求方阵初等因子的一种新方法及其数值实现

杜翠真，尹潇潇

（1.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000；2.云南财经大学 统计与数学学院，云南 昆明 650221）

0 引言

矩阵理论的相当一部分内容都能看作是Jordan标准形的应用，所以Jordan标准形的求法受到了国内外学者的关注.利用λ-矩阵的初等变换化A的特征矩阵为标准形或对角形，再计算初等因子，或根据行列式因子、不变因子和初等因子的关系计算初等因子是求Jordan标准形常用的方法，如文献[1].而对阶数较高的矩阵，文献[1]给出的方法计算量很大.

鉴于此，本文先求出幂零矩阵A的初等因子λj的个数hj，再利用n阶矩阵A的特征值λi的秩指数求出A的初等因子(λ-λi)j的个数 hj(i=1,2,…,s).

1 基础知识

定义 1.1[2]设A∈Cn×n，若存在正整数 k，使得Ak=0.称A是幂零矩阵.满足等式Ak=0的最小正整数k称为A的幂零指数.

定义 1.2 设 A∈Cn×n，λi是 A的特征值(i=1,2,…,s)，若 r((λiE-A)ki)=r((λiE-A)ki+1)，则称 ki是 A的特征值 λi(i=1,2,…,s)的秩指数.

引理1.1[1]每个n级复数矩阵A都与一个若当形矩阵J相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的，J称为A的若当标准形.

即对任意 A∈Cn×n，则存在可逆矩阵 P∈Cn×n，使得

Jij是主对角线元素均是λi的若当块(j=1,2,…,it).

若当形矩阵J是对角形矩阵的区别在于它的下对角线（与主对角线平行的下方第一条对角线）的元素是1或是0，因此 是一个特殊的下三角形矩阵.

2 主要结论

引理2.1 设A是幂零矩阵，那么r(A)>r(A2)>r(A3)>…>r(Ak)=r(Ak+1)=0.

证明 由引理1.1可知，对幂零矩阵A，存在可逆矩阵P，使得

因为r(J)>r(J2)>r(J3)>…>r(Jk)=r(jk+1)=0，

r(Ji)=r(Ai)(i=1,2,…)，

所以r(A)>r(A2)>r(A3)>…>r(Ak)=r(Ak+1)=0.

引理2.2[3]对矩阵A,B,C，有r(ABC)>r(AB)+r(BC)-r(B).

因为r(A3)>r(A2)+r(A2)-r(A),r(A)-r(A2)>r(A2)-r(A3).

所以 △i=r(Ai)-r(Ai+1)(i=0,1,…,k-1)递减，hi=△i-1-△i≥0(i=1,2,…,k).

对幂零指数为k的矩阵A，A的最后一个不便因子是λk，所以 A的初等因子为 λj(j∈{1,2,…,k})，且至少有一个初等因子λk.

定理2.1 设A是幂零指数为k的幂零矩阵，那么A有

个初等因子λi.

证明 设A的Jordan标准形为J，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J.

所以A有hi=r(Ai-1)-2r(Ai)+r(Ai+1)(i=1,2,…,k)个初等因子

定理 2.2 设 A∈n×n，λi(i=1,2,…,s)是 A的特征值，那么

为A的初等因子(λ-λi)j个数，若λi为单根，那么A的初等因子(λ-λi)的个数是 1.

证明 设A的Jordan标准形为J，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J.

所以A有hj个初等因子(λ-λi)j.

3 应用举例及其数值实现

由定理2.2可知，对任意一个n阶矩阵A，按照定理2.2中的公式可唯一求出A的初等因子(λ-λi)j的个数hj.下面给出实例及其Matlab程序实现.

解 |λE-A|=(λ-1)2(λ+1)，所以 λ1=1(2重）,λ2=-1.

所以A的初等因子为λ-1,λ-1,λ+1.

Matlab编程如下

4 结论

本文利用矩阵A的特征值λi的秩指数给出初等因子(λ-λi)j的个数，避开繁琐的λ-矩阵的初等变换，化A的特征矩阵为对角形，求出初等因子.该方法降低了计算难度和计算量，简单易行，程序性强，易于编程.

〔1〕北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003.

〔2〕张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].第四版.北京:高等教育出版社,2007.

〔3〕赵礼峰.高等代数解题法[M].合肥:安徽大学出版社,2004.