在“做课题”中引导学生产生数学问题的探讨

杨莉秋

（浙江省杭州市萧山区戴村镇初级中学）

一、问题研究的背景与所要解决的主要问题

提出问题的过程就是对教学内容初步感知和整体把握的过程，随着学生问题的提出，课堂的主人也由教师变成了学生；教师备课也由主观分析教学中的重点、难点，演变成寻找教学中产生的问题；教学反思也由反思教学行为转变为反思学生提出的问题。这样的课堂将成为随着学生知识结构变化量身定做的新课堂。但在实际教学中，学生主动质疑有所欠缺，导致我们一系列的想法和理念无法完整的实现。

学生欠缺主动质疑，归根到底是缺少促使他思考的条件。

小组合作是按照学生的优劣搭配分组，不同层次的学生混搭在一起，导致有些学生由于没有同等的学生激发他思考的动力，有些学生又觉得自己和组内人相差太多，不敢提问。

面对全体学生，老师提出的问题的难度让一部分学生觉得不解渴，另一部分学生又感觉太难。

课堂的时间有限，我们让学生小组合作，但讨论和解决问题的时间很短，根本没有给学生自己思考和提出问题的余地。

学生缺乏提问题的能力与热情，没有养成提出问题、反思问题的习惯。

二、引导学生发现并提出数学问题的策略研究

（一）概念的界定

1.问题

问题是要求人们去完成一个任务，依他们的经验，没有一个现成的可供使用的完成任务的策略。

2.质疑能力

质疑能力是指学生在自主学习过程中，读书、发问、探究的一种学习能力，它是以读书为启端，以提问为轴心，以探究为中心点的自主学习策略。

（二）培养学生产生问题和提出问题的有效策略

以往我们对学生产生问题、提出问题的培养都局限于两个方面：时间上局限于课堂；问题产生的范围局限于书本，实质上是在培养学生如何去解决一个数学问题，而不是去产生数学问题。

那么，如何培养学生产生数学问题呢？最好的办法，是让学生做课题，可以从小课题开始，按学生的实际情况，拉长时间，策略上适宜安排即可。

1.课题的选择原则

（1）可操作原则。课题的选择一定要有可操作性，可以是学生通过社会调查寻求解决问题的方法、动手操作能发现解决问题的方案、通过生活经验能提出课题的问题所在等。

（2）重要性原则。课题要能给学生产生问题的空间，激起学生解决问题的欲望。可以选择教科书后的阅读材料或设计材料，也可以选择课本中已删节但对解决初中数学问题又非常重要的内容，也可以选择课本中的重、难点延伸出的问题。

（3）分层原则。新课标中规定课堂教学要尊重学生的个体差异，满足学生多样化的需求，因此，对于不同层次的学生，老师要引导他们选择不同层次的课题，比如，层次好的学生按照重要性、探究性选择课题，层次一般的学生选择难度适宜却有趣味性的课题。

（4）合作原则。在合作过程中能形成同学之间火花的碰撞，课题研究不同于课堂上的合作探究，因此，在分组上应以自愿组合为主，提高团队的整体素质。

2.做课题前的准备工作

（1）恰当分组。分组要以自愿为主，能引起组内同学的共鸣，取得最大化的分组效应。

（2）选择时间。课题的研究目的是培养学生产生问题和解决问题的能力，特别是培养学生产生问题，提出猜想的习惯，因为课堂时间有限，所以要将时间划零为整，再统一时间做总结和规划。

（3）确定课题。按照分组情况、自愿原则，可以选择自己喜欢探究或具有趣味性的课题。

（4）制定课题方案。根据课题确定方案，如，我们要研究什么问题，可以把这个问题分解为几个小问题？或者由此问题可以延伸出几个问题？在研究过程中出现什么问题？解决问题的方法是什么？方案的确定可以以表格的形式，清晰明了，也可以以文章的形式，有理有据。

3.在课题研究中产生数学问题的实例（按重要性原则，以探究组为例）

（1）确定课题名称：1.5 图形的平移课后设计题的探究。

（2）课题要研究的问题：如图1 所示，直线L1，L2表示一条河的两岸，且L1∥L2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短？

图1

课本中出现这一题目时，学生感觉此题不难，出现的答案有两种：一是直接连接AB，二是在L1上随便找了个点C 连接BC，作CD⊥L2，再连接DA。这两种答案都是不对的，答案一的学生知道“两点之间线段最短”，答案二的学生知道河上造桥要垂直于河。两者都有可取之处，但又存在问题，如何解决这些问题，本题是有一定的难度，因此，有一小组选择了这一课题。在学生的初步讨论过程中，他们把问题分解成为两个小问题：

①我们曾经学习过的路程最短问题有哪些？是采用什么方法解决的？

②联系生活实际，如果我们自己从A 村到B 村路程最短，会怎么走？

这个过程就是问题产生的过程，也是分步解决问题的过程。

（3）解决问题的方法。数学方法：数形结合法，回忆讨论法。实践方法：联想生活实际，画出适宜草图，作图上分析。

（4）小组人员的分工：

徐嘉伟：负责人员分工，时间安排，讨论环节的组织，结论的生成。

张丹、张小芬：负责查阅课本及作业本、导学、试卷，整理与路程最短相关的题目。

徐晨孟茜、胡同：负责画出符合题意的草图，并进行图上分析，找出分析过程中存在的问题。

（5）综合结论：利用一节数学综合课，小组人员齐聚讨论：

与最短距离相关的题X：一段笔直的公路L 的同侧有两村庄A，B，它们之间的距离为13 千米，A，B 与公路L 的垂直距离AD=8.5 千米，BC=3.5 千米，要在公路上修一车站P，使车站P 到两村庄A，B 的距离的和为最短，最短距离为多少？

分析时出现的问题：如何能使线段（AD+BC）的长度最短？

根据题X 的解法，学生过点B 作L1的垂线并延长相等的距离得点B1，连接AB1与L2相交于点D，过D 作CD⊥L1，路径BCCD-DA 为所求。

图2

学生认为自己做的是对的，我问：谁能找到一个办法反驳这个做法？

学生再次去研究，胡同提出：如果是从点A 作L2的垂线开始，其他作法不变，那么，得到的路径和刚刚得到的路径就不同，本题的最短路程是唯一的一条路，不会是两个答案，因此，方法不能服众。

从这个过程，我们发现，学生缺乏的就是提出问题的能力，他们自以为问题已经解决了。此时，张丹提出一个想法：为什么题X的解法用在此题上不行呢？

我表扬了张丹，学生能自己提出问题非常好，并让学生分析一下原因。

张孝芬提出：题X 中A，B 两点在L 的同侧，而本题A，B 两点在直线的两侧。

胡同提出：题X 中只有一条直线，而本题中有两条直线。（这都是问题的所在，学生放弃了题X，开始寻找新的出路，无果）

我建议学生不要放弃，因为我们现在所学的路径最短问题只有两种解决方法：两点之间线段最短和垂线段最短，所以，还是要着手于题X。请学生再观察一下我们研究过的所有问题。

张丹：如果我们能把本题中的点A，B 放在一条直线的同侧，那可能就解决问题了。

胡同马上问：怎么把A，B 放一条直线的同侧？放哪条直线的同侧？

这两个问题交给学生继续研究，现在已经接近下课，接下来需要他们零散进行，另找时间交流想法。

再观察图2，他们虽然没有找到办法把A，B 放在一条直线的同侧，但他们发现，如果图中的BC=B1D，那么，（BC+AD）的长度就是（AD+B1D）的长度，根据两点之间线段最短。路径（BC+CD+DA）的长度为最短。他们又提出了两个问题：如何使BC=B1D？如何使点A，D，B1在同一条直线上？

经过几天的讨论，探究，学生得出结论：过点B 做BB1⊥L1且BB1=CD（CD 为河宽，长度可得）连接AB1与L2相交于点D，过D作CD 垂直于L1，与L1交于点C。

图3

师问：你们怎么知道所做的就是最短路径呢？

生答：老师，我们也这样问过自己，您看：

我随便画了个路径BC1-C1D1-D1A，∵BC1=B1D1，∴BC1+D1A=B1D1+AD1，又∵BC=B1D，∴BC+AD=B1D+AD=AB1。在△AD1B1中，∵AD1+B1D1＞AB1C1D1=CD，∴BC+CD+AD＜BC1+C1D1+D1A。

学生讲得有理有据，这倒激起了我对学生思维过程的好奇，于是，我提了问题：在你们的作图过程中，没有做过BC=B1D 呀？

有学生抢着说：因为我们作了BB1⊥L1，CD 也垂直L1，所以BB1∥CD，又因为我们作了BB1=CD，按照平移性质（一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行且相等）的逆原理，那么B1D 就应该是BC 平移以后的线段，图形的平移不改变它的形状和大小，所以，BC=B1D。

学生在没有学过平行四边形的情况下，能利用平移性质的逆运用来解决问题，虽然，还需进一步探究，但我觉得，可以适可而止了，毕竟在这个过程中，我们达到了做课题的根本目的——让学生善于提问，从而促进思考。

接着，学生完成了最后一步，总结：

①综合结论：河流的宽度不变，所以，CD 的长度不变，（BC+AD）的长度最短即解决问题；长度最短问题利用的数学原理：两点之间线段最短；平移可以将两点两线问题转化为两点一线问题；利用平移性质的逆用，得图3 中BC=B1D。

②研究过程中出现的问题：按题X 的方法解决本题出现了结论上的矛盾；点A，B 无法移到一条直线的同侧；平移的性质的逆用可以解决问题，但平移性质逆用的正确性尚需证明。

③反思。反思包括对解题过程的反思和对生成结论的反思，反思对我们未来解决问题有指导性作用。

过程性反思：数形结合是一种非常重要的思想方法，解决本题，画一个符合题意的草图起到了决定性的作用；没有问题，就没有思考。

结论性反思：我们平时都忽略了对结论正确性的验证，只知道解方程时将结果代入原方程，使方程左右两边相等，一定是方程的解，而实际上，不仅是方程，很多题目都有它自身的检验结论是否正确的方法，我们在解题时还需关注。

在学生做课题的过程中，作为老师，我也进行了适时的反思。大学问家朱熹曾说过：读书，始读，不疑；其次，渐疑；中则节节是疑。后，疑渐释，以致无疑，是为学。而我们在日常教学过程中，通常是教师呈现问题，学生探究结果，这就把设疑和解疑分隔开了，学生之所以解决不了问题，很大程度上是因为不会通过设疑来寻求解题的思路和判断结果的确定性。因此，培养学生提出问题的能力是很重要的。

这种能力的培养不是一朝一夕的，也不是在课堂上有限的时间里就可以解决的，因此，我们要确定培养的对象、时间、方式。我们的目的不是单单地让学生解决一个问题，而是让学生养成提问的习惯和热情，那么，采用做分层课题的形式，给学生提问的空间和动力，利用闲散时间，给学生自由选择的权利，未尝不是一个好的方式。当然，在操作过程中，会有很多不尽如人意之处，老师则要做适当的推动、指导和反思，逐步完善这一过程。我想，很多同行已更早地让学生进行做课题的活动了吧？也希望能得到其他老师的建议与指点。

［1］邱学华，苏春景.邱学华与尝试教学法［M］.北京：中国青年出版社，2001.

［2］裴娣娜.教育创新与学校课堂教学改革论纲［J］.课程·教材·教法，2012（02）.