四阶行列式不能简单地利用对角线法则计算
2014-12-29 13:04李代钦
科教导刊 2014年36期
李代钦
摘 要 行列式的计算是线性代数中的一个重点内容，由于计算方法的多变，使得这也成为一个难点内容。笔者发现二、三阶行列式可以任意地利用对角线法则来计算，但对于四阶行列式却不能简单地利用对角线法则来计算。
关键词 行列式的计算 对角线法则 四阶行列式
中图分类号：O151.22 文献标识码：A
Fourth-order Determinant Can not Simply Use
the Diagonal Rule Calculation
LI Daiqin
（Hu'nan Police Academy， Changsha， Hu'nan 410138）
Abstract Determinant computation is a key content in linear algebra， the calculation method of changeable， makes this has also become a difficult content. The author found that the two or three order determinant can be arbitrary use of diagonal rules to compute， but for the four-order determinant can't simply use the law to calculate the diagonal.
Key words determinant calculation； diagonal rule； four-order determinant
行列式的计算是线性代数中的一个重点内容，其计算方法也是多变的，①有定义法，对角线法，化三角形法，按行（列）展开法，递推法，加边法（升阶法），拆行（列）法，数学归纳法，析因法，辅助行列式法，利用拉普拉斯定理计算，利用范德蒙行列式法，利用矩阵行列式公式计算，利用方阵特征值与行列式的关系计算等等。由于其计算方法的多样性，使得行列式的计算成为一个难点内容。笔者发现二、三阶行列式可以任意地利用对角线法则来计算，但对于四阶行列式却不能简单地利用对角线法则来计算。
在二阶行列式中，②，在三阶行列式中
都是利用对角线法则来进行计算的。但对于四阶行列式的计算，却出现了问题。如
例：求四阶行列式的值。
解法一：利用按行（列）展开法得到如下结论：
解法二：利用对角线法则得到如下结论：
为什么同一题采用不同的二种方法却得到不同的结论呢？
细心的读者会稍加思考发现，第二种方法是不可取的。因为按照行列式定义，四阶行列式的展开项应该有24项，而按照对角线法则，四阶行列式的展开式中只有8项，显然，四阶行列式不能简单地利用对角线法则进行计算。那么是不是四阶行列式就不能利用对角线法则了呢？笔者发现如果对对角线法则进行一个补充，那么还是可行的。为了利用对角线法则计算行列式，作如下三种形式的变形：③
第一种形式：
第二种形式：
第三种形式：
从理论上看，按照行列式的定义，这三种形式的代数和刚好就是四阶行列式的结果。从实际上来看，将例中的四阶行列式按照上述方法展开，刚好是 + ，与第一种方法的结果完全相同。
注释
① 陈文灯，黄先开等.考研数学高分复习指南[M].北京：世界图书出版公司，2012.
② 吴赣昌.线性代数（理工类·第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
③ 林启法.对角线法则计算四阶行列式的简便方法[J].宁德师专学报，2005（2）.endprint
摘 要 行列式的计算是线性代数中的一个重点内容，由于计算方法的多变，使得这也成为一个难点内容。笔者发现二、三阶行列式可以任意地利用对角线法则来计算，但对于四阶行列式却不能简单地利用对角线法则来计算。
关键词 行列式的计算 对角线法则 四阶行列式
中图分类号：O151.22 文献标识码：A
Fourth-order Determinant Can not Simply Use
the Diagonal Rule Calculation
LI Daiqin
（Hu'nan Police Academy， Changsha， Hu'nan 410138）
Abstract Determinant computation is a key content in linear algebra， the calculation method of changeable， makes this has also become a difficult content. The author found that the two or three order determinant can be arbitrary use of diagonal rules to compute， but for the four-order determinant can't simply use the law to calculate the diagonal.
Key words determinant calculation； diagonal rule； four-order determinant
行列式的计算是线性代数中的一个重点内容，其计算方法也是多变的，①有定义法，对角线法，化三角形法，按行（列）展开法，递推法，加边法（升阶法），拆行（列）法，数学归纳法，析因法，辅助行列式法，利用拉普拉斯定理计算，利用范德蒙行列式法，利用矩阵行列式公式计算，利用方阵特征值与行列式的关系计算等等。由于其计算方法的多样性，使得行列式的计算成为一个难点内容。笔者发现二、三阶行列式可以任意地利用对角线法则来计算，但对于四阶行列式却不能简单地利用对角线法则来计算。
在二阶行列式中，②，在三阶行列式中
都是利用对角线法则来进行计算的。但对于四阶行列式的计算，却出现了问题。如
例：求四阶行列式的值。
解法一：利用按行（列）展开法得到如下结论：
解法二：利用对角线法则得到如下结论：
为什么同一题采用不同的二种方法却得到不同的结论呢？
细心的读者会稍加思考发现，第二种方法是不可取的。因为按照行列式定义，四阶行列式的展开项应该有24项，而按照对角线法则，四阶行列式的展开式中只有8项，显然，四阶行列式不能简单地利用对角线法则进行计算。那么是不是四阶行列式就不能利用对角线法则了呢？笔者发现如果对对角线法则进行一个补充，那么还是可行的。为了利用对角线法则计算行列式，作如下三种形式的变形：③
第一种形式：
第二种形式：
第三种形式：
从理论上看，按照行列式的定义，这三种形式的代数和刚好就是四阶行列式的结果。从实际上来看，将例中的四阶行列式按照上述方法展开，刚好是 + ，与第一种方法的结果完全相同。
注释
① 陈文灯，黄先开等.考研数学高分复习指南[M].北京：世界图书出版公司，2012.
② 吴赣昌.线性代数（理工类·第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
③ 林启法.对角线法则计算四阶行列式的简便方法[J].宁德师专学报，2005（2）.endprint
摘 要 行列式的计算是线性代数中的一个重点内容，由于计算方法的多变，使得这也成为一个难点内容。笔者发现二、三阶行列式可以任意地利用对角线法则来计算，但对于四阶行列式却不能简单地利用对角线法则来计算。
关键词 行列式的计算 对角线法则 四阶行列式
中图分类号：O151.22 文献标识码：A
Fourth-order Determinant Can not Simply Use
the Diagonal Rule Calculation
LI Daiqin
（Hu'nan Police Academy， Changsha， Hu'nan 410138）
Abstract Determinant computation is a key content in linear algebra， the calculation method of changeable， makes this has also become a difficult content. The author found that the two or three order determinant can be arbitrary use of diagonal rules to compute， but for the four-order determinant can't simply use the law to calculate the diagonal.
Key words determinant calculation； diagonal rule； four-order determinant
行列式的计算是线性代数中的一个重点内容，其计算方法也是多变的，①有定义法，对角线法，化三角形法，按行（列）展开法，递推法，加边法（升阶法），拆行（列）法，数学归纳法，析因法，辅助行列式法，利用拉普拉斯定理计算，利用范德蒙行列式法，利用矩阵行列式公式计算，利用方阵特征值与行列式的关系计算等等。由于其计算方法的多样性，使得行列式的计算成为一个难点内容。笔者发现二、三阶行列式可以任意地利用对角线法则来计算，但对于四阶行列式却不能简单地利用对角线法则来计算。
在二阶行列式中，②，在三阶行列式中
都是利用对角线法则来进行计算的。但对于四阶行列式的计算，却出现了问题。如
例：求四阶行列式的值。
解法一：利用按行（列）展开法得到如下结论：
解法二：利用对角线法则得到如下结论：
为什么同一题采用不同的二种方法却得到不同的结论呢？
细心的读者会稍加思考发现，第二种方法是不可取的。因为按照行列式定义，四阶行列式的展开项应该有24项，而按照对角线法则，四阶行列式的展开式中只有8项，显然，四阶行列式不能简单地利用对角线法则进行计算。那么是不是四阶行列式就不能利用对角线法则了呢？笔者发现如果对对角线法则进行一个补充，那么还是可行的。为了利用对角线法则计算行列式，作如下三种形式的变形：③
第一种形式：
第二种形式：
第三种形式：
从理论上看，按照行列式的定义，这三种形式的代数和刚好就是四阶行列式的结果。从实际上来看，将例中的四阶行列式按照上述方法展开，刚好是 + ，与第一种方法的结果完全相同。
注释
① 陈文灯，黄先开等.考研数学高分复习指南[M].北京：世界图书出版公司，2012.
② 吴赣昌.线性代数（理工类·第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
③ 林启法.对角线法则计算四阶行列式的简便方法[J].宁德师专学报，2005（2）.endprint
