从一道期末考试题看数学日常教学

王永锋

苏州市2014届初二第一学期期末数学采取全市联考的形式，从阅卷结果来看学生解答部分看似“未曾见过”的题目不甚理想，没有达到平时具有的基本水平。下面通过对第27题（整份试卷共28道题）进行分析，谈谈日常教学的一些建议。

一、试题再现：

如图，在中，，分别是三边上的中线.

（1）若，.求证：;

（2）是否存在这样的，使得它三边上的中线

的长恰好是一组勾股数？请说明理由.（提示：满足关系

的3个正整数称为勾股数.）

二、试题解答分析：

1.标准答案：

（1）证明：中，，，，

.

分别是三边上的中线，endprint

，，.

.

（2）解：假设，其中.则

，

.

若的长恰好是一组勾股数，

则应该有，即，

化简得..

的长不可能同时为正整数.

不存在这样的，使得它三边上的中线的长恰好是一组勾股数.

2.题目评析

本题涉及到直角三角形的三条中线，考查的主要知识点是勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。本题共分2个小题，相互之间联系紧密，方法上有很大的共性，属于考查数学思想方法的上佳题目。对于问题（1），学生大都能想到利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出三条中线的长，进而圆满解决。但对于问题（2），由于题目没有给出具体数值，致使条件一般化，绝大多学生无从下手，特别是有许多平时数学成绩优异的学生反映看不懂，考试时未曾想到方法上的共性类比，甚至不少人在这个题目上无谓耗费许多时间，致使后面的题目来不及做或是前面来不及检查，最终成绩也就不尽人意。endprint

第（1）问在讲评时，要先让学生回顾勾股定理，根据三次勾股定理很自然能求出的长，而后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出，最后根据求出的结果下结论;第（2）问，重视强调“类比法”，即第（1）小题的解答方法应考虑在第（2）小题中灵活运用，从而考虑到将的长度用含的代数式表示，进而利用假设存在的思路找出之间的数量关系。另外，本题在标准答案中假设，其实，如果假设，只需简要说明不可能则更为完整，毕竟这样解释更加严密。

三、日常教学建议

1.理清基本知识，及时归纳方法

一个复杂的数学问题，往往会使多数学生望而生畏，不敢下笔。教师在讲解时，应该引导学生理清该题涉及到的知识点，回忆解决此类问题的一些典型方法，并及时加以回顾总结，以便利于多数学生有的放矢。

一般情况下，一个复杂的数学问题往往由多个基本知识点“堆积”而成，教师在日常教学中，不应一味就题讲题，而要教会学生正确的解题方法。首先要让学生认识到题目考查哪个（些）知识点，该知识点采用的方法是什么，可以利用什么样的原理来解决等等。如命制本题的出发点是考查学生勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股数等相关知识，以及灵活运用它们解决相关问题的能力。第（1）小题先考查的是用勾股定理求斜边，进而求出，而后再用勾股定理求和，这属于基础知识，绝大多数学生都可以完成。第（2）小题是求设问题，融第（1）小题考查的思想方法为一体，属于能力提升题，解决的关键是充分运用方法上的类比，将的长度用含的代数式表示，进而利用假设存在找出的数量关系。但是，批阅下来，绝大多数学生对此束手无策，说明思想方法能力上的提升绝非讲解几个类似题型便可掌握，而需要教师日常教学有意识地及时归纳，努力做到“见水来，知土掩”。endprint

2.适时体验过程，逐步提升能力

数学学习自始至终需要学生多感官、全方位地参与。在日常教学中，教师要重视学生体验知识产生和发展的过程，理清知识的来龙去脉，注重知识呈现的形式，留给学生充分的反思时间，逐步切实提升学生的能力。

数学学习的时间不仅仅只是课堂45分钟，课前的预习、课后必要的巩固练习，课间师生之间、生生之间的讨论互动都在平时的学习中有所体现。而作为数学学习的主阵地，课堂教学中更应注重以生为本，教师既不可满堂灌，又不可过分“放手”让学生自学，而要根据教学内容，让学生适时体验，集倾听、交流、讨论、回答、讲解于一体，逐步提升他们的数学素养。众所周知，数学能力的形成必然是一个长期的过程。比如本题中的第（2）小题，既要用到第（1）小题中的方法，又要用到假设存在的思路，从而利用方程进行求解。其所用的类比方法在本学期讲解的全等三角形题目中涉及较多，但由于问题呈现的形式新颖，致使许多学生根本没有这方面的意识。所以，在平常的教学中，教师有必要加强分层教学，对学困生应注重“双基”教学，而对数学尖子生，更应注重基本思想与基本活动经验的教学。

3.注重解题技巧，提炼思想方法

数学教学的方法不能只是按部就班的，某些良好的解题技巧和必要的思想方法更要及时教给学生。比如选择题中的特殊值带入，计算题中的结构教学，几何中的分解基本图形教学，或是某些综合性题目中的分类讨论思想和化归法、类比法等，用好了对解决疑难问题事半功倍。

数学题目（特别是综合性题目）的设计往往由简单到复杂，教师在讲解时，应抓住这一关键点，先把简单问题分析透彻，进而引导学生对关键字眼仔细推敲，对相关方法反复体会，加强对比，体会其中的相关点，灵活选用所学的方法进行解答，真正理解“难中有易处，繁中包含简”。如上述第（2）小题在讲解时，可以把第（1）小题板演的过程用不同颜色的笔直接标注修改，更能加深学生的印象，促进问题的真正掌握。在教学中，要注重思想方法的讲解，力争让学生做到“解一题，通一类”。当然，学生达到这种境界不能仅仅靠教师的讲解，更要让学生反思在解决问题的过程中利用所推导出的一些有用结论和技巧的重要性，认识到熟练运用数学思想方法的必要性，尽量一题多解，从而提升学生的思维能力，真正做到举一反三、触类旁通。

4.重视变式教学，优化学生思维

数学教学不能只是就题讲题，一味由教师讲解例题和学生练习中的错题，还应根据实际情况，通过一定的形式将数学中特有的关联进行类比，将题目加以改编让学生做，这更能激发学生的学习兴趣，优化学生的思维。

数学的知识点是相对稳定的，但命题者可以随意变化题意和角度考查学生。基于此，教师可以将某些重要的题目（特别是考试中学生错的较多的典型问题）进行“变式”，既可以变换条件或结论，也可以联系实际将数学问题与日常生活中常见的问题联系起来，还可以将条件一般化（如上述问题的第（2）小题）对原题的进行改变。当然，这种训练的题目难度要稍稍高于原题，但也不能刻意求难，要注意万变不离其宗，有助于让学生把握住内在规律，优化学生思维。

如原问题可以变式为如下问题：

如原图，在中，，分别是三边上的中线.，求的长？

简单解析：假设.则

（1）+（2），并整理得：，进而求出.

这个问题立足于原题，但是在实际解答时又高于原题第（1）小题，同时也能考查初二学生的数学整体思想，当然也不排除个别同学求出或凑出的长。但不管用何种方法，都能优化学生的思维。endprint