点击高考中的线性规划问题

蒋平

一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题称为线性规划问题.近几年，线性规划问题在各省份的高考卷中频频出现，逐渐从简单的线性规划问题向含参数类的综合问题转变.以下笔者对各省市高考卷中出现的线性规划问题进行归纳和整理，望与读者共勉.

一、简单线性规划问题

线性规划问题的核心思想是数形结合，解决此类问题一般分三个步骤：画（画出可行域）、移（平移目标函数所得直线）、求（解方程组求最值）.按照约束条件和目标函数的含参情况，现将问题分为以下四类：

1.约束条件和目标函数不含参数

例1：（2013天津卷）设变量x，y满足约束条件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，则目标函数z=y-2x的最小值为？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图1所示，将目标函数变形为y=2x+z，平移直线y=2x得过点A时目标函数取得最小值，将点A（5，3）坐标代入z=y-2x得：z■=-7.

图1

例2：（2011浙江卷）设实数x，y满足不等式组x+2y-5>02x+y-7>0x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x+4y的最小值是？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图2所示，令z=3x+4y，则y=-■+■，直线x+2y-5=0与直线2x+y-7=0的交点为A（3，1），因为x，y为整数，所以平移直线y=-■x过点B（4，1）时，z取得最小值16.

图2

2.目标函数含参数

例3：（2013浙江文科卷）设z=kx+y，其中实数x，y满足x≥2x-2y+4≥02x-y-4≤0，若z的最大值为12，则实数k=？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图3所示，将目标函数变形为y=-kx+z，若x=0，与题意矛盾;若k>0，则z=kx+y在点A（4，4）处取得最大值，此时k=2;若k<0，则z=kx+y在点A（4，4）或点B（2，3）处取得最大值，此时k=2或k=■矛盾，综上，k=2.

图3

变式：（2013全国大纲卷）记不等式组x≥0x+3y≥43x+y≤4，所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图4所示，因为y=a（x+1）过顶点A（-1，0），所以由图可得，k■

图4

3.约束条件含参数

例4：（2013新课标II卷）已知a>0，x，y满足约束条件x≥1x+y≤3y≥a（x-3），若z=2x+y的最小值为1，则a=？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图5所示，将目标函数变形为y=-2x+z，平移直线y=-2x过点A（1，2a）时z=2x+y取得最小值1，代值解得a=■.

图5

例5：（2013北京卷）设关于x，y的不等式组2x-y+1>0x+m<3y-m>0表示的平面区域内存在点P（x■，y■）满足x■-2y■=2，求得m的取值范围是？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图6所示，若平面区域内存在点P（x■，y■）满足x■-2y■=2，则点A（-m，m）在直线x-2y=2的下方，即m<-■.

图6

变式（2012福建卷）若函数y=2■图像上存在点（x，y）满足约束条件x+y-3≤0x-2y-3≤0x≥m，则实数m的最大值为？摇        ？摇.

分析：如图7，当x=m经过直线x+y-3=0和y=2■的交点A（1，2）时，m取得最大值1.

图7

4.约束条件和目标函数均含参数

例6（2011湖南卷）设m>1，在约束条件y≥xy≤mxx+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为？摇        ？摇.

图8

分析：满足约束条件的可行域如图8所示，将目标函数变形为y=-■+■，因为m>1，由图可得，z=x+my在点A（■，■）处取得最大值，即■+■<2，解得1

二、拓展：线性规划与其他知识点的结合

近几年，线性规划问题在高考卷中逐渐走向含参数类的综合问题，同时也和其他知识点结合起来考查，提高了学生分析问题和解决问题能力的要求.

例7：（2013江苏卷）抛物线y=x■在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）.若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是？摇        ？摇.

分析：本题是利用导数求切线方程与线性规划的简单结合，抛物线y=x■在x=1处的切线为2x-y-1=0，与两坐标轴围成三角形区域为D如图9所示，令z=x+2y，则y=-■+■，易得x+2y的取值范围是[2，■].

图9

例8：（2011福建卷）已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域x+y≥2x≤1y≤2上的一个动点，则■·■的取值范围是？摇        ？摇.

分析：本题是向量的数量积与线性规划的简单结合，■·■=-x+y，令z=-x+y，则形似向量的问题就转化为简单线性规划问题，易得■·■的取值范围是[0，2].

一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题称为线性规划问题.近几年，线性规划问题在各省份的高考卷中频频出现，逐渐从简单的线性规划问题向含参数类的综合问题转变.以下笔者对各省市高考卷中出现的线性规划问题进行归纳和整理，望与读者共勉.

一、简单线性规划问题

线性规划问题的核心思想是数形结合，解决此类问题一般分三个步骤：画（画出可行域）、移（平移目标函数所得直线）、求（解方程组求最值）.按照约束条件和目标函数的含参情况，现将问题分为以下四类：

1.约束条件和目标函数不含参数

例1：（2013天津卷）设变量x，y满足约束条件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，则目标函数z=y-2x的最小值为？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图1所示，将目标函数变形为y=2x+z，平移直线y=2x得过点A时目标函数取得最小值，将点A（5，3）坐标代入z=y-2x得：z■=-7.

图1

例2：（2011浙江卷）设实数x，y满足不等式组x+2y-5>02x+y-7>0x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x+4y的最小值是？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图2所示，令z=3x+4y，则y=-■+■，直线x+2y-5=0与直线2x+y-7=0的交点为A（3，1），因为x，y为整数，所以平移直线y=-■x过点B（4，1）时，z取得最小值16.

图2

2.目标函数含参数

例3：（2013浙江文科卷）设z=kx+y，其中实数x，y满足x≥2x-2y+4≥02x-y-4≤0，若z的最大值为12，则实数k=？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图3所示，将目标函数变形为y=-kx+z，若x=0，与题意矛盾;若k>0，则z=kx+y在点A（4，4）处取得最大值，此时k=2;若k<0，则z=kx+y在点A（4，4）或点B（2，3）处取得最大值，此时k=2或k=■矛盾，综上，k=2.

图3

变式：（2013全国大纲卷）记不等式组x≥0x+3y≥43x+y≤4，所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图4所示，因为y=a（x+1）过顶点A（-1，0），所以由图可得，k■

图4

3.约束条件含参数

例4：（2013新课标II卷）已知a>0，x，y满足约束条件x≥1x+y≤3y≥a（x-3），若z=2x+y的最小值为1，则a=？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图5所示，将目标函数变形为y=-2x+z，平移直线y=-2x过点A（1，2a）时z=2x+y取得最小值1，代值解得a=■.

图5

例5：（2013北京卷）设关于x，y的不等式组2x-y+1>0x+m<3y-m>0表示的平面区域内存在点P（x■，y■）满足x■-2y■=2，求得m的取值范围是？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图6所示，若平面区域内存在点P（x■，y■）满足x■-2y■=2，则点A（-m，m）在直线x-2y=2的下方，即m<-■.

图6

变式（2012福建卷）若函数y=2■图像上存在点（x，y）满足约束条件x+y-3≤0x-2y-3≤0x≥m，则实数m的最大值为？摇        ？摇.

分析：如图7，当x=m经过直线x+y-3=0和y=2■的交点A（1，2）时，m取得最大值1.

图7

4.约束条件和目标函数均含参数

例6（2011湖南卷）设m>1，在约束条件y≥xy≤mxx+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为？摇        ？摇.

图8

分析：满足约束条件的可行域如图8所示，将目标函数变形为y=-■+■，因为m>1，由图可得，z=x+my在点A（■，■）处取得最大值，即■+■<2，解得1

二、拓展：线性规划与其他知识点的结合

近几年，线性规划问题在高考卷中逐渐走向含参数类的综合问题，同时也和其他知识点结合起来考查，提高了学生分析问题和解决问题能力的要求.

例7：（2013江苏卷）抛物线y=x■在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）.若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是？摇        ？摇.

分析：本题是利用导数求切线方程与线性规划的简单结合，抛物线y=x■在x=1处的切线为2x-y-1=0，与两坐标轴围成三角形区域为D如图9所示，令z=x+2y，则y=-■+■，易得x+2y的取值范围是[2，■].

图9

例8：（2011福建卷）已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域x+y≥2x≤1y≤2上的一个动点，则■·■的取值范围是？摇        ？摇.

分析：本题是向量的数量积与线性规划的简单结合，■·■=-x+y，令z=-x+y，则形似向量的问题就转化为简单线性规划问题，易得■·■的取值范围是[0，2].

一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题称为线性规划问题.近几年，线性规划问题在各省份的高考卷中频频出现，逐渐从简单的线性规划问题向含参数类的综合问题转变.以下笔者对各省市高考卷中出现的线性规划问题进行归纳和整理，望与读者共勉.

一、简单线性规划问题

线性规划问题的核心思想是数形结合，解决此类问题一般分三个步骤：画（画出可行域）、移（平移目标函数所得直线）、求（解方程组求最值）.按照约束条件和目标函数的含参情况，现将问题分为以下四类：

1.约束条件和目标函数不含参数

例1：（2013天津卷）设变量x，y满足约束条件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，则目标函数z=y-2x的最小值为？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图1所示，将目标函数变形为y=2x+z，平移直线y=2x得过点A时目标函数取得最小值，将点A（5，3）坐标代入z=y-2x得：z■=-7.

图1

例2：（2011浙江卷）设实数x，y满足不等式组x+2y-5>02x+y-7>0x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x+4y的最小值是？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图2所示，令z=3x+4y，则y=-■+■，直线x+2y-5=0与直线2x+y-7=0的交点为A（3，1），因为x，y为整数，所以平移直线y=-■x过点B（4，1）时，z取得最小值16.

图2

2.目标函数含参数

例3：（2013浙江文科卷）设z=kx+y，其中实数x，y满足x≥2x-2y+4≥02x-y-4≤0，若z的最大值为12，则实数k=？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图3所示，将目标函数变形为y=-kx+z，若x=0，与题意矛盾;若k>0，则z=kx+y在点A（4，4）处取得最大值，此时k=2;若k<0，则z=kx+y在点A（4，4）或点B（2，3）处取得最大值，此时k=2或k=■矛盾，综上，k=2.

图3

变式：（2013全国大纲卷）记不等式组x≥0x+3y≥43x+y≤4，所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图4所示，因为y=a（x+1）过顶点A（-1，0），所以由图可得，k■

图4

3.约束条件含参数

例4：（2013新课标II卷）已知a>0，x，y满足约束条件x≥1x+y≤3y≥a（x-3），若z=2x+y的最小值为1，则a=？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图5所示，将目标函数变形为y=-2x+z，平移直线y=-2x过点A（1，2a）时z=2x+y取得最小值1，代值解得a=■.

图5

例5：（2013北京卷）设关于x，y的不等式组2x-y+1>0x+m<3y-m>0表示的平面区域内存在点P（x■，y■）满足x■-2y■=2，求得m的取值范围是？摇        ？摇.

分析：满足约束条件的可行域如图6所示，若平面区域内存在点P（x■，y■）满足x■-2y■=2，则点A（-m，m）在直线x-2y=2的下方，即m<-■.

图6

变式（2012福建卷）若函数y=2■图像上存在点（x，y）满足约束条件x+y-3≤0x-2y-3≤0x≥m，则实数m的最大值为？摇        ？摇.

分析：如图7，当x=m经过直线x+y-3=0和y=2■的交点A（1，2）时，m取得最大值1.

图7

4.约束条件和目标函数均含参数

例6（2011湖南卷）设m>1，在约束条件y≥xy≤mxx+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为？摇        ？摇.

图8

分析：满足约束条件的可行域如图8所示，将目标函数变形为y=-■+■，因为m>1，由图可得，z=x+my在点A（■，■）处取得最大值，即■+■<2，解得1

二、拓展：线性规划与其他知识点的结合

近几年，线性规划问题在高考卷中逐渐走向含参数类的综合问题，同时也和其他知识点结合起来考查，提高了学生分析问题和解决问题能力的要求.

例7：（2013江苏卷）抛物线y=x■在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）.若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是？摇        ？摇.

分析：本题是利用导数求切线方程与线性规划的简单结合，抛物线y=x■在x=1处的切线为2x-y-1=0，与两坐标轴围成三角形区域为D如图9所示，令z=x+2y，则y=-■+■，易得x+2y的取值范围是[2，■].

图9

例8：（2011福建卷）已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域x+y≥2x≤1y≤2上的一个动点，则■·■的取值范围是？摇        ？摇.

分析：本题是向量的数量积与线性规划的简单结合，■·■=-x+y，令z=-x+y，则形似向量的问题就转化为简单线性规划问题，易得■·■的取值范围是[0，2].