小车吊重系统动力学模型与仿真

王银安

（上海海事大学物流工程学院，中国上海201306）

0 引言

桥式起重机广泛应用于码头、电厂等各个领域，是一种重要的装卸作业机械。然而起重机在作业过程中会受到风 力、摩擦力等外界因素以及小车加减速的影响，会引起的吊重的摆动。吊重防摇控制系统是现代起重机的重要组成部分。一个好的防摇控制系统对提高工作生产效率和减少安全生产隐患具有重大意义[2]。

起重机在工作时，电机牵引小车在桥架轨道上运动，小车和吊重之间通过柔性钢丝绳进行连接，并随小车的运动而运动，可类似看作单摆运动。由于单摆运动本身就是一个非线性系统，再加上固定点不断的加减速，这就使系统变得更加复杂，难以获得精确的数学模型。本文以实用性和准确性为出发点，并根据起重机的结构特点，通过分析力学中的拉格朗日方程来建立小车-吊重系统的简化动力学模型，该模型能很好的反应小车-吊重系统的动力学特征，同时该模型易于分析及计算机仿真，便于工程应用。

1 小车-吊重系统简化模型建立

1.1 几何模型与简化

实际起重机模型系统比较复杂，为了分析其运动特性，可以对其作如下假设和简化处理：只考虑小车吊重的横向摆动且摆角较小；钢丝绳的质量以及长度变化可以忽略不计；不计空气阻力、风力以及小车和轨道之间的摩擦力[3]。

图1为简化的小车吊重系统几何模型，小车质量为M，吊重质量为m，小车和吊重的坐标分别为(xM,yM)和（xm，ym）,l为钢丝绳长，以力F方向为x轴正向，垂直地面向下为y轴正向，建立直角坐标系，摆角为系统的广义坐标。

图1 小车-吊重系统几何模型

1.2 基于拉格朗日的动力学建模

拉格朗日方程[1]是从能量的观点建立起来的运动方程，在建立系统运动方程时，只需分析系统的动能和广义力，因此可以大大简化建模过程。拉格朗日方程为：

其中，L为拉格朗日算子，T为系统的动能函数，V为系统的势能函数，qi为系统广义变量，fi为系统广义外力。

如图1，小车和吊重的水平和垂直位移分量表示为：

小车和吊重的速度分量为:

系统的动能为：

设初始位置绳长为h，则系统的势能为：

系统的拉格朗日算子为：

在q（t）=0（t）广义坐标下，由于不计空气阻力和风力，并且忽略钢丝绳与小车连接处的摩擦力，故Fθ=0。于是：精简化，系统的拉格朗日方程为：

1.3 操作点附近的线性方程

考虑到实际情况，在小车水平运动过程中，可以忽略垂直方向的绳长变化，即假定；在操作点 θ=0 附近，θ 只有很小的变化，可以假定 sinθ=θ，cosθ=1。 故式（11）的非线性方程可简化为：

2 小车-吊重系统动态仿真

2.1 伺服电机的启动特性

本文伺服系统通过位置指令对电机进行控制，该指令设定电机启动由零转速达到设定转速为直线加减速的方式。伺服驱动器的时间常数设定为3ms，伺服电机的启动特性[4]如下图2所示：

图2 伺服电机启动特性

鉴于伺服电机的快速响应特性，我们可以把电机的启动过程看作理想系统，把伺服电机看作惯性环节，其传递函数为：

2.2 仿真方法和仿真结果

本文采用MATLAB中的Simulink模块进行建模[5]，实现动态系统的仿真与分析。动态仿真的目的是分析小车加速度和吊重绳长对摆角的影响规律，因此分别按不同的小车速度和绳长组合起来进行小车-吊重系统的动态仿真。

1）绳长对吊重摆角的影响。在给定速度V=0.2m/s情况下，设吊重绳长分别为 L=0.2m，0.3m，0.4m，进行动态仿真。 根据仿真结果绘制的吊重摆角曲线如图3所示：

图3 绳长与吊重摆角的关系

由图3知：当电机启动时，小车处于加速状态，吊重摆动滞后，具有较大的负摆角，当给定速度信号降为零时，小车处于减速状态，吊重以较大的摆角向前运动。当小车匀速运动或运动后处于静止状态时，小车作自由振动。吊重摆角的大小受绳长的影响相对较小，而吊重摆阵的频率随绳长L的增加而减小。

2）小车设定速度对吊重摆角的影响。由伺服电机的启动特性知，小车设定速度越大，电机启动时小车加速度越大。给定绳长L=0.4m，设小车设定速度分别为 0.1m/s，0.2m/s，0.3m/s，进行动态仿真。 吊重摆阵角度曲线如图4所示：

图4 小车设定速度与摆角关系曲线

由仿真结果知：吊重摆动角度大小受小车加速度影响较大，并随小车加速度的增加而增大，而吊重摆动频率受小车加速度的影响相对较小。

3 结论

建立小车-吊重系统的动力学模型对吊重防摇摆控制方法的研究具有重大的意义。本文通过对小车-吊重系统动力学模型进行计算机动态仿真，研究吊重绳长、小车加（减）速度和吊重摆动角度的关系，根据仿真结果，在防摇摆控制研究中应着重考虑小车加（减）速度和吊重绳长两个方面对吊重摆动角度的影响。

［1］Sirri Sunay Gurleyuk,Ozgur Bahadir,Yunus Turkkan.Improved Three-Step Input Shaping Control of Crane System[J].ISSN Issue 6,Volume 7,June 2008.

［2］吴宏智.集装箱装卸搬运机械发展概况[J].物流技术，1994（5）.

［3］李伟.起重机载荷摆阵模型的简化条件及误差[J].山东建筑工程学院学报，1998,13（1）.

［4］田景良.桥式起重机构造与检修[M].北京：化学工业出版社，2008：78-89.

［5］王正林，王胜开，陈国顺.MATLAB/Simulink 与控制系统仿真[M].北京：电子工业出版社，2005.