让学生提出数学问题的几种方法

摘 要：“学起于思，思源于疑.”怎样让学生发现和提出问题是探讨的主要内容.提出问题的方法有：直接提问初始条件法、拓展初始条件法、否定初始条件法.

关键词：提出问题；初始条件；否定假设法

提问者通过对情境的探索产生新问题，或在解决问题过程中对问题的再阐述就是提出问题.在数学教学中，对学生提出问题能力的培养，不仅要以数学情境的精心创设为前提，而且还要把挖掘数学情境与数学问题的内在联系作为教学的基本出发点.

在实际教学中，处理情境中的基本要素有很多方式，按照这些方式的不同，提出问题的方法有以下几种：

一、直接提问初始条件法

提问者对情境中的初始条件，以直接采用信息的方式提出数学问题的方法就是直接提问初始条件法.

如图1，S3、S4、S5、S6分别表示三角形、四边形、五边形、六边形的内角和，那么n边形（凸多边形）的内角和Sn是多少.

要直接解决“n边形的内角和Sn是多少”有一定的困难.这个情境中的初始条件为三角形、四边形、五边形、六边形的内角和.S3、S4、S5、S6是Sn的特殊情况，对它们的研究有助于学生探究出一般情况即：n边形的内角和Sn.由此通过直接提问初始条件可产生以下问题：

S3、S4、S5、S6分别是多少？——关于多边形内角和计算的问题.

S4比S3大多少、S6比S4大多少？——关于多边形内角和大小比较的问题.

以上问题都是围绕情境中的初始条件直接提问得出的.

二、拓展初始条件法

通过拓展情境中的初始条件提出数学问题的方法叫做拓展初始条件法.当学生解决了S3、S4、S5、S6之后，对多边形内角和的大小和变化规律会产生不同的问题，这些问题包含的条件可以超越情境中的初始条件.例如：

七边形的内角和S7是多少？——拓展了情境中多边形的边数.

S3、S4、S5、S6、S7大小变化有何规律？——体现提问者对边数与内角和变化关系的思考.

多边形内角和Sn与边数n有何关系？——体现提问者对边数与内角和关系的思考.

每个提问者对初始条件的拓展都不相同，这取决于个人的数学思维水平.要求提问者具有对信息的分析和处理能力，具有丰富的想象力和创造力.

三、否定初始条件法

否定初始条件的方法也叫否定假设法，被美国学者布朗和沃尔特看作是一种很有用的提出问题的基本方法.他们在《The Art of Problem Posing》一书中，阐述了否定假设法的基本原则：

（1）确定出发点，这可以是已知的命题、问题或概念；

（2）对所确定的对象进行分析，列举出它的各个“属性”；

（3）就所列举的每一“属性”进行思考：“如果这一属性不是这样的话，那它可能是什么？”

（4）依据上述对于各种属性的分析提出新的问题；

（5）对所提出的新问题进行选择.

例如：已知实数a、b满足a-3+b-4=0，求a、b的值.

分析：原问题主要考查了绝对值的非负性.几个非负数和为0，那么这几个数只能同时为0.原问题有这样几个属性：①两个实数a、b；②两个绝对值；③求a、b；④一个等式；⑤右边为0.

改变属性①：如果实数个数不是两个，那么可能是什么？

问题1：已知实数a、b、c满足a-3+b-4+2c-5=0，求a、b、c的值.

问题2：已知实数a、b满足（a-3）2+（b+4）2=0，求a、b的值.

改变属性③：如果不是求a、b的值，那么可能是什么？

问题3：已知实数a、b满足a-3+b-4=0，求ab的值.

改变属性④：如果不是等式，那么可能是什么？

问题4：已知实数a、b满足a-3+b-4≤0，求a、b的值.

改变属性⑤：如果右边为不是0，那么可能是什么？

问题5：已知实数a、b、c满足a-3+b-4=-c2+2c-1，求a、b、c的值.

在这5个问题基础上，我们又可以使用否定假设法得出更多的新问题，例如

问题6：已知实数a满足a-3+a-4=7，求a的取值范围.

问题7：已知实数a，求代数式a-3+a-4+a+5的最小值.

问题8：已知实数a、b，求代数式4a2-4a+2b+5+b2的最小值.

由此可见，通过“否定初始条件”可以产生一些新问题.在获得了几个新问题之后，可以将新问题作为出发点并再次利用“否定初始条件”去得出更多的新问题，这一过程可以无限继续下去.当然我们并不是列举出所有新问题，而是要选择出有价值的、好的数学问题，有利于锻炼学生数学思维的问题.

对于什么是“好问题”，美国著名的数学问题解决专家匈菲尔德给出了“好问题”的五条原则：

（1）问题容易接近；（2）有多种解题方法；（3）蕴含重要数学思想；（4）不故意设陷阱；（5）可以拓展和一般化.

第一条原则，所谓“容易接近”的问题，是指在切入点处不需要多少背景、特殊知识或方法，这样做的原因在于学生不会被复杂的背景所限制.

第二条原则，“多解”问题允许我们向学生指出用多种途径去解剖一道数学题，不仅仅是简单得到一个答案，而是去发现数学的思想.当你发现有多种途径可以去解决这个问题，而其中只有一部分可行时，就有机会让你学会“控制”：你将选择哪一条思路？再转向其他思路之前要考虑多久？

第三、四两条原则是密切相关的.这些问题能够把学生引向真正的、诚实的、有价值的数学.而且解决问题涉及的推理模式同样也是有价值的.它既反映一般的、有用的数学思维模式，也能为运用特殊的探索策略提供良好的素材.此外也可以避开陷阱题.

第五条原则，也是最重要的一条，就是问题应该成为丰富的数学探究活动的起点，目的是给学生“做数学”的机会.

参考文献：

[1]夏小刚，汪秉彝.数学情境的创设与数学问题的提出[J].数学教育学报，2003，12（1）：29-31.

[2]郑毓信.努力培养学生提出问题的能力[J].数学教学通讯，2006（1）：1-4.

作者简介：奚雯燕，女，1983年2月出生，教育硕士，就职于江苏省苏州市立达中学校，研究方向：中学数学教学。

编辑 马燕萍endprint

摘 要：“学起于思，思源于疑.”怎样让学生发现和提出问题是探讨的主要内容.提出问题的方法有：直接提问初始条件法、拓展初始条件法、否定初始条件法.

关键词：提出问题；初始条件；否定假设法

提问者通过对情境的探索产生新问题，或在解决问题过程中对问题的再阐述就是提出问题.在数学教学中，对学生提出问题能力的培养，不仅要以数学情境的精心创设为前提，而且还要把挖掘数学情境与数学问题的内在联系作为教学的基本出发点.

在实际教学中，处理情境中的基本要素有很多方式，按照这些方式的不同，提出问题的方法有以下几种：

一、直接提问初始条件法

提问者对情境中的初始条件，以直接采用信息的方式提出数学问题的方法就是直接提问初始条件法.

如图1，S3、S4、S5、S6分别表示三角形、四边形、五边形、六边形的内角和，那么n边形（凸多边形）的内角和Sn是多少.

要直接解决“n边形的内角和Sn是多少”有一定的困难.这个情境中的初始条件为三角形、四边形、五边形、六边形的内角和.S3、S4、S5、S6是Sn的特殊情况，对它们的研究有助于学生探究出一般情况即：n边形的内角和Sn.由此通过直接提问初始条件可产生以下问题：

S3、S4、S5、S6分别是多少？——关于多边形内角和计算的问题.

S4比S3大多少、S6比S4大多少？——关于多边形内角和大小比较的问题.

以上问题都是围绕情境中的初始条件直接提问得出的.

二、拓展初始条件法

通过拓展情境中的初始条件提出数学问题的方法叫做拓展初始条件法.当学生解决了S3、S4、S5、S6之后，对多边形内角和的大小和变化规律会产生不同的问题，这些问题包含的条件可以超越情境中的初始条件.例如：

七边形的内角和S7是多少？——拓展了情境中多边形的边数.

S3、S4、S5、S6、S7大小变化有何规律？——体现提问者对边数与内角和变化关系的思考.

多边形内角和Sn与边数n有何关系？——体现提问者对边数与内角和关系的思考.

每个提问者对初始条件的拓展都不相同，这取决于个人的数学思维水平.要求提问者具有对信息的分析和处理能力，具有丰富的想象力和创造力.

三、否定初始条件法

否定初始条件的方法也叫否定假设法，被美国学者布朗和沃尔特看作是一种很有用的提出问题的基本方法.他们在《The Art of Problem Posing》一书中，阐述了否定假设法的基本原则：

（1）确定出发点，这可以是已知的命题、问题或概念；

（2）对所确定的对象进行分析，列举出它的各个“属性”；

（3）就所列举的每一“属性”进行思考：“如果这一属性不是这样的话，那它可能是什么？”

（4）依据上述对于各种属性的分析提出新的问题；

（5）对所提出的新问题进行选择.

例如：已知实数a、b满足a-3+b-4=0，求a、b的值.

分析：原问题主要考查了绝对值的非负性.几个非负数和为0，那么这几个数只能同时为0.原问题有这样几个属性：①两个实数a、b；②两个绝对值；③求a、b；④一个等式；⑤右边为0.

改变属性①：如果实数个数不是两个，那么可能是什么？

问题1：已知实数a、b、c满足a-3+b-4+2c-5=0，求a、b、c的值.

问题2：已知实数a、b满足（a-3）2+（b+4）2=0，求a、b的值.

改变属性③：如果不是求a、b的值，那么可能是什么？

问题3：已知实数a、b满足a-3+b-4=0，求ab的值.

改变属性④：如果不是等式，那么可能是什么？

问题4：已知实数a、b满足a-3+b-4≤0，求a、b的值.

改变属性⑤：如果右边为不是0，那么可能是什么？

问题5：已知实数a、b、c满足a-3+b-4=-c2+2c-1，求a、b、c的值.

在这5个问题基础上，我们又可以使用否定假设法得出更多的新问题，例如

问题6：已知实数a满足a-3+a-4=7，求a的取值范围.

问题7：已知实数a，求代数式a-3+a-4+a+5的最小值.

问题8：已知实数a、b，求代数式4a2-4a+2b+5+b2的最小值.

由此可见，通过“否定初始条件”可以产生一些新问题.在获得了几个新问题之后，可以将新问题作为出发点并再次利用“否定初始条件”去得出更多的新问题，这一过程可以无限继续下去.当然我们并不是列举出所有新问题，而是要选择出有价值的、好的数学问题，有利于锻炼学生数学思维的问题.

对于什么是“好问题”，美国著名的数学问题解决专家匈菲尔德给出了“好问题”的五条原则：

（1）问题容易接近；（2）有多种解题方法；（3）蕴含重要数学思想；（4）不故意设陷阱；（5）可以拓展和一般化.

第一条原则，所谓“容易接近”的问题，是指在切入点处不需要多少背景、特殊知识或方法，这样做的原因在于学生不会被复杂的背景所限制.

第二条原则，“多解”问题允许我们向学生指出用多种途径去解剖一道数学题，不仅仅是简单得到一个答案，而是去发现数学的思想.当你发现有多种途径可以去解决这个问题，而其中只有一部分可行时，就有机会让你学会“控制”：你将选择哪一条思路？再转向其他思路之前要考虑多久？

第三、四两条原则是密切相关的.这些问题能够把学生引向真正的、诚实的、有价值的数学.而且解决问题涉及的推理模式同样也是有价值的.它既反映一般的、有用的数学思维模式，也能为运用特殊的探索策略提供良好的素材.此外也可以避开陷阱题.

第五条原则，也是最重要的一条，就是问题应该成为丰富的数学探究活动的起点，目的是给学生“做数学”的机会.

参考文献：

[1]夏小刚，汪秉彝.数学情境的创设与数学问题的提出[J].数学教育学报，2003，12（1）：29-31.

[2]郑毓信.努力培养学生提出问题的能力[J].数学教学通讯，2006（1）：1-4.

作者简介：奚雯燕，女，1983年2月出生，教育硕士，就职于江苏省苏州市立达中学校，研究方向：中学数学教学。

编辑 马燕萍endprint

摘 要：“学起于思，思源于疑.”怎样让学生发现和提出问题是探讨的主要内容.提出问题的方法有：直接提问初始条件法、拓展初始条件法、否定初始条件法.

关键词：提出问题；初始条件；否定假设法

提问者通过对情境的探索产生新问题，或在解决问题过程中对问题的再阐述就是提出问题.在数学教学中，对学生提出问题能力的培养，不仅要以数学情境的精心创设为前提，而且还要把挖掘数学情境与数学问题的内在联系作为教学的基本出发点.

在实际教学中，处理情境中的基本要素有很多方式，按照这些方式的不同，提出问题的方法有以下几种：

一、直接提问初始条件法

提问者对情境中的初始条件，以直接采用信息的方式提出数学问题的方法就是直接提问初始条件法.

如图1，S3、S4、S5、S6分别表示三角形、四边形、五边形、六边形的内角和，那么n边形（凸多边形）的内角和Sn是多少.

要直接解决“n边形的内角和Sn是多少”有一定的困难.这个情境中的初始条件为三角形、四边形、五边形、六边形的内角和.S3、S4、S5、S6是Sn的特殊情况，对它们的研究有助于学生探究出一般情况即：n边形的内角和Sn.由此通过直接提问初始条件可产生以下问题：

S3、S4、S5、S6分别是多少？——关于多边形内角和计算的问题.

S4比S3大多少、S6比S4大多少？——关于多边形内角和大小比较的问题.

以上问题都是围绕情境中的初始条件直接提问得出的.

二、拓展初始条件法

通过拓展情境中的初始条件提出数学问题的方法叫做拓展初始条件法.当学生解决了S3、S4、S5、S6之后，对多边形内角和的大小和变化规律会产生不同的问题，这些问题包含的条件可以超越情境中的初始条件.例如：

七边形的内角和S7是多少？——拓展了情境中多边形的边数.

S3、S4、S5、S6、S7大小变化有何规律？——体现提问者对边数与内角和变化关系的思考.

多边形内角和Sn与边数n有何关系？——体现提问者对边数与内角和关系的思考.

每个提问者对初始条件的拓展都不相同，这取决于个人的数学思维水平.要求提问者具有对信息的分析和处理能力，具有丰富的想象力和创造力.

三、否定初始条件法

否定初始条件的方法也叫否定假设法，被美国学者布朗和沃尔特看作是一种很有用的提出问题的基本方法.他们在《The Art of Problem Posing》一书中，阐述了否定假设法的基本原则：

（1）确定出发点，这可以是已知的命题、问题或概念；

（2）对所确定的对象进行分析，列举出它的各个“属性”；

（3）就所列举的每一“属性”进行思考：“如果这一属性不是这样的话，那它可能是什么？”

（4）依据上述对于各种属性的分析提出新的问题；

（5）对所提出的新问题进行选择.

例如：已知实数a、b满足a-3+b-4=0，求a、b的值.

分析：原问题主要考查了绝对值的非负性.几个非负数和为0，那么这几个数只能同时为0.原问题有这样几个属性：①两个实数a、b；②两个绝对值；③求a、b；④一个等式；⑤右边为0.

改变属性①：如果实数个数不是两个，那么可能是什么？

问题1：已知实数a、b、c满足a-3+b-4+2c-5=0，求a、b、c的值.

问题2：已知实数a、b满足（a-3）2+（b+4）2=0，求a、b的值.

改变属性③：如果不是求a、b的值，那么可能是什么？

问题3：已知实数a、b满足a-3+b-4=0，求ab的值.

改变属性④：如果不是等式，那么可能是什么？

问题4：已知实数a、b满足a-3+b-4≤0，求a、b的值.

改变属性⑤：如果右边为不是0，那么可能是什么？

问题5：已知实数a、b、c满足a-3+b-4=-c2+2c-1，求a、b、c的值.

在这5个问题基础上，我们又可以使用否定假设法得出更多的新问题，例如

问题6：已知实数a满足a-3+a-4=7，求a的取值范围.

问题7：已知实数a，求代数式a-3+a-4+a+5的最小值.

问题8：已知实数a、b，求代数式4a2-4a+2b+5+b2的最小值.

由此可见，通过“否定初始条件”可以产生一些新问题.在获得了几个新问题之后，可以将新问题作为出发点并再次利用“否定初始条件”去得出更多的新问题，这一过程可以无限继续下去.当然我们并不是列举出所有新问题，而是要选择出有价值的、好的数学问题，有利于锻炼学生数学思维的问题.

对于什么是“好问题”，美国著名的数学问题解决专家匈菲尔德给出了“好问题”的五条原则：

（1）问题容易接近；（2）有多种解题方法；（3）蕴含重要数学思想；（4）不故意设陷阱；（5）可以拓展和一般化.

第一条原则，所谓“容易接近”的问题，是指在切入点处不需要多少背景、特殊知识或方法，这样做的原因在于学生不会被复杂的背景所限制.

第二条原则，“多解”问题允许我们向学生指出用多种途径去解剖一道数学题，不仅仅是简单得到一个答案，而是去发现数学的思想.当你发现有多种途径可以去解决这个问题，而其中只有一部分可行时，就有机会让你学会“控制”：你将选择哪一条思路？再转向其他思路之前要考虑多久？

第三、四两条原则是密切相关的.这些问题能够把学生引向真正的、诚实的、有价值的数学.而且解决问题涉及的推理模式同样也是有价值的.它既反映一般的、有用的数学思维模式，也能为运用特殊的探索策略提供良好的素材.此外也可以避开陷阱题.

第五条原则，也是最重要的一条，就是问题应该成为丰富的数学探究活动的起点，目的是给学生“做数学”的机会.

参考文献：

[1]夏小刚，汪秉彝.数学情境的创设与数学问题的提出[J].数学教育学报，2003，12（1）：29-31.

[2]郑毓信.努力培养学生提出问题的能力[J].数学教学通讯，2006（1）：1-4.

作者简介：奚雯燕，女，1983年2月出生，教育硕士，就职于江苏省苏州市立达中学校，研究方向：中学数学教学。

编辑 马燕萍endprint