RMI原理在微积分中的应用

赵世瑜

摘 要：RMI原理是一种重要的数学方法，被称为关系映射反演方法，是数学中应用广泛的方法原理。本文主要介绍了其思想与含义，并通过该原理在微积分中的应用，从而可提高我们抽象分析和应用数学工具的能力，因此在数学研究中有着非常重要的意义和作用。

关键词：RMI原理 映射 反演

中图分类号：O29 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）10（a）-0126-01

任何学科都有一个方法问题。当今科学日新月异的发展使方法问题日显重要。科学活动的重大特点之一，是以方法论问题作为形成科学本身各种崭新思想的必要条件，一门科学的发展，不仅表现在理论上的意义，而且表现在方法上的意义。这种特点刺激了科学方法论以及各种专门的学科方法论的兴起，数学方法就是其中之一。早在近代科学的黎明期，著名的德国数学家、哲学家莱布尼兹就指出：数学的本质不在于它的对象，而在于它的方法。从古代的亚里士多德到近代的培根、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、庞加莱、希尔伯特等著名学者都曾经对数学方法的发展做出过突出的贡献。在我国，对数学方法论做出突出贡献的是数学家、数学教育家徐利治教授，他主要研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则。并首次提出了著名的论断“关系映射反演方法”。曾经出版近10部著作论述数学方法，如《数学方法论选讲》《关系映射反演方法》等，从中他强调了数学方法在数学中的重要性。如能用RMI原理這条主线把各种方法知识连接贯穿起来，想必定能起到事半功倍之效，下面我们就看看用关系映射反演方法如何解决微积分问题。

1 计算积分

在研究某些复杂的问题时，通过引入一个或几个新变量来代替原式中的某些量，从而把原式用新变量表示，并求得相应的结果，这种解决问题的方法叫作换元法。换元法其实是关系映射反演方法的方法之一。

例1：

理论上，可以利用二项式定理将被积函数X（2X-1）100展开成多项式，其不定积分总是可以算出来的，但因工作量极其大，实际上是不可能这么去做的。

从以上的计算过程可得到图1。

换元法又称变量代换或辅助代换法，通过引入辅助元素或构想辅助问题，能化未知为已知、化新问题为已经解决了的问题。波利亚说：“构想一个辅助问题是一项重要的思路。举出一个有助于另一问题的清晰的新问题，能够清楚地把达到另一目的的手段设想成一个新目标。这就是运用智慧的卓越成就。学会怎样聪明地处理辅助问题是一项重大的任务。”换元法就是靠通过引入变量代换原变量进行映射，从而把原问题转化为一个易解的辅助问题的方法。

2 不规则图形的面积

对于图形面积的计算，能够考虑运用公式的，往往是那些比较规则的图形，而对于那些不规则的图形，其面积的计算总是无从下手，需要根据图形特征和已知的条件合理地选择计算方法，下面用RMI原理来求不规则图形的面积。

例2：我们来求由连续曲线（假设），直线，和轴围成的曲边梯形的面积。

，

：

并在每一小区间上任意取一点，用底为，高为的矩面，积近似的代替小的曲边体系的面积，那么这些小矩形的面积之和，，这是整个大的曲边梯形的面积的近似，令，当时，若极限存在，那么这个极限显然就是所要求的曲边梯形的精确面积。

这种解决问题的方法是“化大为小，化繁为简”转化思想的体现，其思想过程可表示为：要求曲边梯形的面积，先把它分割成n个小曲边梯形，再求这n个小矩形的面积和，用它近似代替n个小曲边梯形的面积和，再求此和的极限，就是曲边梯形的面积。分割法是通过把待处理问题分割，从而能清楚地了解问题内部的各种制约关系，从而找到一个解决问题的办法；通过分解，能弄清问题的外延，从而知道我们应该从哪些方面入手去解决问题，因此，分割对于“问题解决”是至关重要的。

最后，我们还要指出，在应用RMI原理求解各种或大或小的问题时，或者去处理一类问题时，对关系映射反演方法的具体的选择，最好使之符合三个条件：一是在将原象系统转换成映象系统时，要能显示出化繁为简、化难为易或化生为熟的作用；二是能导致映射和反演过程的存在性及能行性；三是映射方法本身的构造要符合美学标准，即既是自然的和简单的，而且形式又是比较优美的，只有这样选择映射，才能更好地解决问题。数学家利用关系映射反演方法曾经解决了历史上许多难题和“不可能”的问题。例如：证明是无理数、证明“几何三大难题”的不可能性等等。

参考文献

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[2] 陈大波.关系映射反演方法（RMI原理）[J].宁德师专学报，2004，16（1）：4-5.

[3] 胡明娣，郭芳.高等代数的关系映射反演方法的认识和研究[J].安康师专学报，2003，15（1）：35-36.