数学素质教育中学生直觉力的培养

覃卓

关于数学素质教育，教师比较一致的看法是：对比能力的培养和基本知识、技能的学习，能力的培养更为重要，其核心在于培养学生的数学逻辑思维，帮助学生以数学的眼光观察世界和处理问题.

意大利哲学家、美学家克罗齐指出，人的知识来源有两种：一种是直觉的，一种是逻辑的；前者是“从想象中得来的”，后者是“从理智中得来的”.前苏联科学家凯德洛夫说：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动.”

直觉是直觉力的具体表现，它以高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题，是一种能迅速识别、直接理解和综合判断的能力.数学家视直觉力为数学创造的重要工具，法国著名的数学家彭加勒曾经指出：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具.”因此，在数学素质教育中，强化直觉力的培养尤为重要.狄多涅就告诫学生：“经验证明，要达到这个目的（指对所要处理的数学对象有一个‘可靠的直觉），只能通过长期与所要学习的教材打交道，并且不断尝试从所有可能的角度去了解它……获得‘直觉的过程，必须经历一个纯形式、表面理解的时期，然后逐步将理解提高、深化.”

在数学素质教育中，要培养学生的创造力，就必须培养学生的直觉力.本文从以下几个方面谈谈对学生直觉力的培养.

一、知识经验积累——培养直觉力的基础

知识经验积累是直觉力产生的主要因素之一.学习者利用头脑里已有的知识或经验对数学问题作出预期的评估和判断，这种评估和判断往往是解决问题思路的关键和本质，也是培养直觉力的基础.

二、数形结合——诱发直觉力的灵感

俗话说：“数离形时少直观，形离数时少入微.”在数学教学中，教师要引导学生通过由形思数、由数辅形，借助图形特征的诱发直觉力的灵感.

分析：要善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法解题.

三、类比联想——培养直觉力的品质

类比联想是产生直觉的先导，类比联想主要通过对不同对象的比较，由此及彼，把抽象的问题具体化、复杂的问题简单化、生疏的问题熟悉化，从而达到培养直觉力的品质.

【例4】 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，证明：x、y、z成等差数列.

分析：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0的结构像一元二次方程的判别式，因此猜想可通过构造符合题意的一元二次方程来解决.构造方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，

由此方程的判别式为零，可知该方程有两个相等的实根1，由韦达定理可知

1+1=-（z-x）x-y，化简得2y=x+z.

四、强化洞察——培养直觉力的敏锐度

历史上很多科学发现都是科学家从精心观察入手，经过对事物长期不懈的深入考察后，充分调动大脑中贮存的知识信息，孕育预感，催生灵感，悟出科学真谛.学生在解题中更少不了洞察，只有洞察才有发现.洞察不是停留在对表象的认识，而是透过表象触及事物的本质、规律.

【例5】 计算：24×（32+1）×（34+1）×（38+1）×…×（32n+1）+3.

分析：此题直接求解颇难，难在不易观察出题中的数量关系：“24=3（32-1）”.若击破此难点，则易得结果为32n+1+1.

【例6】 求（x+1x+2）6展开式中的常数项.

分析：常规方法是将（x+1x+2）6组合为[（x+1x）+2]6，然后展开求解，但过程较繁琐.若注意到括号内的常数2=2·x·1x，则有x+1x+2=（x+1）2x.问题转化为求（x+1）12展开式中x6项的系数.结果为C612.

五、数学美感——培养直觉力的源泉

数学家彭加勒和阿达玛认为，数学事实间的最佳组合往往是依靠审美直觉找出的，没有美感的人，就不可能成为数学发明家.审视和挖掘数学美感是直觉力的重要源泉.“简单”“对称”“和谐”体现了数学的美感，给人们以美的享受.“简单美”“对称美”“和谐美”“奇异美”可能出现在数学的条件、图形、结论或解题过程中，这种美往往能让人痴迷于其中.若教师在教学中，能巧妙地运用数学美，适时点拨，有利于培养学生的直觉力.

【例7】 已知a为实数，试解关于x的四次不等式：x4-2ax2+a2+2a-3>0.

分析：若直接从x入手，将难以寻求解题思路.然而，把此题看成关于a的一元二次不等式，问题便迎刃而解.

解：将原不等式整理得a2+2（1-x2）a+x4-3>0.

∵a为实数，且首项系数为1>0，则有Δ=[2（1-x2）]2-4（x4-3）<0，

解得x2>2.故x<-2或x>2.

【例8】 已知a>0，b>0，且a+b=1，试求（a+1a）（b+1b）的最小值.

分析：这里的a，b具有对称性，可猜想当a=b=12时，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

解：设a=12+x，b=12-x，-12

得（a+1a）（b+1b）=25+24x2+16x44-16x2.

显然，当x=0时，同时使分子取得最小值25，分母取得最大值4，从而a=b=12时，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

（责任编辑 钟伟芳）

关于数学素质教育，教师比较一致的看法是：对比能力的培养和基本知识、技能的学习，能力的培养更为重要，其核心在于培养学生的数学逻辑思维，帮助学生以数学的眼光观察世界和处理问题.

意大利哲学家、美学家克罗齐指出，人的知识来源有两种：一种是直觉的，一种是逻辑的；前者是“从想象中得来的”，后者是“从理智中得来的”.前苏联科学家凯德洛夫说：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动.”

直觉是直觉力的具体表现，它以高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题，是一种能迅速识别、直接理解和综合判断的能力.数学家视直觉力为数学创造的重要工具，法国著名的数学家彭加勒曾经指出：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具.”因此，在数学素质教育中，强化直觉力的培养尤为重要.狄多涅就告诫学生：“经验证明，要达到这个目的（指对所要处理的数学对象有一个‘可靠的直觉），只能通过长期与所要学习的教材打交道，并且不断尝试从所有可能的角度去了解它……获得‘直觉的过程，必须经历一个纯形式、表面理解的时期，然后逐步将理解提高、深化.”

在数学素质教育中，要培养学生的创造力，就必须培养学生的直觉力.本文从以下几个方面谈谈对学生直觉力的培养.

一、知识经验积累——培养直觉力的基础

知识经验积累是直觉力产生的主要因素之一.学习者利用头脑里已有的知识或经验对数学问题作出预期的评估和判断，这种评估和判断往往是解决问题思路的关键和本质，也是培养直觉力的基础.

二、数形结合——诱发直觉力的灵感

俗话说：“数离形时少直观，形离数时少入微.”在数学教学中，教师要引导学生通过由形思数、由数辅形，借助图形特征的诱发直觉力的灵感.

分析：要善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法解题.

三、类比联想——培养直觉力的品质

类比联想是产生直觉的先导，类比联想主要通过对不同对象的比较，由此及彼，把抽象的问题具体化、复杂的问题简单化、生疏的问题熟悉化，从而达到培养直觉力的品质.

【例4】 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，证明：x、y、z成等差数列.

分析：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0的结构像一元二次方程的判别式，因此猜想可通过构造符合题意的一元二次方程来解决.构造方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，

由此方程的判别式为零，可知该方程有两个相等的实根1，由韦达定理可知

1+1=-（z-x）x-y，化简得2y=x+z.

四、强化洞察——培养直觉力的敏锐度

历史上很多科学发现都是科学家从精心观察入手，经过对事物长期不懈的深入考察后，充分调动大脑中贮存的知识信息，孕育预感，催生灵感，悟出科学真谛.学生在解题中更少不了洞察，只有洞察才有发现.洞察不是停留在对表象的认识，而是透过表象触及事物的本质、规律.

【例5】 计算：24×（32+1）×（34+1）×（38+1）×…×（32n+1）+3.

分析：此题直接求解颇难，难在不易观察出题中的数量关系：“24=3（32-1）”.若击破此难点，则易得结果为32n+1+1.

【例6】 求（x+1x+2）6展开式中的常数项.

分析：常规方法是将（x+1x+2）6组合为[（x+1x）+2]6，然后展开求解，但过程较繁琐.若注意到括号内的常数2=2·x·1x，则有x+1x+2=（x+1）2x.问题转化为求（x+1）12展开式中x6项的系数.结果为C612.

五、数学美感——培养直觉力的源泉

数学家彭加勒和阿达玛认为，数学事实间的最佳组合往往是依靠审美直觉找出的，没有美感的人，就不可能成为数学发明家.审视和挖掘数学美感是直觉力的重要源泉.“简单”“对称”“和谐”体现了数学的美感，给人们以美的享受.“简单美”“对称美”“和谐美”“奇异美”可能出现在数学的条件、图形、结论或解题过程中，这种美往往能让人痴迷于其中.若教师在教学中，能巧妙地运用数学美，适时点拨，有利于培养学生的直觉力.

【例7】 已知a为实数，试解关于x的四次不等式：x4-2ax2+a2+2a-3>0.

分析：若直接从x入手，将难以寻求解题思路.然而，把此题看成关于a的一元二次不等式，问题便迎刃而解.

解：将原不等式整理得a2+2（1-x2）a+x4-3>0.

∵a为实数，且首项系数为1>0，则有Δ=[2（1-x2）]2-4（x4-3）<0，

解得x2>2.故x<-2或x>2.

【例8】 已知a>0，b>0，且a+b=1，试求（a+1a）（b+1b）的最小值.

分析：这里的a，b具有对称性，可猜想当a=b=12时，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

解：设a=12+x，b=12-x，-12

得（a+1a）（b+1b）=25+24x2+16x44-16x2.

显然，当x=0时，同时使分子取得最小值25，分母取得最大值4，从而a=b=12时，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

（责任编辑 钟伟芳）

关于数学素质教育，教师比较一致的看法是：对比能力的培养和基本知识、技能的学习，能力的培养更为重要，其核心在于培养学生的数学逻辑思维，帮助学生以数学的眼光观察世界和处理问题.

意大利哲学家、美学家克罗齐指出，人的知识来源有两种：一种是直觉的，一种是逻辑的；前者是“从想象中得来的”，后者是“从理智中得来的”.前苏联科学家凯德洛夫说：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动.”

直觉是直觉力的具体表现，它以高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题，是一种能迅速识别、直接理解和综合判断的能力.数学家视直觉力为数学创造的重要工具，法国著名的数学家彭加勒曾经指出：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具.”因此，在数学素质教育中，强化直觉力的培养尤为重要.狄多涅就告诫学生：“经验证明，要达到这个目的（指对所要处理的数学对象有一个‘可靠的直觉），只能通过长期与所要学习的教材打交道，并且不断尝试从所有可能的角度去了解它……获得‘直觉的过程，必须经历一个纯形式、表面理解的时期，然后逐步将理解提高、深化.”

在数学素质教育中，要培养学生的创造力，就必须培养学生的直觉力.本文从以下几个方面谈谈对学生直觉力的培养.

一、知识经验积累——培养直觉力的基础

知识经验积累是直觉力产生的主要因素之一.学习者利用头脑里已有的知识或经验对数学问题作出预期的评估和判断，这种评估和判断往往是解决问题思路的关键和本质，也是培养直觉力的基础.

二、数形结合——诱发直觉力的灵感

俗话说：“数离形时少直观，形离数时少入微.”在数学教学中，教师要引导学生通过由形思数、由数辅形，借助图形特征的诱发直觉力的灵感.

分析：要善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法解题.

三、类比联想——培养直觉力的品质

类比联想是产生直觉的先导，类比联想主要通过对不同对象的比较，由此及彼，把抽象的问题具体化、复杂的问题简单化、生疏的问题熟悉化，从而达到培养直觉力的品质.

【例4】 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，证明：x、y、z成等差数列.

分析：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0的结构像一元二次方程的判别式，因此猜想可通过构造符合题意的一元二次方程来解决.构造方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，

由此方程的判别式为零，可知该方程有两个相等的实根1，由韦达定理可知

1+1=-（z-x）x-y，化简得2y=x+z.

四、强化洞察——培养直觉力的敏锐度

历史上很多科学发现都是科学家从精心观察入手，经过对事物长期不懈的深入考察后，充分调动大脑中贮存的知识信息，孕育预感，催生灵感，悟出科学真谛.学生在解题中更少不了洞察，只有洞察才有发现.洞察不是停留在对表象的认识，而是透过表象触及事物的本质、规律.

【例5】 计算：24×（32+1）×（34+1）×（38+1）×…×（32n+1）+3.

分析：此题直接求解颇难，难在不易观察出题中的数量关系：“24=3（32-1）”.若击破此难点，则易得结果为32n+1+1.

【例6】 求（x+1x+2）6展开式中的常数项.

分析：常规方法是将（x+1x+2）6组合为[（x+1x）+2]6，然后展开求解，但过程较繁琐.若注意到括号内的常数2=2·x·1x，则有x+1x+2=（x+1）2x.问题转化为求（x+1）12展开式中x6项的系数.结果为C612.

五、数学美感——培养直觉力的源泉

数学家彭加勒和阿达玛认为，数学事实间的最佳组合往往是依靠审美直觉找出的，没有美感的人，就不可能成为数学发明家.审视和挖掘数学美感是直觉力的重要源泉.“简单”“对称”“和谐”体现了数学的美感，给人们以美的享受.“简单美”“对称美”“和谐美”“奇异美”可能出现在数学的条件、图形、结论或解题过程中，这种美往往能让人痴迷于其中.若教师在教学中，能巧妙地运用数学美，适时点拨，有利于培养学生的直觉力.

【例7】 已知a为实数，试解关于x的四次不等式：x4-2ax2+a2+2a-3>0.

分析：若直接从x入手，将难以寻求解题思路.然而，把此题看成关于a的一元二次不等式，问题便迎刃而解.

解：将原不等式整理得a2+2（1-x2）a+x4-3>0.

∵a为实数，且首项系数为1>0，则有Δ=[2（1-x2）]2-4（x4-3）<0，

解得x2>2.故x<-2或x>2.

【例8】 已知a>0，b>0，且a+b=1，试求（a+1a）（b+1b）的最小值.

分析：这里的a，b具有对称性，可猜想当a=b=12时，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

解：设a=12+x，b=12-x，-12

得（a+1a）（b+1b）=25+24x2+16x44-16x2.

显然，当x=0时，同时使分子取得最小值25，分母取得最大值4，从而a=b=12时，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

（责任编辑 钟伟芳）