阳直射点周年变化图新解

邓先武

黄赤交角的存在，引起太阳直射点在南北回归线之间来回移动，这种移动会导致全球昼夜长短变化。昼夜长短的状况与太阳直射点所在的位置密切相关，昼夜长短的变化与太阳直射点的移动方向有一定的关联性。那么，这种关联性是否可以通过我们熟知的太阳直射点周年变化图表示出来？通过查阅文献，笔者发现，目前研究太阳直射点周年变化图的文章虽然不少，但是大多都集中于太阳直射点位置移动所造成的影响。其中包括各地正午太阳高度角的变化，太阳直射点的位置和极夜的范围互求，南北极圈极昼极夜的变化趋势，南北半球昼夜长短的变化趋势，南北半球等温线的凹凸状况。[1]对太阳直射点的移动导致南北半球昼夜长短变化的讨论也仅仅停留在文字分析方面。[2]关于太阳直射点的纬度问题有用数学分析和推导的，也有利用黄经推导出太阳直射点的纬度δ=arcsin（039.7775sinλ），λ是黄经度。并有分时间段利用日期推导太阳直射点纬度，如在春分日（3月21日前后）到秋分日（9月23日前后）这个时间段，δ=arcsin{0.39775×sin[×n]}，n为从春分日开始太阳运行的天数，n∈[0，186];在秋分日（9月23日前后）到冬至日（12月22日前后）这个时间段，δ=-arcsin[0.39775×sin（n-186）°]，n为从春分日开始太阳运行的天数，n∈[186，276];在冬至日到次年春分日这个时间段，δ=-arcsin{0.39775×cos[×（n-276）]}，n为从春分日开始太阳运行的天数，n∈[276，365]。[3]但对太阳直射点周年变化图，至今未发现有人利用函数研究地球昼夜长短情况以及昼夜变化。本文拟对太阳直射点的周年变化图进行函数分析，从中找出其与昼夜长短变化的关系。

一、太阳直射点周年变化图的界定

太阳直射点的移动规律在高中地理已有定论：地球以一年为周期，绕太阳公转，其太阳直射点相应地在南北回归线之间往返移动。这种以时间为横坐标，以太阳直射点所在的纬度为纵坐标所绘制出的太阳直射点的纬度随时间变化的平面图，笔者称之为太阳直射点的周年变化图（详见图1）。特别需要强调的是，太阳直射点的移动轨迹并不是如图1所示的近似于正弦函数的图象，而是一个螺旋状的曲线。对于太阳直射点周年变化图，已有学者提出了太阳直射点所在的纬度y随时间t（单位：日。特别要说明的是，这里的t指的是从1月1日开始的天数）变化的函数关系式。[4]该函数关系式为：

y=arcsin{sin23°26′·sin[■（t-80）]}

通过该函数关系式，可以计算出，当t为6月22日前后，y=arcsin（sin23°26′）=23°26′，正值表示太阳直射点在北半球，此时太阳直射点在北回归线上。当t为3月21日前后或9月23日前后，y=0°，太阳直射点在赤道上。当t为12月22日前后时，y=-23°26′，此时太阳直射点所在的纬度在南回归线上。从这个太阳直射点所在的纬度随时间t变化的函数关系式中可以看出，太阳直射点的周年变化并不是一个正弦函数，而是一个反正弦复合函数，因而其图象也不是正弦曲线，只是由于这个复合函数有点像正弦函数而已（详见图1）。

二、太阳直射点周年变化与昼长变化的关系（以北半球为例）

若把太阳直射点的周年变化图与北半球任一地的昼长放在同一幅图中（详见图2），会发现如下规律：（1）当太阳直射点由南回归线向北回归线移动的时候，北半球任一地的昼长在一直变大。（2）当太阳直射点在北回归线的时候，北半球任一地的昼长达到一年中的最大值。（3）当太阳直射点由北回归线向南回归线移动的时候，北半球任一地的昼长开始由最大值向最小值变化。（4）当太阳直射点在南回归线的时候，北半球任一地的昼长达到一年中的最小值。

若把这条曲线看成一个函数曲线，则会发现：在夏至日到冬至日这个时间区间里， 此函数为减函数;在冬至日到夏至日这个区间里，此函数为增函数。与之相对应的就是在夏至日到冬至日这个时间区间里，北半球某地昼长会越来越短，由最大值变成最小值;在冬至日到夏至日这个区间，北半球某地昼长会越来越长，由最小值变成最大值。在夏至日，北半球任一地昼长都达到一年中最大;在冬至日时，北半球任一地的昼长达到一年中的最小（详见图2）。

三、太阳直射点周年变化与昼夜长短的关系（以北半球为例）

在阐述太阳直射点周年变化与昼夜长短的关系这个问题之前，先要对北半球某地昼夜差下个定义：北半球某地昼夜差就是在同一天该地的昼长减去夜长的差值。该差值可正可负，当昼长大于夜长的时候，该差值为正;当昼长小于夜长的时候，该差值为负。该差值是有限度的，有最大值也有最小值。

为清楚地说明太阳直射点周年变化图与昼夜长短之间存在的关系，笔者把太阳直射点周年变化图与北半球某地昼夜差图综合在一块，形成图3。通过图3，我们能很清楚地看出：（1）太阳直射点在北回归线的时候，北半球任一地昼夜差值最大，即昼长达到一年中的最长，夜长达到一年中的最短，昼长大于夜长。（2）太阳直射点在北半球的时候，北半球某地的昼夜差值大于0。这表明太阳直射点在北半球时，北半球任一地昼长夜短。（3）太阳直射点在赤道时，昼夜差值为0，表明此时全球昼夜平分。（4）太阳直射点在南半球时，北半球某地昼夜差值小于0。这表明太阳直射点在南半球时，北半球任一地昼短夜长。（5）太阳直射点在南回归线时，北半球任一地昼夜差值达到一年中的最小值，也就是昼达到最小值，夜达到最大值。

同样，若把这条曲线看成一个函数曲线，从函数性质来看，夏至日到冬至日这个区间里，此函数为减函数，冬至日到夏至日这个区间里，此函数为增函数。与之相对应的就是，从夏至日到冬至日，北半球某地昼夜差由最大值向0变化再向最小值变化，即北半球任一地在夏至日到秋分日这段区间昼长夜短，在秋分日到冬至日这段区间昼短夜长;但在夏至日到冬至日这个区间里，昼越来越短，夜越来越长。从冬至日到夏至日，北半球某的昼夜差由最小值向0变化再向最大值变化，即北半球任一地在冬至日到春分日这段区间昼短夜长，在秋分日到冬至日这段区间昼长夜短;但在冬至日到夏至日这个区间里，昼越来越长，夜越来越短。在夏至日时，北半球任一地昼夜差值达到最大，白昼最长黑夜最短。在冬至日时，北半球任一地昼夜差值达到最小，白昼最短黑夜最长。

综上，我们可以得出如下结论：（1）通过对太阳直射点的周年变化图进行函数分析并增加新的坐标，可以从太阳直射点的周年变化复合图上看出随着时间的变化，北半球昼夜长短变化状况以及北半球昼夜差状况。（2）在冬至日到次年的夏至日这一段时间内，太阳直射点所在纬度的函数为增函数，与此同时北半球任一地的昼长也由最小值变成最大值。在夏至日到冬至日这一段时间内，太阳直射点所在纬度的函数为减函数，与此同时北半球任一地的昼长也由最大值变成最小值。（3）在冬至日到次年的夏至日这一段时间内，太阳直射点所在纬度的函数为增函数，与此同时北半球任一地的昼夜差也由最小值变成最大值。在夏至日到冬至日这一段时间内，太阳直射点所在纬度的函数为减函数，与此同时北半球任一地的昼夜差由最大值变成最小值。

把昼夜长短情况和昼夜长短变化情况与太阳直射点周年变化图结合在一起就构成了复合图，再用函数的增减性进行分析，就产生了对太阳直射点周年变化图的新解，这有利于学生理解该知识难点，培养综合思维能力以及学科综合能力。

参考文献：

[1] 白云兰.太阳直射点回归运动解读[J].文科教学探索，2006（7）：37-38.

[2] 陈立新.太阳直射点周年移动规律的分析与应用技巧[J].地理教学，2012（13）：25-27.

[3] 蒋洪力.太阳直射点纬度的数学推导和分析[J].数学通报，2007（9）：39-40.

[4] 邓继明.浅谈太阳直射点移动的轨迹[J].考试，2002（3）：38-39.endprint