静中求动,极限“显灵”

2015-01-12 11:10廖支斌
中学教学参考·理科版 2014年12期
关键词:棱台棱锥棱柱

廖支斌

对于立体几何选择题,由于其涉及的知识点多、推理复杂、运算量大,学生感到较难掌握.学生在解立体几何选择题时,如果解题思想方法不当,很容易影响解题速度及正常发挥.若学生能冲破思维定式,则可走出“山重水尽”的困境,走上“柳暗花明”的大道.下面笔者从动态的角度出发,对极限的思想就两个方面进行例谈.

一、在图形形状的变化中运用极限思想

立体几何中的柱、锥、台之间有千丝万缕的联系,无论是定义,还是面积、体积公式,无不体现着极限思想.因此,在解答上述图形问题时,为了避免复杂计算,可运用极限思想去解决.

【例1】 已知圆锥的底面半径为R,高为h,在其内部放一高为x的内接正n棱柱,当棱柱的侧面积取得最大值时,x的值是( ).

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解:将正n棱柱视为圆柱,这时S圆柱侧=2·π≤(h-xhR)x=

2πRh(h-x)x≤2πRh·[(h-x)+x2]2=

πRh2

,当且仅当h-x=x,即x=h2时,圆柱侧面积最大.

【例2】 一棱台的上下底面积之比为1∶4,则以棱台中截面为底面,以棱台的侧棱延长线的交点为顶点的棱锥与该棱台的体积之比为( ).

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解:将棱台视为圆台时,棱锥则可视为圆锥,由条件可得,上下底半径为1∶2.设顶点O到上底面的距离为x,圆台的高为y,则易求得xx+y=12,

∴x=y,进而求得两体积之比为27∶56,选A.

【例3】 过棱台高的三等分点作两个平行于底面的截面,则夹在两截面间的几何体的体积与原棱台体积的比值是( ).

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能确定

解:此题可考虑棱台形状的变化,当棱台趋于棱柱时,两体积之比为1∶3,当棱台趋于棱锥时,两体积之比为7∶27,因此只能选D.

二、在图形的点、位置的变化中运用极限思想

【例4】 空间四边形ABCD的对角线AC=12,BD=10,截面MNRS与两对角线AC、BD平行,则截面四边形MNRS的周长的取值范围是( ).

A.(10,12) B.(4,11) C.(20,24) D.取值与AB、CD的长有关

分析:若用常规方法,则要用到线面平行、线段成比例等性质才能解决,运算麻烦.若运用极限思想,则简捷明了.

解:如图1,易知截面为平行四边形,当MN→AC,即MN→12时,MS→0,∴截面MNRS的周长→24,同样,当MS→BD,即MS→10时,截面MNSR的周长→20,故选C.

【例5】 如图2,设正三棱锥P—ABC的底面△ABC的中心为O,过O点的动平面与三条侧棱或其延长线分别交于Q、R、S,则1PQ+1PR+1PS

( ).

A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一个常数

练习题:1.已知三棱锥S—ABC的顶点在底面的射影在△ABC内,则∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范围是( ).

A.(0,π)

B.(0,π2)

C.(π2.π)

D.(0,2π)

分析:当顶点S→无穷远处,∠ASC+∠BSC+∠CSA→0,顶点S→底面时,∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π,故选D.

2.由半径为R的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC,则PA2+PB2+PC2的值等于( ).

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解:当PC→球面相切时,PC→0,而面PAB→过球心,AB→2R,则PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→(2R)2=4R2;当PB、PC→球面相切时,PB,PC→0,PA→2R,∴PA2+PB2+PC2→PA2→(2R)2=4R2,故选D.

(责任编辑 钟伟芳)endprint

对于立体几何选择题,由于其涉及的知识点多、推理复杂、运算量大,学生感到较难掌握.学生在解立体几何选择题时,如果解题思想方法不当,很容易影响解题速度及正常发挥.若学生能冲破思维定式,则可走出“山重水尽”的困境,走上“柳暗花明”的大道.下面笔者从动态的角度出发,对极限的思想就两个方面进行例谈.

一、在图形形状的变化中运用极限思想

立体几何中的柱、锥、台之间有千丝万缕的联系,无论是定义,还是面积、体积公式,无不体现着极限思想.因此,在解答上述图形问题时,为了避免复杂计算,可运用极限思想去解决.

【例1】 已知圆锥的底面半径为R,高为h,在其内部放一高为x的内接正n棱柱,当棱柱的侧面积取得最大值时,x的值是( ).

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解:将正n棱柱视为圆柱,这时S圆柱侧=2·π≤(h-xhR)x=

2πRh(h-x)x≤2πRh·[(h-x)+x2]2=

πRh2

,当且仅当h-x=x,即x=h2时,圆柱侧面积最大.

【例2】 一棱台的上下底面积之比为1∶4,则以棱台中截面为底面,以棱台的侧棱延长线的交点为顶点的棱锥与该棱台的体积之比为( ).

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解:将棱台视为圆台时,棱锥则可视为圆锥,由条件可得,上下底半径为1∶2.设顶点O到上底面的距离为x,圆台的高为y,则易求得xx+y=12,

∴x=y,进而求得两体积之比为27∶56,选A.

【例3】 过棱台高的三等分点作两个平行于底面的截面,则夹在两截面间的几何体的体积与原棱台体积的比值是( ).

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能确定

解:此题可考虑棱台形状的变化,当棱台趋于棱柱时,两体积之比为1∶3,当棱台趋于棱锥时,两体积之比为7∶27,因此只能选D.

二、在图形的点、位置的变化中运用极限思想

【例4】 空间四边形ABCD的对角线AC=12,BD=10,截面MNRS与两对角线AC、BD平行,则截面四边形MNRS的周长的取值范围是( ).

A.(10,12) B.(4,11) C.(20,24) D.取值与AB、CD的长有关

分析:若用常规方法,则要用到线面平行、线段成比例等性质才能解决,运算麻烦.若运用极限思想,则简捷明了.

解:如图1,易知截面为平行四边形,当MN→AC,即MN→12时,MS→0,∴截面MNRS的周长→24,同样,当MS→BD,即MS→10时,截面MNSR的周长→20,故选C.

【例5】 如图2,设正三棱锥P—ABC的底面△ABC的中心为O,过O点的动平面与三条侧棱或其延长线分别交于Q、R、S,则1PQ+1PR+1PS

( ).

A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一个常数

练习题:1.已知三棱锥S—ABC的顶点在底面的射影在△ABC内,则∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范围是( ).

A.(0,π)

B.(0,π2)

C.(π2.π)

D.(0,2π)

分析:当顶点S→无穷远处,∠ASC+∠BSC+∠CSA→0,顶点S→底面时,∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π,故选D.

2.由半径为R的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC,则PA2+PB2+PC2的值等于( ).

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解:当PC→球面相切时,PC→0,而面PAB→过球心,AB→2R,则PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→(2R)2=4R2;当PB、PC→球面相切时,PB,PC→0,PA→2R,∴PA2+PB2+PC2→PA2→(2R)2=4R2,故选D.

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对于立体几何选择题,由于其涉及的知识点多、推理复杂、运算量大,学生感到较难掌握.学生在解立体几何选择题时,如果解题思想方法不当,很容易影响解题速度及正常发挥.若学生能冲破思维定式,则可走出“山重水尽”的困境,走上“柳暗花明”的大道.下面笔者从动态的角度出发,对极限的思想就两个方面进行例谈.

一、在图形形状的变化中运用极限思想

立体几何中的柱、锥、台之间有千丝万缕的联系,无论是定义,还是面积、体积公式,无不体现着极限思想.因此,在解答上述图形问题时,为了避免复杂计算,可运用极限思想去解决.

【例1】 已知圆锥的底面半径为R,高为h,在其内部放一高为x的内接正n棱柱,当棱柱的侧面积取得最大值时,x的值是( ).

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解:将正n棱柱视为圆柱,这时S圆柱侧=2·π≤(h-xhR)x=

2πRh(h-x)x≤2πRh·[(h-x)+x2]2=

πRh2

,当且仅当h-x=x,即x=h2时,圆柱侧面积最大.

【例2】 一棱台的上下底面积之比为1∶4,则以棱台中截面为底面,以棱台的侧棱延长线的交点为顶点的棱锥与该棱台的体积之比为( ).

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解:将棱台视为圆台时,棱锥则可视为圆锥,由条件可得,上下底半径为1∶2.设顶点O到上底面的距离为x,圆台的高为y,则易求得xx+y=12,

∴x=y,进而求得两体积之比为27∶56,选A.

【例3】 过棱台高的三等分点作两个平行于底面的截面,则夹在两截面间的几何体的体积与原棱台体积的比值是( ).

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能确定

解:此题可考虑棱台形状的变化,当棱台趋于棱柱时,两体积之比为1∶3,当棱台趋于棱锥时,两体积之比为7∶27,因此只能选D.

二、在图形的点、位置的变化中运用极限思想

【例4】 空间四边形ABCD的对角线AC=12,BD=10,截面MNRS与两对角线AC、BD平行,则截面四边形MNRS的周长的取值范围是( ).

A.(10,12) B.(4,11) C.(20,24) D.取值与AB、CD的长有关

分析:若用常规方法,则要用到线面平行、线段成比例等性质才能解决,运算麻烦.若运用极限思想,则简捷明了.

解:如图1,易知截面为平行四边形,当MN→AC,即MN→12时,MS→0,∴截面MNRS的周长→24,同样,当MS→BD,即MS→10时,截面MNSR的周长→20,故选C.

【例5】 如图2,设正三棱锥P—ABC的底面△ABC的中心为O,过O点的动平面与三条侧棱或其延长线分别交于Q、R、S,则1PQ+1PR+1PS

( ).

A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一个常数

练习题:1.已知三棱锥S—ABC的顶点在底面的射影在△ABC内,则∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范围是( ).

A.(0,π)

B.(0,π2)

C.(π2.π)

D.(0,2π)

分析:当顶点S→无穷远处,∠ASC+∠BSC+∠CSA→0,顶点S→底面时,∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π,故选D.

2.由半径为R的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC,则PA2+PB2+PC2的值等于( ).

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解:当PC→球面相切时,PC→0,而面PAB→过球心,AB→2R,则PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→(2R)2=4R2;当PB、PC→球面相切时,PB,PC→0,PA→2R,∴PA2+PB2+PC2→PA2→(2R)2=4R2,故选D.

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