数形结合：高中数学教学中一路上有你

张海云

一、数形结合的概念与本质

在当前的教育体制下，高中数学的几个基本组成模块：基本知识、基本技能、基本思想方法，称为“三基”。而数学思想方法是数学的重要组成部分。数形结合，是把题设的数量关系与空间图形相结合，它是贯穿于数学发展历史长河中的一條主干线。数指的是数据和式子，形指的是几何图形，其本质是将抽象的数学符号与直观的图形联系起来，使高中数学抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的分析与处理，起到直观对抽象的解释，实现抽象概念与具体形象的图形相联系和转化，化难为易，化抽象为直观，以获得精确的结论。所以，数形结合不仅可作为一种解题方法，还可以作为一种重要的数学思想。而当今课堂多媒体的应用，更有利于体现数形结合的本质。有利于突破难点，增加学生的学习兴趣。华罗庚曾说 “数缺形时少直观，形少数时难入微”。换句话说，数形结合可以相互取长补短.

二、数形结合的优势所在

高中数学的特点，几何图形比较直观，代数问题比较抽象，如果能把抽象的代数问题与几何图形结合起来，可以使问题通俗易懂。数形结合是培养数学思维的一种特别有效的途径。高中数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，深入研究，分析思考，判断结论有着事半功倍的作用。同时，数形结合渗透在中学数学的各个部分，可以通过对数量的研究来讨论图像的性质，也可以用图像的特征来反馈变量之间的关系。因此，在中学数学教学中，数形结合应作为经常化的一种思想而被灌输到学生的学习中，形成良好的思维习惯。

三、数形结合在解题中的运用

1.函数方程与数形结合

在高中数学教学中，数、形在一定条件下相互转化是数学教学中很常见的一个规律，比如在介绍函数问题时，函数关系与图像可以用平面点集组成的曲线来描述函数的性质：奇偶性—对称的特点，单调性—图像走势的升降，周期性—图像是否有规律的重复出现或叠合等等。如果能结合图形来解，显得特别直观，“脑中有图像，直观又形象”。具体来说，它的优越性包括以下几点：①能简化复杂的计算和论证推理;②能看到整体特点与结果。③能启发解题思路。比如说2014年泉州质检题第12题：

例1.给出关于函数的下列结论：

解析：作出函数y=f（x）的图像，对于①容易知道f（-5）=f（0）=f（5）=0成立，正确;

对于②，可以看出在x∈[-5，5]时，函数f（x）的图像恒在直线y=k（x+5）的下方，故k的值不可能小于1-2，正确; 对于③，实数对（m，n）有且只有四对（0，1），（0，4），（1，4），（2，4）正确.故选D.

评析：“动”是绝对的，“静”是相对的，这是自然规律，也是一种数学思想。本题把抽象的函数关系转化为直观的图形比较，一目了然，避免了复杂的计算和推理。

2.解几中的数形结合

解析几何是数学发展史上的重大成果之一，它的本质是用代数方法研究几何图像，曲线与方程是同一对象的两种表现形式，几何图形具有直观的优势，代数形式具有便于运算的优点。因此，在解几中，数形结合思想是最核心的思想方法。比如说2014年泉州质检题第16题：

例2.与相关的代数问题可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间距离的几何问题，结合上述观点， 可得方程的解为 .

解析：可以将原方程变形为，其代表的几何意义是点（x，2）到点（-4，0）的距离与到点（4，0）的距离之差的绝对值为4.结合双曲线的定义可知，在直线y=2与双曲线的交点M，N符合题意，将y=2代入中，得，所以原方程的解为.

评析：这是一个运用数形结合法的非常经典的题目，把极其抽象的绝对值不等式转化为非常直观的到两定点的距离之差的绝对值，满足双曲线的定义，解题思路独特。这种“由形到数”的解题模式，使问题解得简单、直观、明了，省略了繁杂的运算。

人教版必修2平面解析几何，用几何的方法处理代数问题的最佳结合点是直线与圆，因为圆既是中心对称图形又是轴对称图形，具有非常良好的几何性质，很好的诠释了数形结合，因此，在圆的问题上，更加突显了数形结合的重要性。

例3.已知实数x、y满足x2+y2-4x+3=0，求2x-y的最大值和最小值。

解析：（1）把方程x2+y2-4x+3=0化为圆的标准形式

（x-2）2+y2=1并得出圆心C（2，0）和半径r=1;

（2）依方程作出准确的图形，如图所示;

（3）设（x，y）是该圆上任一点;

设2x+y=b，则题问转化为求b的最大值与最小值。

（4）将2x+y=b变形为直线的斜截式y=-2x+b，接着分析直线图像的特征，很容易得到直线y=-2x+b是斜率为-2平行直线系且在y轴上的截距为b;

（5）用直尺平行移动，可以看出平移直尺的过程中截距b的变化趋势，进而发现当且仅当直线与圆（x-2）2+y2=1相切时b取得最大或最小值;

（6）由点线的距离公式：， ，因此，。

评析：本题解题的方法称之为图解法，解题过程中不需要太大的计算，其巧妙之处在于数形结合，所求的最值b的几何意义——斜率为-2的直线在y轴上的截距。这样转化问题就容易理解和接受，体现了数形结合思想解题的有效性和可行性。

四、三角中的数形结合

在三角函数这一章中数形结合更是比比皆是，利用单位圆来刻画任意角的概念，图像与性质，利用部分图像求三角函数的解析式等等.三角中的数形结合，本质上是抓住正余弦，正切的图像与性质来应用和推广.

例4.已知定义在区间上的函数y=f（x）的图像关于直线对称，当时， ，如果关于 x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能为（ ）

解析：如图，作出函数y=f（x）的图像，

直线y=a与x轴平行，

当-1≤a≤0时，f（x）=a有解，分类如下：①a=-1或时，;②时，;③时， S=-π. 故答案为B.

评析：本题是数形结合体现在三角中的一种解题思路，是一种非常典型的“由形到数”的解题模式，是问题简单，易懂，明了，省略了繁杂的运算过程。

数形结合的本质是运用图形反映数量关系，教学中多媒体技术的普遍实施为数形结合的广泛应用架设了桥梁.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;恰当设参、巧妙用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;正确确定参数的取值范围。钻研教材，从数学发展的全局着手，从具体的教学过程感知，逐步渗透数形结合的思想，使学生能够养成数形结合的良好习惯，简单的说，用“数”的精确澄清“形”的含糊，用“形”的直观启发“数”的计算，使它成为分析问题、解决问题的有效工具。