时空离散策略对感应电机损耗计算的影响

张 琦，赵海森，刘晓芳，张鑫磊

(华北电力大学，北京102206)

0 引 言

中小型笼型感应电机转子通常采用斜槽结构，用以削弱齿槽效应引起的附加转矩及噪声［1］。为能够方便利用二维有限元法计算分析感应电机转子斜槽的磁场和运行性能，运用多截面法，即利用多段直槽近似代替斜槽［2］。但是，利用多截面场－路耦合时步有限元计算斜槽感应电机损耗时，时间步长、斜槽分段数及剖分密度的选择是否合理，不仅会直接影响损耗的计算精度，还会影响计算速度。因此，为了准确计算电机损耗，系统研究上述计算参数对损耗计算影响，进而提出相应时空离散策略是非常重要的。

文献［3］针对剖分密度影响永磁电机脉动转矩计算进行了研究;文献［4］采用场－路－网耦合时步有限元法，研究了有限元计算参数对大型汽轮发电机的大扰动仿真计算结果的影响;文献［5］研究了大型水轮发电机的有限元参数对相间短路的影响;文献［6］通过分析时间步长和剖分密度对鼠笼异步电机暂态起动特性的影响，提出了改进措施，解决了时步有限元法在转子转动的处理方面存在的效率低、通用性不强和时间步长不确定等问题;文献［7］利用多截面时步有限元法分析了斜槽分段数对一台绕组角接的11 kW、4 极感应电机起动及稳态运行情况的影响。上述文献分析了有限元参数对电机的磁场、电流、转矩等运行性能的影响，但是目前仍缺乏时间步长、斜槽分段数及剖分密度等三种计算参数对感应电机损耗计算影响的深入研究。

本文针对多截面场－路耦合时步有限元法准确计算斜槽感应电机损耗这一问题，以一台5.5 kW电机为例，系统研究了时间步长、斜槽分段数及剖分密度对损耗计算的影响，提出了计算损耗时的最优时空离散策略。通过与测试结果对比，验证了所提策略的有效性。

1 损耗计算精度影响因素分析

当转子斜槽时，电机内部磁场沿轴向分布不同，采用多截面法［2］，将斜槽转子分成多段，把每段近似为一个直槽，对离散后的非线性代数方程组进行求解，得到各时刻的状态变量值［8－10］。关于损耗计算方法，文献［11－12］中已给出定子铜耗、转子铜耗和铁耗计算方法，本文不再赘述，以下着重介绍影响损耗计算的主要参数。

1.1 时间步长

利用时步有限元计算电机损耗时，时间步长dt的选择需要注意在计算过程中由于数值微分带来的计算误差，以下通过涡流损耗计算实例说明。假设存在磁密表达式和其涡流损耗计算如下式:

式(1)中:Bmv为包括基波在内的各次谐波磁密幅值，v 取正整数，为谐波次数;ω =2πf，为角频率;此处假设Bm1=1 T，Bmv=Bm1/v。式(2)中σ 为铁磁材料电导率;h 为铁心叠片厚度;δ 为铁磁材料密度;T为基波周期。

将式(1)代入(2)并进行离散处理，可求得在不同时间步长下的数值微分误差，表达式如下:

由式(3)可以看出，数值微分误差与时间步长有直接关系，此外，时间步长还会引起谐波磁场的混叠效应，将在下面详细论述。因此，选择合适的时间步长至关重要。

1.2 斜槽分段数

在利用多截面时步有限元法对斜槽电机进行分析时，分段数选择会影响电机内部不同横截面的磁场分布情况，图1 是采用两段计算时各截面磁密分布云图。图1 中，位于定转子轭部和齿部的①～⑥位置的不同截面磁密分布存在明显差异。如果分段数选择过少，就会导致相邻各截面的磁密发生过度畸变，与电机实际斜槽效果不符，导致不仅不能达到削弱齿谐波的目的，反而会放大谐波效应，增加电机损耗;如果分段数过多，则会导致计算时间过长。因此，在计算中必须选择合适的分段数，以求在节省计算时间的前提下，能够准确反映电机内部实际磁场分布特点。

图1 采用两段计算时各截面磁密分布

1.3 剖分密度

对于电机而言，研究剖分密度通常侧重于能否准确计及高次谐波磁场，也就是说针对高次谐波磁场较大的区域，即气隙及定转子齿。上述区域的剖分密度是否合理，会直接影响计算时能否准确计及的定转子铁心高次谐波次数。以定子齿为例，图2中的定子齿Ⅰ采用2 点剖分可以采集到一个周期基波的2 点，定子齿Ⅱ采用4 点剖分可以采集到一个周期基波的4 点。显而易见，定子齿采用越多的节点数剖分，计算结果越精确。因此，在计算中必须选择合适的剖分密度，以求在节省计算时间的前提下，能够计及高次谐波磁场及二阶空间齿谐波。

图2 定子齿采用不同节点数剖分的示意图

1.4 影响损耗计算精度的计算参数小结

综上所述，感应电机损耗计算时所需要选择的时空离散方式，主要涉及的计算参数可总结如下:

针对上述参数，本文以一台5.5 kW 电机为例，研究利用多截面场－路耦合时步有限元法计算感应电机损耗时，如何合理选择时空离散策略。该电机基本参数:定子槽数Z1=36，转子槽数Z2=32，定子外径D1=210 mm，定子内径Di1=136 mm，转子外径D2=135.2 mm，气隙长度q =0.4 mm，定子槽口宽bs0=3.5 mm，转子槽口宽br0=1 mm。

2 时间离散策略对计算精度影响分析

由式(3)可知，当时间步长dt ＜0.1 ms 时，产生的误差小于10%，当dt ＜1 ×10－4ms 时，误差接近于零，但计算耗时较长。因此，从计算时间角度考虑，选择0.025 ms 能够满足损耗计算精度要求。

除了数值微分误差外，时间步长选择还需要考虑对谐波磁场的混叠效应。根据采样定理，为保证采样之后的数字信号完整地保留原始信号中的信息，采样频率fs需大于原始信号中最高频率(奈奎斯特频率)fh的2 倍;反之，则对于高于fs/2 的信号，将出现混叠现象［13］:

式中:fa为信号混叠后的频率;f 为混叠前的实际频率;D=Int(f/fs+0.5)，Int 为取整运算。

对本文研究的感应电机计算时，若选择时间步长为0.4 ms，则fs=50f1，即在一个基波周期内选取50 个采样点，这时高于25 次的谐波分量被混叠至低次。于是原信号中的30、36、42、54 次谐波分别被混叠为20、14、8、4 次谐波。由于这些高次谐波分量幅值比低次谐波小很多，致使混叠效果在磁位结果中体现得并不明显，而在通过对磁位求导计算电流密度以及通过电流密度的平方计算损耗的过程中，放大了周期信号的幅值，最终使损耗结果中混叠效应十分明显。

同理，dt=0.1 ms、0.04 ms 和0.025 ms 时分别将高于100 次、250 次和400 次的谐波混叠。表1 是不同时间步长的损耗对比。表中pcu1和pcu2分别为定、转子铜耗;pfe为铁耗;p∑为总损耗。

表1 不同时间步长的损耗对比

因此，基于时步有限元法计算感应电机损耗时，需根据采样定理选择时间步长。综合上述分析，考虑k 阶(通常考虑到k=2 即可)齿谐波的情况下，且计算过程不发生混叠，选择时间步长应按照:

式中:T1为基波的周期。

综上所述，通过分析涡流损耗的数值微分误差和谐波磁场的混叠效应，可选择出合适的时间步长。

3 空间离散策略对计算精度影响分析

3.1 斜槽分段数

利用二维有限元法计算斜槽电机损耗时，损耗计算的精度很大程度上取决于采用的斜槽分段数能否准确接近实际电机，因此选取合适的分段数是非常重要的。图3 为采用1 ～5 段斜槽分段数计算得到的空载定子相电流波形及谐波分析，如图3 所示，斜槽分3 段以后，电流谐波含量趋于稳定。

图3 不同分段数的空载定子相电流波形及谐波分析

进一步计算了不同分段数对于损耗的影响，结果如表2所示，表中k是分段数，pcu1ν为定子谐波铜耗，其它符号含义与表1 中相同。可以看出，斜槽后定子谐波铜耗由12.48 W 降至3.77 W，转子谐波铜耗由37.37 W 降至3.90 W。斜槽可以降低定转子谐波铜耗。分段数为1 段是直槽，随着分段数增加，定子谐波铜耗、转子铜耗减少，达到4 段基本不变。直槽变为斜槽时铁耗增加，由于分段数为2 段时轴向磁密分布不均，当分段数增加时，轴向磁密分布均匀接近实际的斜槽电机，达到3 段基本不变。进一步分析了11 kW、22 kW、55 kW、132 kW 等电机在不同分段数下的电流及损耗计算数据，得出同样变化规律。因此，用时步有限元计算感应电机损耗时，建议斜槽分段数为5 段。

表2 不同分段数的损耗对比

3.2 气隙及定转子齿剖分密度

3.2.1 气隙剖分密度选择

由于气隙磁场的齿谐波分量对磁密影响很大，需要正确选择切向剖分密度［14］。仍以上述5.5 kW电机为例，为了计及高次谐波，对气隙分别采用200点、400 点、600 点、800 点和1 000 点的剖分网格，如图4 所示(由于篇幅所限，仅列出4 种剖分方式图)，相应计算得到的气隙磁密波形及谐波分析如图5 所示。可以看出，气隙剖分200 点与800 点时相比，两者的气隙磁密存在明显差异，而从气隙磁密谐波分析可以看出，气隙剖分节点数为200 点时，计及的谐波较不准确，当气隙剖分节点数达到800 点时，磁密的谐波含量趋于稳定。表3 为分段数为5，时间步长为0.025 ms 时，气隙采用不同节点数剖分的损耗对比，m 为气隙剖分节点数。由表3 可以看出，当气隙剖分节点数达到800 点时，损耗基本稳定。

图4 气隙剖分方式

图5 气隙不同剖分节点数的气隙磁密波形及谐波分析

表3 气隙不同剖分节点数的损耗对比

3.2.2 定转子铁心剖分密度选择

为了能够计及高次谐波及二阶空间齿谐波，对定转子齿剖分密度进行选择，从电机基波及谐波磁场空间所占距离分析如下。

沿定子铁心内圆谐波所占的距离:

式中:ν=1 时为基波。

沿转子铁心外圆谐波所占的距离:

式中:ν=1 时为基波。

定、转子齿距:

定、转子齿剖分节点数与谐波次数的关系式:

式(10)和式(11)中的n1和n2分别为定、转子齿剖分节点数。

定子k1阶齿谐波次数:

转子k2阶齿谐波次数为:

文中电机沿定子铁心内圆基波所占的距离λs1=213.63 mm，谐波所占的距离λsν= 68π/ν。定子齿距ts=11.87 mm，定子一阶齿谐波(36/2 ±1)次，即17，19 次。沿转子铁心外圆基波所占的距离λr1=212.37 mm，谐波所占的距离为λrν=67. 6π/ν。转子齿距tr=13.27 mm，转子一阶齿谐波(32/2 ±1)次，即15，17 次。

由式(10)可知，定子齿剖分节点数为2 点、4点、6 点、8 点、10 点时，可至少准确计及谐波次数分别为13 次、25 次、37 次(定子二阶齿谐波)、49 次、61 次。由式(11)可知，转子齿剖分节点数为2 点、4点、6 点、8 点、10 点时可至少准确计及谐波次数分别为7 次、17 次、25 次、33 次(转子二阶齿谐波)、43次。图6 和图7 分别是定、转子齿选择不同节点数的剖分网格图。表4 和表5 分别是在分段数为5段、时间步长为0.025 ms 时，定、转子齿不同剖分节点数的损耗对比。n1和n2分别为定、转子齿剖分节点数。

图6 定子齿剖分方式

图7 转子齿剖分方式

因此，为了考虑到空间的二阶齿谐波以及3 次、5 次等低次谐波，并且减少计算耗时，定、转子齿选择10 点剖分。

表4 定子齿不同剖分节点的损耗对比

表5 转子齿不同剖分节点的损耗对比

通过上述理论分析和计算推导，可以得到在利用时步有限元计算感应电机损耗时，对于需要考虑ν 次气隙磁场谐波的情况下，气隙中间层剖分点数m 的选取应满足:

对于需要考虑定子k1阶齿谐波的情况下，定子齿点n1的选取应满足:

对于需要考虑转子k2阶齿谐波的情况下，转子齿点n2的选取应满足:

4 实验验证

利用如图8 所示的试验平台对5.5 kW 电机的空载损耗进行实测和计算对比，由于空载时电机功率因数较低，故利用高精度功率分析仪对其输入功率进行测试。表6 为计算时采用的不同计算参数;表7 为计算和实测对比情况，考虑到转子铜耗、铁耗以及附加损耗难以准确分离，故将三种损耗放在一起。对比表7 中数据可得，算例1 与实测基本吻合;其它五种算例计算结果与实测有较大误差。因此，可以得出本文提出的时间步长、斜槽分段数及剖分密度选择方法是有效的。

表6 计算所用参数

表7 额定电压下的电机损耗

5 结 语

本文针对多截面场－路耦合时步有限元法准确计算斜槽感应电机损耗的问题，以一台5.5 kW 为例，系统研究了时间步长、斜槽分段数及剖分密度对损耗计算的影响，并提出了基于时步有限元的损耗计算时的最优时空离散策略。本文的研究成果可为研究影响感应电机的损耗精确计算因素，以及如何提高损耗计算精度提供重要参考。

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