无用之用：数学学习的另一重境界

田红梅

【摘 要】数学学习除了要知晓其“用”处，还应关注其“无用之用”。“无用之用”体现了数学学习的一种意识、一种取舍、一种境界。数学学习中，在习得知识的同时，学生更应在享受思考、自由探究的思维历练中观其“无用之用”；在“玩”和“用”的实践探索中品其“无用之用”，从而形成素养，达成“大用”。

【关键词】无用之用 数学学习 境界

一、由“有用”的数学引发的思考

随着课程改革的不断深入，许多新的理念和主张被应用在日常教学中，给当下的课堂带来了无限生机和活力。然而，在实现了一些教学设想的同时，新的问题和思索又随之而来。

1.除了知识，数学还应带给学生什么？

在一节课的最后，教师总会提问：通过今天这节课的学习，你有什么样的收获？回答通常是：我知道了……，我学会了……。当学生这样回答时，教师往往会觉得：嗯！这节课的教学任务完成了。但事实上，学习就只是“会了什么”这么简单吗？在关注知识的同时，学生的学习品质是否应该得到“显明”的发展呢？

2.除了结果，数学学习还应让学生经历什么？

数学学科的知识特点决定了学生有时不经历过程也能通过不断的变式练习掌握某些知识、应对考试。对教师而言，这种不问过程只要结果的教学更加轻松。于是，“经历”在不知不觉中成了一个空洞的词。然而，搞不清来龙去脉的知识真的有用吗？忽视了过程中思维的历练，数学学习的得与失孰多孰少？

在这些思考的背后，隐藏着同样的问题：数学学习只需要关注那些“有用”的知识吗？是否可以更纯粹地去探究数学，仅仅为了获得思考的快乐和思维的提升？带着这些思考，我走在觅寻的路上。老庄的哲学给了我启示，每天给儿子读的绘本激发了我的灵感，我渐渐认识到：在时间的长河里，只追求“有用”到最后或许反而会变成“无用”；那些看似无用的东西，或许只是其“用”还没有“显”出来，如能静待其生长，假以时日，也许反能成“大用”。那么，数学要怎样彰显其“无用之用”呢？

二、“无用之用”的数学意蕴

“无用之用”是一种超越的智慧，有其数学意蕴，可理解为数学学习中那些现在看起来无用或表面看起来无用或因其“用”不够“显明”而常被忽视的数学品质、过程、探究等。对于这些所谓的“无用”，倘若能消除一些功利心，看得更长远一点，就会发现其“用”不在这里、不在一时，而在于种下一颗种子，安放一种等待，唤起一些思考，最终形成指向智慧生长的“大用”。

1.“无用之用”是一种意识，指向数学学习的源头。

在我们的意识中，是知识重要，还是能力重要？是分数重要，还是品格重要？这直接决定教师的教学内容和方法。我们必须明了，教育的根本价值在于完善学生的人格，数学教育是在用数学的方式培养学生的思维能力、思维品格。在这种意识的牵引下，我们才能真正看清“无用”意味着什么，“用”在何处。

2.“无用之用”是一种取舍，指向数学学习的价值。

数学学习的价值不只在于知识点的把握和解题技能的训练，学会学习并形成终身学习的意识和能力是其最根本的价值所在。当教师内心认同并理解了数学“无用之用”的价值，在教学时才能有所选择、有的放矢，带给学生真正意义上的数学。教学“负数”，特级教师俞正强从36.5℃这样一个体温表示什么开始，让学生试着理解“正常”的含义；然后类推到39.5℃表示发烧，从而让这个数跟现象相连，让学生认识到它表示一种状态；接着拓展到自然现象——沸点和冰点，再到零上和零下、有钱和没钱、两只动物关系的好和坏；最后又从绝对性进入相对性，如果比5大表示正，那么比5小就表示负，实现了对负数体验点的泛化。教学中，俞老师取“由浅入深地想”舍“直白地告知”，取“知识本质的渗透”舍“知识点的平铺直叙”，取舍之间，看似“无用”的缓慢思考，实际上是让学生真正理解数学本质的必由之路。

3.“无用之用”是一种境界，指向数学学习的远景。

常听到有人发问：学数学有什么用？离开了校园之后，不用再解题，数学的用处何在？北京师范大学石中英教授在《教育哲学导论》一书中阐释：“人的发展，就其根源来说，不是一个外在的规训或控制过程，而是一个内在的觉醒或成长过程。”“无用之用”的境界在于淡化外在的“无用”，强化内在的“用”，将基于学科的、显性的目标和超越学科的、隐性的目标圆融统一，将习得知识转化为生长智慧，逐步显现数学教育更宽广、更深远的“用”处。因此，数学学习应像绘本对儿童的影响一样，不急功近利，不只专注于知识的习得或眼前的分数，而是让学生凝练品质、历练思维、形成素养，让数学学习成为学生成长路上的一道美丽的风景，让大多数将来未必会从事与数学直接相关的工作的学生都能领略到数学的“无用之用”。

三、探寻数学学习中的“无用之用”

1.在思维历练中观其“无用之用”。

（1）享受思考，让学生充分地“想”

把一个十分钟就可以讲完的内容上成三十分钟，值还是不值？有用还是无用？这和教师对学习之“用”的理解密切相关。数学学习，最终应帮助学生建立起自己的数学现实和数学学习的现实，使学生学会运用数学的思维方式进行思考。让学生拥有自己的思考力是一个缓慢的过程，但并不是“无用”的过程。只有当学生享受思考，能充分地“想”，理解才会成为可能，思考之“用”才会逐步显现。

教学苏教版三上《笔算除法》一课，在复习了加法、减法和乘法的竖式运算后，学生开始尝试除法的竖式运算。此时，受前面知识的迁移，有学生会列出这样的竖式（如A式），若教师直接告知其正确的写法（如B式），也许十分钟就可以讲完新授的内容。

学生是怎么想的呢？

从学生的角度来看，A式更简单、明了，但它当然是错误的。当学生的“想”与教师的“教”之间发生错位时，应聚焦在学生思维的节点上。如果学生“想”明白了，它就有可能成为一个新的生长点。于是，从头思考：15÷3表示什么意义呢？操作：教师拿来15支铅笔，请学生平均分成3份，每份是几支？思考：教师的15是1个15，学生的15是3个5，这两个15是有区别的。讨论：根据这个过程，你觉得两种竖式写法，哪一种比较合理？学生认为B式比较合理，因为它较好地记录了除法的意义。上述过程，从学生的想法出发到使学生发现他们的想法的不足再到他们接受一种更为合理的想法，学生在思考中自然地学会了反思自己思考的合理性，不露痕迹地理解了算理。

数学教学不仅要关注知识的简单积累，更应重视如何帮助学生实现相应的思维发展。长此以往，学生思维过程的“无用之用”就会逐步得以外显。

（2）甘于无为，让学生自由地“探”

老子说：“有之以为利，无之以为用。”万事万物，当然要有“有”，有了“有”，才有依凭、有基础，但是，有“无”才能够预留空间，留下自主性、发展性和可能性。因此，学生能自己看懂的，教师不教；学生能互相教会的，教师不教。我们只需为学生探索知识创造条件，留出思考、探讨、反思的时间和空间，激发其探索的内在动机。正如特级教师闫勤所说：“比起学生能做的事情来，我们需做和可做的事情并不多。”

研究“几个连续自然数的和与中间数的关系”，教师出示题目：3个连续自然数的和与中间数有什么关系？紧跟着出示表格：

与直接用字母a、b、c表示这三个连续自然数相比较，“较小数”“中间数”“较大数”的呈现，巧妙地提出了中间数，同时为后面的知识拓展埋下了伏笔。在解决并得出“三个连续自然数的和等于中间数乘3”这个结论后，教师将表格变了变：

同时出示如下问题：（1）把“3个”改成“若干个”，结论还成立吗？（2）把“连续”改成“不连续”，结论还成立吗？（3）把“自然数”改成“奇数”或“偶数”，结论是否成立？

上述教学过程，通过对结论的“再探究”，层层深入，让学生自己进一步去分析、判断、计算、推理、验证，在问题链中体验探究的魅力，同时感受蕴含其中的数学思想。知识的背后，是学生问题解决能力的提升，是“无用”带来的“有用”。

2.在实践探索中品其“无用之用”。

（1）不仅仅“玩”起来——玩且品其内涵

在“做数学”的过程中理解数学知识的内涵，感悟数学思想，是让学生体会数学价值的重要途径。相对于单纯的思考而言，在“玩”中不知不觉地加入思考，更符合小学生的学习心理，而且渗透于其中的思考也更持久、更深入。

华罗庚告诉我们：“数（shù）起源于数（shǔ）。”怎么数（shǔ）？这里面大有文章。一节数学课，教师拿出一捆小棒，要求学生数一数一共有多少根。数完之后，教师引导学生联系自己的生活想一想：除了一个一个地数东西以外，我们还可以怎么数？学生很快想到数筷子时都是两根两根地数，于是试着两根两根地去数，发现总数是一样的。接着顺利地过渡到三个三个地数、四个四个地数……在此过程中，教师明教数数，暗教乘除法运算。小棒的根数没有变，但数法变了，变成了相同加数的运算，而相同加数的和的简便运算就是乘法，分别数了多少次就是除法。

陈省身说：“数学好玩。”上述教学活动，在“有用”的数数过程中，分明可以感受到“无用”的“玩”更多，却“玩”出了很“有用”的名堂。学生在数的过程中体验到随着数的根数在增加，数的速度越来越快了。此时思考便顺理成章了，学生或许说不出为什么，但此时教师又来了一次数数比赛，几乎所有的学生都选择五根五根地数，学生用行动告诉我们他们已经初步感知了准变量，领悟到了函数的思想。知识获得的本质是思想的形成，思想是终身受用的东西，这就是所谓的“大用”。

（2）不仅仅“用”起来——用且品其价值

数学来源于生活，最终必然指向生活中的问题。教师应将数学学习置于社会生活的大背景中，引导学生把目光从课堂投向课外，在多维的空间里进行学习活动，发现数学问题并解决。世界每天都在变，新闻时刻在更新。马航飞机失联事件、光盘行动、雾霾天气……都可以成为数学“用”的背景，且能让学生更加关注社会、环境和民生。这些“用”看似脱离了课本，远离了解题，与考试无关，非知识积累，但学生应用数学知识和数学思想解决问题的意识会在“用”的过程中逐步提升，从而在生活中感受到数学的力量和数学之美。

数学学习很显然是有用的，无论是现在还是将来，它都在学生的成长过程中占据着极其重要的位置。但是，它最有用的所在，却需要我们以接纳“无用”的姿态来接纳——摒弃纯知识的数学，还能养成一些素养，留下一些不会被时间带走的东西。思考至此，却发现“无用之用”太过博大精深，所思不及万一。因此，新的思考仍在继续……

【参考文献】

[1]林语堂.老子的智慧[M].南京：江苏文艺出版社，2009.

[2]郑毓信.《数学课程标准（2011）》的“另类解读”[J].数学教育学报，2013，22（1）：1-7.

[3]俞正强.种子课：让孩子充分地想[J].人民教育，2014（6）：52-55.

注：本文获2014年江苏省“教海探航”征文特等奖

（作者单位：江苏省盐城市第一小学教育集团）

数学教学不仅要关注知识的简单积累，更应重视如何帮助学生实现相应的思维发展。长此以往，学生思维过程的“无用之用”就会逐步得以外显。

（2）甘于无为，让学生自由地“探”

老子说：“有之以为利，无之以为用。”万事万物，当然要有“有”，有了“有”，才有依凭、有基础，但是，有“无”才能够预留空间，留下自主性、发展性和可能性。因此，学生能自己看懂的，教师不教；学生能互相教会的，教师不教。我们只需为学生探索知识创造条件，留出思考、探讨、反思的时间和空间，激发其探索的内在动机。正如特级教师闫勤所说：“比起学生能做的事情来，我们需做和可做的事情并不多。”

研究“几个连续自然数的和与中间数的关系”，教师出示题目：3个连续自然数的和与中间数有什么关系？紧跟着出示表格：

与直接用字母a、b、c表示这三个连续自然数相比较，“较小数”“中间数”“较大数”的呈现，巧妙地提出了中间数，同时为后面的知识拓展埋下了伏笔。在解决并得出“三个连续自然数的和等于中间数乘3”这个结论后，教师将表格变了变：

同时出示如下问题：（1）把“3个”改成“若干个”，结论还成立吗？（2）把“连续”改成“不连续”，结论还成立吗？（3）把“自然数”改成“奇数”或“偶数”，结论是否成立？

上述教学过程，通过对结论的“再探究”，层层深入，让学生自己进一步去分析、判断、计算、推理、验证，在问题链中体验探究的魅力，同时感受蕴含其中的数学思想。知识的背后，是学生问题解决能力的提升，是“无用”带来的“有用”。

2.在实践探索中品其“无用之用”。

（1）不仅仅“玩”起来——玩且品其内涵

在“做数学”的过程中理解数学知识的内涵，感悟数学思想，是让学生体会数学价值的重要途径。相对于单纯的思考而言，在“玩”中不知不觉地加入思考，更符合小学生的学习心理，而且渗透于其中的思考也更持久、更深入。

华罗庚告诉我们：“数（shù）起源于数（shǔ）。”怎么数（shǔ）？这里面大有文章。一节数学课，教师拿出一捆小棒，要求学生数一数一共有多少根。数完之后，教师引导学生联系自己的生活想一想：除了一个一个地数东西以外，我们还可以怎么数？学生很快想到数筷子时都是两根两根地数，于是试着两根两根地去数，发现总数是一样的。接着顺利地过渡到三个三个地数、四个四个地数……在此过程中，教师明教数数，暗教乘除法运算。小棒的根数没有变，但数法变了，变成了相同加数的运算，而相同加数的和的简便运算就是乘法，分别数了多少次就是除法。

陈省身说：“数学好玩。”上述教学活动，在“有用”的数数过程中，分明可以感受到“无用”的“玩”更多，却“玩”出了很“有用”的名堂。学生在数的过程中体验到随着数的根数在增加，数的速度越来越快了。此时思考便顺理成章了，学生或许说不出为什么，但此时教师又来了一次数数比赛，几乎所有的学生都选择五根五根地数，学生用行动告诉我们他们已经初步感知了准变量，领悟到了函数的思想。知识获得的本质是思想的形成，思想是终身受用的东西，这就是所谓的“大用”。

（2）不仅仅“用”起来——用且品其价值

数学来源于生活，最终必然指向生活中的问题。教师应将数学学习置于社会生活的大背景中，引导学生把目光从课堂投向课外，在多维的空间里进行学习活动，发现数学问题并解决。世界每天都在变，新闻时刻在更新。马航飞机失联事件、光盘行动、雾霾天气……都可以成为数学“用”的背景，且能让学生更加关注社会、环境和民生。这些“用”看似脱离了课本，远离了解题，与考试无关，非知识积累，但学生应用数学知识和数学思想解决问题的意识会在“用”的过程中逐步提升，从而在生活中感受到数学的力量和数学之美。

数学学习很显然是有用的，无论是现在还是将来，它都在学生的成长过程中占据着极其重要的位置。但是，它最有用的所在，却需要我们以接纳“无用”的姿态来接纳——摒弃纯知识的数学，还能养成一些素养，留下一些不会被时间带走的东西。思考至此，却发现“无用之用”太过博大精深，所思不及万一。因此，新的思考仍在继续……

【参考文献】

[1]林语堂.老子的智慧[M].南京：江苏文艺出版社，2009.

[2]郑毓信.《数学课程标准（2011）》的“另类解读”[J].数学教育学报，2013，22（1）：1-7.

[3]俞正强.种子课：让孩子充分地想[J].人民教育，2014（6）：52-55.

注：本文获2014年江苏省“教海探航”征文特等奖

（作者单位：江苏省盐城市第一小学教育集团）

数学教学不仅要关注知识的简单积累，更应重视如何帮助学生实现相应的思维发展。长此以往，学生思维过程的“无用之用”就会逐步得以外显。

（2）甘于无为，让学生自由地“探”

老子说：“有之以为利，无之以为用。”万事万物，当然要有“有”，有了“有”，才有依凭、有基础，但是，有“无”才能够预留空间，留下自主性、发展性和可能性。因此，学生能自己看懂的，教师不教；学生能互相教会的，教师不教。我们只需为学生探索知识创造条件，留出思考、探讨、反思的时间和空间，激发其探索的内在动机。正如特级教师闫勤所说：“比起学生能做的事情来，我们需做和可做的事情并不多。”

研究“几个连续自然数的和与中间数的关系”，教师出示题目：3个连续自然数的和与中间数有什么关系？紧跟着出示表格：

与直接用字母a、b、c表示这三个连续自然数相比较，“较小数”“中间数”“较大数”的呈现，巧妙地提出了中间数，同时为后面的知识拓展埋下了伏笔。在解决并得出“三个连续自然数的和等于中间数乘3”这个结论后，教师将表格变了变：

同时出示如下问题：（1）把“3个”改成“若干个”，结论还成立吗？（2）把“连续”改成“不连续”，结论还成立吗？（3）把“自然数”改成“奇数”或“偶数”，结论是否成立？

上述教学过程，通过对结论的“再探究”，层层深入，让学生自己进一步去分析、判断、计算、推理、验证，在问题链中体验探究的魅力，同时感受蕴含其中的数学思想。知识的背后，是学生问题解决能力的提升，是“无用”带来的“有用”。

2.在实践探索中品其“无用之用”。

（1）不仅仅“玩”起来——玩且品其内涵

在“做数学”的过程中理解数学知识的内涵，感悟数学思想，是让学生体会数学价值的重要途径。相对于单纯的思考而言，在“玩”中不知不觉地加入思考，更符合小学生的学习心理，而且渗透于其中的思考也更持久、更深入。

华罗庚告诉我们：“数（shù）起源于数（shǔ）。”怎么数（shǔ）？这里面大有文章。一节数学课，教师拿出一捆小棒，要求学生数一数一共有多少根。数完之后，教师引导学生联系自己的生活想一想：除了一个一个地数东西以外，我们还可以怎么数？学生很快想到数筷子时都是两根两根地数，于是试着两根两根地去数，发现总数是一样的。接着顺利地过渡到三个三个地数、四个四个地数……在此过程中，教师明教数数，暗教乘除法运算。小棒的根数没有变，但数法变了，变成了相同加数的运算，而相同加数的和的简便运算就是乘法，分别数了多少次就是除法。

陈省身说：“数学好玩。”上述教学活动，在“有用”的数数过程中，分明可以感受到“无用”的“玩”更多，却“玩”出了很“有用”的名堂。学生在数的过程中体验到随着数的根数在增加，数的速度越来越快了。此时思考便顺理成章了，学生或许说不出为什么，但此时教师又来了一次数数比赛，几乎所有的学生都选择五根五根地数，学生用行动告诉我们他们已经初步感知了准变量，领悟到了函数的思想。知识获得的本质是思想的形成，思想是终身受用的东西，这就是所谓的“大用”。

（2）不仅仅“用”起来——用且品其价值

数学来源于生活，最终必然指向生活中的问题。教师应将数学学习置于社会生活的大背景中，引导学生把目光从课堂投向课外，在多维的空间里进行学习活动，发现数学问题并解决。世界每天都在变，新闻时刻在更新。马航飞机失联事件、光盘行动、雾霾天气……都可以成为数学“用”的背景，且能让学生更加关注社会、环境和民生。这些“用”看似脱离了课本，远离了解题，与考试无关，非知识积累，但学生应用数学知识和数学思想解决问题的意识会在“用”的过程中逐步提升，从而在生活中感受到数学的力量和数学之美。

数学学习很显然是有用的，无论是现在还是将来，它都在学生的成长过程中占据着极其重要的位置。但是，它最有用的所在，却需要我们以接纳“无用”的姿态来接纳——摒弃纯知识的数学，还能养成一些素养，留下一些不会被时间带走的东西。思考至此，却发现“无用之用”太过博大精深，所思不及万一。因此，新的思考仍在继续……

【参考文献】

[1]林语堂.老子的智慧[M].南京：江苏文艺出版社，2009.

[2]郑毓信.《数学课程标准（2011）》的“另类解读”[J].数学教育学报，2013，22（1）：1-7.

[3]俞正强.种子课：让孩子充分地想[J].人民教育，2014（6）：52-55.

注：本文获2014年江苏省“教海探航”征文特等奖

（作者单位：江苏省盐城市第一小学教育集团）