浅谈圆锥曲线中点弦问题

郑美华

摘要：本文试就中学圆锥曲线中最常见的“中点弦”问题给出几种系统的解法，主要有待定系数法、点差法、“公式法”、求导法等。方法各有千秋，没有绝对的好方法，应用因题而异，因人而异。

关键词：圆锥曲线；中点弦；待定系数法；点差法；公式法；求导法

中图分类号：G632.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）52-0193-02

有解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的“中点弦”问题。这类问题通常包括以下三个类型：（1）求弦中点所在直线的方程问题。（2）求弦中点的坐标问题。（3）求弦中点的轨迹方程问题。“中点弦”问题是解析几何中圆锥曲线部分很典型、很重要的一類问题，也是历年高考数学最常考的问题之一，在高考题中经常以填空题、选择题（大多以解答题）的形式出现，属于中档难题型，也因为计算量较大，学生在这类题目中花费的时间相对较多，但得分率却不高，而做好这题对后面题目的发挥也起着至关重要的心理作用，而往往这道题的解答完整与否是优秀与及格的一个“分水岭”，解决这类问题的方法很多，但往往不是计算量大就是列式烦琐，但又没有千篇一律的最佳解题方法，应该因题而异，因人而异，本文试就其解法给出系统性的结论，归纳起来主要有以下几种：①待定系数法。②点差法。③“公式法”（实际上是“点差法”的变形和延伸）。④求导法。下面我们通过具体例子来说明。

例1：椭圆■+■=1的弦被（4，2）点所平分，求此弦所在的直线方程。

解法1：（待定系数法）设所求直线方程为：y-2=k（x-4）即y=kx-4k+2，将其代入椭圆方程，消元后整理得关于x的一元二次方程（4k2+1）x2-（32k2-16k）x

-64k-20=0，∵（4，2）在椭圆内且是直线与椭圆相交弦的中点。

∴■=4，由韦达定理可知x1+x2=■.

∴■=4，解得k=-■.

∴所求直线方程为（y-2）=-■（x-4）.即x+2y-8=0.

解法2：（点差法）设过（4，2）点的线与已知椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则有：

4x■■+4y■■=36 ①4x■■+4y■■=36 ②■=4 ③■=4 ④k=■ ⑤

①-②得（x■■-x■■）+4（y■■-y■■）=0.

即（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0.

将③④代入可求得即k=■=-■即k=-■，

∴所求直线方程为（y-2）=-■（x-4）.即x+2y-8=0.

点评：解法1是解决“中点弦”问题中最常规的方法之一，它的一般步骤是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解，这种方法易忽略对判别式的考察，以及对中点位置的判断，当中点在圆锥曲线内部时则被之平分的弦一般存在，但若此点在圆锥曲线外，则被之平分的弦可能就不存在。这种解法的优点是进入容易，解题顺理成章，缺点是计算量相对较大，此种方法要特别注意的是要事先考虑斜率不存在的情形。

解法2是“点差法”，它也是解决“中点弦”问题中最常规的方法之一，若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”或“代点法”。

以上两种解法虽然都是解决解决“中点弦”问题的常规方法，但方法1运算烦琐，方法2列式烦琐，笔者在多年的教学实践中，总结出一种解这类问题的方法，我们姑且称之为“公式法”，它实际上是“点差法”的变形和延伸，我们先来看下面一个结论：

引理：设A、B是二次曲线C：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上的两点，P（x0，y0）为弦AB的中点，则KAB=-■（2Cy0+E≠0）.

证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2）则Ax■■+Cy■■+Dx■+Ey■+F=0

……（1）

Ax■■+Cy■■+Dx■+Ey■+F=0……（2）

（1）-（2）得：A（x1+x2）（x1-x2）+C（y1+y2）（y1-y2）+

D（x1-x2）+E（y1-y2）=0.

∴2Ax0（x1-x2）+2Cy0（y1-y2）+D（x1-x2）+E（y1-y2）=0.

∴（2Ax0+D）（x1-x2）+（2Cy0+E）（y1-y2）=0.

∵2Cy0+E≠0 ∴x1≠x2 ∴■=-■即KAB=-■.

（说明：当A→B时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P（x0，y0）的切线斜率公式，即k=-■）。

推论1：设圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的弦AB的中点为

P（x0，y0）（y0≠0），则kAB=-■。（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为k=-■）。

推论2：设椭圆■+■=1的弦AB的中点为P（x0，y0）（y0≠0），则kAB=-■·■。

（注：对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为k=-■·■）。

推论3：设双曲线■-■=1的弦AB的中点为P（x0，y0）（y0≠0）则kAB=-■·■。（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为k=■·■）。

推论4：设抛物线y2=2px的弦AB的中点为P（x0，y0）（y0≠0）则kAB=■。（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为k=■）

我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，例如对于例1，运用以上结论，可有简便解法如下：

P（4，2），a2=36，b2=9，即kAB=-■·■，∴kAB=-■.

∴所求直线方程y-2=■（x-4）即x+2y-8=0。

我们可以直接利用“公式法”解决有关问题。

例2：求椭圆■+■=1斜率为3的弦的中点轨迹方程。

解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有3=-■·■，故所示的轨迹方程为16x+75y=0（-■

例3：已知抛物线y2=6x，一点P（4，1），求以P为中点的弦所在的直经方程。

解：设所求的直线的斜率为k，则k=■=3，故所求的直线方程为y-1=3（x-4），即：3x-y-11=0.

此种解法的优点是简单明了，可谓一步到位，大大减少了计算量。

4.求导法。导数进入中学数学，丰富了中学数学知识和解法，给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法，也给许多常规问题的解法提供了新的视角。利用导数解决解析几何中的中点弦问题，正是其中一个方面。如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切（如图1）。此时缩小的曲线方程如（x-a）2+（y-b）2=（tR）2，■±■=1两边对x求导，可发现并不改变原方程求导的结果。因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是y'x在中点处的值。

例4：已知双曲线2x2-y2=2 （1）求以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点B（1，1），能否作直线l，使l与所给双曲线交于P、Q两点，且点B是弦PQ的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

解：对2x2-y2=2两边求导，得4x-2yy'x=0.

（1）以A（2，1）为中点的弦的斜率k=y'x|x=2，y=1=4，所以所求中点弦所在直线方程为：y-1=4（x-2）.

（2）以B（1，1）为中点的弦的斜率k=y'x|x=1，y=1=2，所以所求中点弦所在直线方程为：y-1=2（x-1）即2x-y-1=0.

但与双曲线方程2x2-y2=2联立消去y得2x2-4x+3=0，Δ=-8<0，无实根。因此直线l与双曲线无交点，所以满足条件的直线l不存在。显然这种方法计算量相对较小，也不用引用新知识，但对求导要求相对较高，特别是復合函数的求导，程度低的学生显然不适合，用此法需要注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。

总而言之，圆锥曲线的中点弦问题大致有以上四种解法，每种方法各有自己的优点与不足，没有一种是适合所有题型的，应因题而异，因人而异。

参考文献：

[1]青学兵，赵晋，谢在林.椭圆的中点弦[J].数学教学通讯，1993，（04）.

[2]陈世明.活用中点坐标代换巧解中点弦问题[J].数理化学习（高中版），2004，（01）.