例析均值不等式工具性视角下的解题技巧

王莉敏

（江西省信丰中学）

均值不等式作为一种解题工具，它在许多问题的解决中应用得较为广泛，而且表现出独特的功能.然而，在使用均值不等式解决问题时，通常需要配合一定的变形与转化技巧，既有难度又不失灵活性.现举例说明如下：

一、凑项

例1.若0＜x＜1，求函数y=x4（1-x2）的最大值.

二、配项

证明：要证原不等式成立，

三、拆项

例3.已知a1，a2，…，an∈R+且a1·a2…an=1，求证：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n.

当且仅当a1=a2=…=an=1 时等号成立.所以原命题得证.

四、串求

时

五、换元

例5.已知a，b，c 为△ABC 三边的长，求证：abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

证明：设m=b+c-a，n=c+a-b，p=a+b-c，

即abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

六、待定系数

例6.已知0＜x＜1，求y=x-x3的最大值.

解：因为0＜x＜1，所以1-x=0，又因为y=x-x3=x（1-x）（1+x）