层次分析法在购房贷款决策中的应用

摘要：不同的消费群体对购房还贷的影响因素敏感性不同，因此，将层次分析法应用于还贷方案进行评估，通过银行抵押贷款月还款额模型，分别计算方案中未知的贷款额、月还款额和月利率；按照数值的大小确定各准则对于目标及各方案对于每一准则的权重，利用层次分析法中的权值矩阵法进行计算并确定最优方案，然后进行一致性检验；最后，对模型解进行分析评价。应用层次分析法对不同的贷款方案进行评估，减少了因主观判断引起的各种判断差异，可以为购房者和投资者提供有效的依据。

关键词：层次分析法；抵押贷款；还款模型

中图分类号：F224.0 文献标志码：A文章编号：1673-291X（2014）11-0157-03

引言

“花明天的钱圆今天的梦”，当今社会提前消费已不是新鲜事。越来越多的人选择贷款购房，更多人成了“负债一族”、“按揭一族”。按揭贷款无疑是时下一种受购房者普遍欢迎的贷款方式，它可以降低买房的门槛。然而，消费者在购房时如何选择适合自己的按揭贷款方式呢？面对银行提供的多种贷款还款方式，究竟哪种最划算呢?

影响借款人还款方案的因素包括月还款额、年利率或月利率、还款期限、贷款额、还款总额。月还款额高，还款期限就短，对于中高层收入人群比较适合，由于其收入处于高峰期并有一定的积蓄，可以短时间内还完贷款。月还款额低，还款期限就相应就比较长，但是对于年轻购房者比较适合，由于其工作年限较短，收入一般不高且积蓄不多，较低的月还款额不会增加其生活的压力。不同的计息期还会导致名义利率和实际利率不同。

基于以上考虑，本文提出应用多目标决策中一个简单有效的决策方法——层次分析法来对不同的还贷方案进行评估的方法。还贷决策方案的选择也是一个多目标、多层次、结构复杂、因素众多的决策，因而运用层次分析法进行评价是合适的[1]。应用层次分析法对不同的贷款方案进行评估，充分考虑了影响还款的各种因素，减少了因为主观判断而引起的各种判断差异，且指标更客观、更确切地反映所研究的问题，最后给出的综合评分也更客观，可以为购房者和投资者提供了有效的依据。

一、层次分析法与还贷模型

层次分析法（简称AHP）是美国著名的运筹学家T L Saaty等人于20世纪70年代提出的一种定性与定量相结合的多准则决策方法，主要用于解决多因素复杂的，特别是难以定量描述的决策问题[2]。其基本思路为：分析影响决策的各因素之间的关系，建立多层次关系结构，对同一层次的影响因素进行两两比较，构造成对比矩阵，并进行层次排序和一致性检验，最后根据方案层对总目标层的的组合权重来选择最优方案[3]。

（一）方案提出

张先生购房需要80万元，其自备款约20万元，其余打算采用抵押贷款方式从银行贷款。假设资金时间价值按复利计算；银行利率不变且不考虑通货膨胀因素；假设每月还款额均在月底支付即后付年金。银行提供了三种方案可供选择。

方案一：首付260 540元，贷款期限5年，月还款额12 000，月利率0.01。

方案二：首付200 000元，贷款期限25年，月利率0.01，贷款额600 000。

方案三：贷款期限22年，月还款额6 320（提前预付3个月），贷款额600 000，首付200 000元。方案一中总贷款额、方案二中的月还款额和方案三中的实际利率3个数据未知，可以利用银行抵押贷款模型计算得出。银行抵押贷款模型涉及到的变量有：月还款额、年利率或月利率、还款期限、贷款额、还款总额。抵押贷款还贷相当于在约定的年限清偿所欠的债务，其每月还款额的计算是年金现值的逆运算[4]，其计算公式为：还款额=年金现值×资本回收系数，换算成月利率为：

每月还款额=

利用公式计算方案一的贷款额=12 000×[（1+0.01）60-1]/

0.01×（1+0.01） 60 =539 460元

方案二的月还款额=600 000×0.01×（1+0.01）25*12 / [（1+0.01）25*12 -1]=6 319.3元

方案三预付三个月后的贷款额为581 040元，此后每月还款6 320。当利率为0.01时，贷款额=581 040×0.01×（1+0.01）元/0.01/（1+0.01） 22×12-1 =6 260

当利率为0.009时，贷款额=581 040×0.009×（1+0.009）22×12 /

0.01/（1+0.009）22×12-1 =6 410

因此，方案三月利率=0.009+（6 410-6 320）/（6 410-6 260） ×（0.01-0.009）=0.0096

因此，可以得到方案一的贷款额为53 946元，方案二的月还款额为6 319.3元，方案三的月利率为0.0096。三种方案分别如表1。

（二）利用分层法选出最优方案

将问题分解为三个层次，最上层为目标层——选择抵押还款方案，最下层为方案层，有P1、P2、P3三个方案；中间层为准则层，有月还款额、还款总额、贷款额、月利率、贷款期限5个准则。模型需要用到的符号有：CI一致性度量指标；Ci中间层的第i个准则；λ正互反矩阵的最大特征值；A第二层对第一层中每个因素的权向量构成的矩阵；B第三层对第二层中的每个因素的权向量构成的矩阵；CR一致性比率；w归一化权向量[5]。首先构造方案的层次结构（见图1）。

其次构造成对比较矩阵并计算权重。

方法：将各要素配对比较，根据各要素的相对重要程度进行判断，再根据计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量AW[6]。假设比较中间层5个因素C1，C2，C3，C4，C5对上一层因素的影响，假设此5个因素的重要性为10，月还款额的重要性为2、还款总额和贷款额比重较轻为1、月利率因素最重为4、还款期限次之为2，则成对比较矩阵中C1∶C2为2，C1∶C3为2，C1∶C4为1/2，C1∶C5为1，C2∶C3为2，C2∶C4为1/4，C2∶C5为2，C3∶C4为1/4，C3∶C5为1，C4∶C5为2。则组成的成对比较矩阵如下所示：

A=1 221/2 1

1/2121/4 2

1/2 1/211/4 1

2 4412

11/2 1 1/2 1

计算归一化权向量w=[0.19140.16460.09790.40.1461]T

AW=[1.06250.84830.5222.1250.7177]T

λ=（1.0625/0.1914+0.8483/0.1646+0.522/0.0979+2.125/0.4+

0.7177/0.1461）/5 =5.2524

然后进行一致性检验。

一致性度量指标为CI∶CI=λ-n/n-1，其中λ表示矩阵的最大特征值，CI越小，说明权重的可靠性越高。当CR<0.1时（CR 是一致性比率，RI是随机一致性指标，查表可得），可认为A的不一致程度在容许范围内，可用其特征向量作为权向量。否则应重新修正该正互反矩阵。将上述数据代如计算得：CI=λ-n/n-1=0.2524/4=0.0631，CR =0.0631/1.12 = 0.0563<0.1。

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因此该成对比较矩阵通过一致性检验，它的特征向量可作为权向量。

接下来计算组合权向量。

用同样的方法构造第三层对第二层的每一个准则的成对比较矩阵，对于方案中还款额应该是越少越好，由于还款额分别为12 000，6 319.3，6 320，还款额越少权重越大；还款总额和贷款额应该是越少越好；还款总额和贷款额越少权重越大；对于月利率应是越低权重越高；对于贷款期限（5年，25年，22年）越短，风险越小，收益越大因此权重越大。由此确定3个方案对5个准则的矩阵。

B1=1 3 4

1/31 1

1/41 1 B2=11/2 1/2

211

211 B3=11/2 1/2

211

211

B4=1 1 2

1 1 3

1/21/31B5=11/5 1/4

511

411

上述矩阵Bk中的元素是三个方案对于准则的反映灵敏性的比较尺度。计算以上各矩阵的权向量，最大特征值和一致性指标结果（见表2）：

计算方案目标中的组合权重等于他们相应项的两两乘积之和。方案1在目标中的组合权重为0.1914* 0.633+ 0.1646*0.2+ 0.0979*0.2+ 0.4*0.291+0.1461*0.1=0.3047 同理可算出方案二、方案三在目标中的组合权重为0.3867和0.3078。第二层对第一层的一致性比率为 CRp= CRp-1 + CIp/Rip；当最下层对最上层的组合一致性比率小于0.1时认为整个层次的比较判断通过一致性检验。CR3= CR2 + CI3/Ri3 =0.0563+0.005/0.58=0.065<0.1。由此可以得到结论前面的组合权向量可以作为最终决策的依据。结果表明方案二在决策方案中占的权重大于其他方案，为最优方案。由上述选择最优方案的整个过程可以得知：

1.评价方案优劣的标准：按照数值大小确定准则对于目标及方案对于准则的权重，利用层次分析法中的权值矩阵的一致性检验法进行检验计算，计算组合权向量两两相乘算出各个方案在目标中的组合权重，占的权重最大的方案就是最优方案。在上面的计算中得出方案二在决策方案中占的权重大于其他方案，因此是建立模型的最优方案。

2.方案一贷款期限为5年，期限短、风险小，但由于评估者当前的还款能力有限，对月还款额敏感性较高，因此方案一不是最佳方案。方案三贷款期限为22年，还款期限比方案二少，但由于月还款额较低，且需要预付3个月，当前的还款能力有限，因此方案二更优。

二、结论

影响借款人还款方案选择的因素很多，不同的消费群体对不同的影响因素敏感性不同。本文将层次分析法应用于对不同的还贷方案进行评估中。由于还贷决策方案的选择是一个多目标、多层次的决策，因而运用层次分析法进行评价是合适的。应用层次分析法对不同的贷款方案进行评估，充分考虑了影响还款的各种因素，减少了因为主观判断而引起的各种判断差异，且指标更客观、更确切地反映所研究的问题，可以为购房者和投资者提供有效的依据。

在银行抵押贷款模型中假设银行利率不变且不考虑通货膨胀因素，但是对于购房抵押贷款还款期比较长、利率通常会发生波动、通货膨胀实时存在，这都是以后银行抵押贷款模型中需要考虑的因素。

参考文献：

[1]赵淑红.层次分析法在风险投资中的应用[J].现代企业教育，2013，（12）.

[2]沈良峰，樊相如.基于层次分析法的风险投资项目评价与决策[J].基建优化，2002，（4）.

[3]王莲芬，许树柏.层次分析法引论[M].北京：中国人民大学出版社，1990.

[4]罗伯特 C 希金斯（Robert C.Higgins）.财务管理分析[M].沈艺峰，译.北京：北京大学出版社，2009.

[5]姜启源.数学建模[M].北京：高等教育出版社，1993.

[6]陈学中，李文喜，李光红.投资项目选择的AHP模型及其应用[J].系统工程与电子技术，2001，（2）.

[责任编辑 李可]

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因此该成对比较矩阵通过一致性检验，它的特征向量可作为权向量。

接下来计算组合权向量。

用同样的方法构造第三层对第二层的每一个准则的成对比较矩阵，对于方案中还款额应该是越少越好，由于还款额分别为12 000，6 319.3，6 320，还款额越少权重越大；还款总额和贷款额应该是越少越好；还款总额和贷款额越少权重越大；对于月利率应是越低权重越高；对于贷款期限（5年，25年，22年）越短，风险越小，收益越大因此权重越大。由此确定3个方案对5个准则的矩阵。

B1=1 3 4

1/31 1

1/41 1 B2=11/2 1/2

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211 B3=11/2 1/2

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B4=1 1 2

1 1 3

1/21/31B5=11/5 1/4

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上述矩阵Bk中的元素是三个方案对于准则的反映灵敏性的比较尺度。计算以上各矩阵的权向量，最大特征值和一致性指标结果（见表2）：

计算方案目标中的组合权重等于他们相应项的两两乘积之和。方案1在目标中的组合权重为0.1914* 0.633+ 0.1646*0.2+ 0.0979*0.2+ 0.4*0.291+0.1461*0.1=0.3047 同理可算出方案二、方案三在目标中的组合权重为0.3867和0.3078。第二层对第一层的一致性比率为 CRp= CRp-1 + CIp/Rip；当最下层对最上层的组合一致性比率小于0.1时认为整个层次的比较判断通过一致性检验。CR3= CR2 + CI3/Ri3 =0.0563+0.005/0.58=0.065<0.1。由此可以得到结论前面的组合权向量可以作为最终决策的依据。结果表明方案二在决策方案中占的权重大于其他方案，为最优方案。由上述选择最优方案的整个过程可以得知：

1.评价方案优劣的标准：按照数值大小确定准则对于目标及方案对于准则的权重，利用层次分析法中的权值矩阵的一致性检验法进行检验计算，计算组合权向量两两相乘算出各个方案在目标中的组合权重，占的权重最大的方案就是最优方案。在上面的计算中得出方案二在决策方案中占的权重大于其他方案，因此是建立模型的最优方案。

2.方案一贷款期限为5年，期限短、风险小，但由于评估者当前的还款能力有限，对月还款额敏感性较高，因此方案一不是最佳方案。方案三贷款期限为22年，还款期限比方案二少，但由于月还款额较低，且需要预付3个月，当前的还款能力有限，因此方案二更优。

二、结论

影响借款人还款方案选择的因素很多，不同的消费群体对不同的影响因素敏感性不同。本文将层次分析法应用于对不同的还贷方案进行评估中。由于还贷决策方案的选择是一个多目标、多层次的决策，因而运用层次分析法进行评价是合适的。应用层次分析法对不同的贷款方案进行评估，充分考虑了影响还款的各种因素，减少了因为主观判断而引起的各种判断差异，且指标更客观、更确切地反映所研究的问题，可以为购房者和投资者提供有效的依据。

在银行抵押贷款模型中假设银行利率不变且不考虑通货膨胀因素，但是对于购房抵押贷款还款期比较长、利率通常会发生波动、通货膨胀实时存在，这都是以后银行抵押贷款模型中需要考虑的因素。

参考文献：

[1]赵淑红.层次分析法在风险投资中的应用[J].现代企业教育，2013，（12）.

[2]沈良峰，樊相如.基于层次分析法的风险投资项目评价与决策[J].基建优化，2002，（4）.

[3]王莲芬，许树柏.层次分析法引论[M].北京：中国人民大学出版社，1990.

[4]罗伯特 C 希金斯（Robert C.Higgins）.财务管理分析[M].沈艺峰，译.北京：北京大学出版社，2009.

[5]姜启源.数学建模[M].北京：高等教育出版社，1993.

[6]陈学中，李文喜，李光红.投资项目选择的AHP模型及其应用[J].系统工程与电子技术，2001，（2）.

[责任编辑 李可]

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因此该成对比较矩阵通过一致性检验，它的特征向量可作为权向量。

接下来计算组合权向量。

用同样的方法构造第三层对第二层的每一个准则的成对比较矩阵，对于方案中还款额应该是越少越好，由于还款额分别为12 000，6 319.3，6 320，还款额越少权重越大；还款总额和贷款额应该是越少越好；还款总额和贷款额越少权重越大；对于月利率应是越低权重越高；对于贷款期限（5年，25年，22年）越短，风险越小，收益越大因此权重越大。由此确定3个方案对5个准则的矩阵。

B1=1 3 4

1/31 1

1/41 1 B2=11/2 1/2

211

211 B3=11/2 1/2

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B4=1 1 2

1 1 3

1/21/31B5=11/5 1/4

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上述矩阵Bk中的元素是三个方案对于准则的反映灵敏性的比较尺度。计算以上各矩阵的权向量，最大特征值和一致性指标结果（见表2）：

计算方案目标中的组合权重等于他们相应项的两两乘积之和。方案1在目标中的组合权重为0.1914* 0.633+ 0.1646*0.2+ 0.0979*0.2+ 0.4*0.291+0.1461*0.1=0.3047 同理可算出方案二、方案三在目标中的组合权重为0.3867和0.3078。第二层对第一层的一致性比率为 CRp= CRp-1 + CIp/Rip；当最下层对最上层的组合一致性比率小于0.1时认为整个层次的比较判断通过一致性检验。CR3= CR2 + CI3/Ri3 =0.0563+0.005/0.58=0.065<0.1。由此可以得到结论前面的组合权向量可以作为最终决策的依据。结果表明方案二在决策方案中占的权重大于其他方案，为最优方案。由上述选择最优方案的整个过程可以得知：

1.评价方案优劣的标准：按照数值大小确定准则对于目标及方案对于准则的权重，利用层次分析法中的权值矩阵的一致性检验法进行检验计算，计算组合权向量两两相乘算出各个方案在目标中的组合权重，占的权重最大的方案就是最优方案。在上面的计算中得出方案二在决策方案中占的权重大于其他方案，因此是建立模型的最优方案。

2.方案一贷款期限为5年，期限短、风险小，但由于评估者当前的还款能力有限，对月还款额敏感性较高，因此方案一不是最佳方案。方案三贷款期限为22年，还款期限比方案二少，但由于月还款额较低，且需要预付3个月，当前的还款能力有限，因此方案二更优。

二、结论

影响借款人还款方案选择的因素很多，不同的消费群体对不同的影响因素敏感性不同。本文将层次分析法应用于对不同的还贷方案进行评估中。由于还贷决策方案的选择是一个多目标、多层次的决策，因而运用层次分析法进行评价是合适的。应用层次分析法对不同的贷款方案进行评估，充分考虑了影响还款的各种因素，减少了因为主观判断而引起的各种判断差异，且指标更客观、更确切地反映所研究的问题，可以为购房者和投资者提供有效的依据。

在银行抵押贷款模型中假设银行利率不变且不考虑通货膨胀因素，但是对于购房抵押贷款还款期比较长、利率通常会发生波动、通货膨胀实时存在，这都是以后银行抵押贷款模型中需要考虑的因素。

参考文献：

[1]赵淑红.层次分析法在风险投资中的应用[J].现代企业教育，2013，（12）.

[2]沈良峰，樊相如.基于层次分析法的风险投资项目评价与决策[J].基建优化，2002，（4）.

[3]王莲芬，许树柏.层次分析法引论[M].北京：中国人民大学出版社，1990.

[4]罗伯特 C 希金斯（Robert C.Higgins）.财务管理分析[M].沈艺峰，译.北京：北京大学出版社，2009.

[5]姜启源.数学建模[M].北京：高等教育出版社，1993.

[6]陈学中，李文喜，李光红.投资项目选择的AHP模型及其应用[J].系统工程与电子技术，2001，（2）.

[责任编辑 李可]

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