关于有理函数不定积分的问题综述

袁群勇

【摘 要】有理函数的不定积分在数学分析中具有重要地位，求有理函数求不定积分的有很多方法和技巧，具有普遍意义的方法都是先对有理函数进行各种因式分解，然后分别对每个分式求不定积分。本文将介绍贝努利算法（Bernoulli Algorithem）一般的教材都是采用这种算法;Hermite约化算法;奥斯特洛格拉得斯基（Horowitz-Ostrogradsky）算法;对于分母无平方的真分式的Rothstein-Trager算法，比较这些算法优缺点，最后举有理函数常用积分技巧的例子。

【关键词】有理函数不定积分;部分分式分解;算法

一、有理函数不定积分算法主要理论简介

设f∈R[X]是被积有理函数，则f可以写成f= Q-D，Q，D∈R[X]，gcd（D，Q）=1，若有deg（Q）>deg（D），则可用带余除法使得f= p+ Q-D，其中P，Q，D∈R[X]，deg（Q）

1.贝努利算法（Bernoulli Algorithem）

对于有理函数的不定积分，一般的高等数学教材中都有对贝努利算法介绍，这里简单回顾：首先将f= Q-D的分母D在实数域内不可约分解，，于是其中Aik，Bjk，Cjk∈R是待定的系数，对f的积分可归结为以下两种比较简单有理真分式不定积分（1），（2）这里不详述，此种算法有两个难点，其一是分母的因式分解，目前还没有普遍的方法，其二是因式分解后的真分式分成简单部分分式的待定系数的确定。（确定待定系数简易方法见参考文献3）下面的算法都是对这两个问题的改进。

2.Hermite约化算法

设f= Q-D，其中，Q，D∈R[X]gcd（D，Q）=1，deg（Q）

，且deg（B）

进一步可得：，

被积函数分母的次数降低，反复这个过程直到K=1.这时分母变成无平方的。无平方分解定义和算法的理论见参考文献1，其主要思想是其基本思想是利求导运算将不同次幂的不可约因子的次数变成某项前的系数， 利用系数的不同将这些因子一层一层“剥离”出来。

3.Horowitz-Ostrogradsky算法

由Hermite约化可知f最后可化f=g'+h，h是无平方的，记，所以，其中D2无平方的。在R[x]内，所谓奥式方法是指将f= A-D的积分借助代数方法来分离成一个真分式与另一个真分式的和，使新的被积函数的分母是无平方的。首先将分母D分解成一次与二次类型的实因式D=（x-a）k…（x2+px+q）m其中k，…，m∈N，则，其中D1=（x-a）k-1…（x2+px+q）m-1，D2=（x-a）…（x2+px+q），A1，A2为比相应的D1，D2更低的多项式，一般用待定系数法求导。下面举例：

4.Rothstein-Trager算法

在Hermite约化后，考虑f= A-D其中deg（ A）

二、有理函数积分算法的联系和区别、及特殊结构的有理函数的积分常用技巧

贝努利算法是其它算法的基础，其它算法是对它的改进。有理函数分母在实数内不可约分解没有统一的方法。运用代数知识，引入有统一算法的无平方分解后有了Hermite约化算法;有理函数分母无平方分解后，用待定系数分解真分式为部分分式困难。引入Horowitz-Ostrogradsky算法一定程度简化了运算。Rothstein-Trager算法给出了分母为无平方的真分式，在不分解分母情况下的方法。但要用到复变函数的知识。Bronstein和Salw为此给出一种有理算法来解决这一问题即Newton-Leibniz-Bernoulli算法。

上述都是先将有理函数分解简单易积的部分分式，后对每个分式积分普遍的方法，实际不一定是最简便的方法，对于一些具有特殊结构的有理函数的积分则可以灵活采用其他积分方法如加（减）或乘（除）缩放配凑法（见参考文献4）则更为简便。

例2：求積分

参考文献：

[1]谢冬梅.非线性波、符号积分及其应用.大连理工大学硕士论文，2008年6月

[2]赵兴华.超越函数初等积分存在性和机械化算法.大连理工大学硕士论文，2009年6月

[3]费时龙，林永.有理函数作部分分式分解的一种巧妙方法.宿州学院学报Vol28.No12，2013

[4]范云晔.对一类有理真分式函数不定积分求解方法的简略思考.Vol3.No1，2011年1月

[5]吉米多维奇分析习题集精选精解