利用基本初等函数巧解两道高考压轴题

胡积谋

【中图分类号】G633.66 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）6-0254-02

即将迎来新一年的高考，备考考生的复习正如火如荼地进行，有序而又充实。这一阶段的学习任务主要以归纳、总结、提升为主，因此适当引导学生注意一题多解与巧解尤为重要，这有利于培养学生思维的广阔性，对学生数学思维的灵活性、敏捷性的培养也是有好处的。以下以2012、2013福建文科数学压轴题22题这两道高考题为例，讲解如何利用基本函数的性质与图像解决实际问题，让学生感受到正难则反，化繁为简，数形结合，多思少算的解题真谛！

例1 【2012福建高考文科数学试题22题】：已知函数，且在 上的最大值为.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明.

解析：

（Ⅰ）过程略，答案；

（Ⅱ）要判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，即判断关于x的方程xsinx-=0在（0，π）内根的个数，等价变形为sinx=，即只需判断两基本初等函数h（x）=sinx与t（x）=的图象在（0，π）内的交点个数，

又由函数y=sinx与y= 性质与图象知内有两个交点.

例2【2013福建高考文科数学试题22题】：已知函数为自然对数的底数）.

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的极值；

（Ⅲ）当a=1的值时，若直线与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值.

（Ⅰ）（Ⅱ）略；

（Ⅲ）直线与曲线y=f（x）没有公共点，等价于关于x的方程在R上没有实数解，即关于X的方程：在R上没有实数解.

只需判断两基本初等函数 与 的图象在 上没有交点.

① 当k>1时，函数h（x）=（k-1）x为一次函数且在R上单调递增，当x趋于+∞时，h（x）趋于+∞，为指数函数且在R上单调递减，由基本初等函数的性质与图象知h（x）与t（x）在R上有交点，这与函数h（x）与t（x）的图象在R上没有交点矛盾，故k>1不合题意，

② 当k=1时.函数h（x）=0为常数函数，其图象即为x轴，因为指数函数，其圖象在x轴上方，与x轴无交点，满足题意综合知k的最大值为1.