数学教学中的信息技术：基于数学功能的教学工具

袁立新

摘要：数学教学中的信息技术应定位于数学功能基础上的教学工具，以反映数学学科特性。数学教学需要注重图形图像呈现、数值计算、符号运算以及编程等基本数学功能。数学功能基础上的教学加工大致有封闭与开放两种方式。教师要能充分发挥各类功能的优势，以帮助学生理解学习内容为目的，将数学教学与信息技术有机融合。

关键词：数学教学 信息技术 数学功能

一、引言

信息技术的飞速发展是改进数学教学的重要机遇。但是我们不应当把信息技术停留在评价、热情支持以及怀有希望的阶段，而应该进行一些实在分析，只有这样才能真正地解决某些教学问题[1]。深入数学学科的信息技术[2]、整合技术的学科教学知识（简称TPACK）[3]等理念有助于我们更好地理解数学教学中的信息技术。这些理念主要体现在两个方面：首先，要不要用技术、用什么技术以及如何用技术需要考虑具体内容的教学及课堂情境，力求使课内与课外、教师传授与学生自主探究达成一种平衡。也就是说，信息技术的使用是一个劣构问题。教师仅仅了解一般教育技术的原理、策略还不够。其次，为了充分体现信息技术的数学教育价值，教师对数学学科的信息技术本身要有较为深入的理解与掌握，以便信息技术与课程的互动能达到流畅程度。尽管让教师在教育和技术之间穿梭并不容易，但掌握技术不是别人的事情。为了能更好地贯彻这两个理念，我们认为，数学教学中的信息技术是数学功能基础上的教学工具。

二、数学教学中的信息技术

当前，数学课堂上的信息技术过分倚重普适类信息技术，缺少数学味，更无法反映数学学科特点。信息技术的功能更多地体现在一般教学功能（如电子白板，PPT演示）、多媒体功能（如音乐、颜色）、浅层交互功能（如浏览页面）等方面。针对数学教学的信息技术应该有专门的分类和讨论。

我们认为，按与教学内容相关程度分，用于数学教学的信息技术大致有三类。一是普适类的数学软件。如计算机代数系统（简称CAS），数学百科电子词典等。二是普适类的数学教学工具（或平台）。如Z+Z智能平台、几何画板、数学科目的题库系统或备课系统等。三是反映特定数学教学内容的课件，包含了常见的CAI的七种类型[4]。如教学演示课件、微世界环境、微课视频等。

三类技术中，普适类数学软件的数学功能最强，但教育功能最弱，通常需要教学加工。而课件，即第三类信息技术，比较关注信息技术的教学功能表现。信息技术应该是数学为基础的工具还是教学为基础的工具[5]？事实上，这两者各有优缺点，前者数学概念转移能力弱，即教育性不足；后者难以作为学生的认知工具，且缺少通用性，软件设计效益低。为了能弥合两者的距离，专家们研究出了诸如Z+Z智能平台之类的普适类数学教学工具。许多CAS在后来的版本中也加入了大量便于数学教学开发和加工的元素。针对特定内容的数学课件也在通用性上不断增强，如注重探究性、交互性课件的开发等。

三类信息技术都可以实现计算机对数学学习活动的三种水平的支持，即演示水平、验证水平和探究水平，如数学工具中的大百科词典可以作为资料支持或演示之用，而数学软件包Mathematica可以作为数学探究环境。因此，由演示到探究也可以作为以上分类的另一个标准（或维度）。

三类信息技术都能体现一定的数学功能与教育价值。但数学教学需要抽象、复杂的图形图像、数值及符号表达与处理，以满足较高层次数学思维表征需求；需要严谨、精确和形式化的数学活动过程描述；需要丰富的与数学研究相适应的探索性认知环境。因而，我们认为，数学教学中的信息技术应以数学功能为基础，在设计和开发目的、内容方面能反映数学学科特性，以更好地体现数学教育价值。

三、信息技术的数学功能及其教育价值

信息技术可以实现的数学功能很多。数学教学主要以图形图像呈现、数值计算与符号运算、编程等作为主要功能。数学教学中，它们的教育价值应该得到充分体现。下面以微积分教学为例进行阐述。

1.图形图像演示

总体而言，目前的数学教学，特别是概念教学是“重形式定义，轻意象表征”[6]的。由于担心过多使用图形图像可能会影响抽象思维，许多教师不敢用。事实上，图形图像的适当运用能提高学习效率，也能体现教师的教学智慧。数学教学中的“图形图像”主要是函数绘图和动态几何图形两方面。它的作用主要是促进学生对概念和数学问题的整体理解，能帮助其洞察所学数学内容本质，寻找解决复杂问题的途径。如教学导数概念时，需要将函数、其导函数及二阶导数甚至更高阶数的图像进行比较、分析。用图像来解释复合函数求导法则、洛必达法则等也应该能在教材或教学中得到体现，让学生理解用它们进行运算的合理性或理由，而不仅仅学习导数运算技能与技巧。

2.数值计算

传统的数学教学更多表现的是数学的连续、形式化的一面，给学生留下抽象、脱离生活实际的印象。事实上，数值计算功能和绘图功能一样具有理解数学知识、探寻解题途径等作用，理应得到重视[7]。数值化是由有限认识无限的重要方式，也是联系一般化与特殊化的重要纽带。运用数值表理解极限、用数据估计误差、通过离散形态考察函数的连续性态、寻找数学反例等等都应该在教学中得到广泛应用。微积分中的广义积分与无穷级数、函数极限与数列极限的密切联系更表明连续化与数值化应该融为一炉。教学实践表明，数学过于形式化的表达反而看不清数学知识的本来面貌，而将这些内容转化为具体的数值计算，会增进理解。例如，利用？着-？啄定义证明函数极限时，学生都知道，关键要找出？啄。他们也能熟练地利用放缩技巧和限定？啄的方法进行操作，找到？啄。但进一步问：能通过计算（通常情况下需要计算工具的支持），找到最大的？啄？事先限定？啄的邻域能否再大一点？学生并不熟练。这时，只要给定几个具体的？着值，计算出？啄，学生会对证明过程有更深刻的认识，不至于依葫芦画瓢。

3.符号运算endprint