线接触非稳态弹流问题的数值计算

孙 昂 刘德良 徐久军

大连海事大学，大连，116026

0 引言

非稳态弹流润滑状态是工程问题中的常见问题，如凸轮与挺柱副、齿轮与齿、轮柴油机的活塞与汽缸套等线接触问题。随着人们对非稳态载荷认识的加深，研究非稳态润滑已成为一种趋势［1－4］。Wijnant等［5］通 过 实 验 和 理 论 研 究 揭 示了结构振动对点接触弹流润滑膜厚度的影响；王静等［6］用多重网格技术研究了脉冲载荷对弹流润滑的影响；严珩志等［7］利用多重网格技术探讨了谐波动载频率和幅值对线接触弹流润滑的影响规律；文献［8－10］探讨了非稳态润滑的数值求解方法和建模。由于非稳态润滑方程的求解较为困难，常用的多重网格技术编程难度较大，因此本文研究利用间接迭代法对余弦载荷作用下的弹流润滑进行求解，分析其油膜及压力分布规律。这种方法随着当前计算机性能的提高显得简单可行，易于研究者上手应用。

1 数学模型及求解

1.1 基本方程

设ρ为润滑油的密度；h为油膜厚度；p为油膜压力；η为润滑油的黏度；v为卷吸速度；t为时间参数；x为空间坐标；x1为入口边界坐标；x0为出口边界坐标。h0（t）为待定油膜厚度常数，R（t）为曲率半径；E′为综合弹性模量；s为积分变量。a为润滑油的黏压系数；η0为大气压下的黏度。ρ0为大气压下的密度。

将控制方程量纲一化，得到量纲一Reynolds方程：

离散的量纲一膜厚方程：

式中，D（i，j）为量纲一弹性变形离散系数。

密度和压力关系：

黏度和压力关系：

式中，z为Roelands积分常数。

载荷方程：

1.2 数值求解

采用间接迭代法求解非稳态润滑问题。在Fortran Powerstation 6.0平台上进行编程求解。Reynolds方程中时间项的离散采用向后的差分格式，沿时间轴将每个周期分解为240个瞬时点，每计算完一个周期，将结果与前一周期的值比较，直到两者一致。迭代初值为Hertz压力，选用Gauss－Seidel迭代格式和双岐子迭代格式。

2 计算结果分析

为了全面考虑线接触条件下多种振动冲击工况对润滑状态的影响，对周期载荷中的总载荷的大小、变载占总载的比例及周期频率分别进行了系列的计算与分析，得到其规律。计算的基本参数如下：E′＝2283MPa；η0＝0.08Pa·s；圆粒半径R＝0.02m；黏压系数α＝2.19×108m2／N。载荷采用余弦曲线W ＝W0＋Wd（cos2πft），4个瞬时观察点A1～A4如图1所示。

2.1 载荷的影响

采用上述参数，频率为1500Hz，保持动载幅值与总载荷的比例为0.5不变，逐步增大总载荷，当量纲一总载荷分别为3.0×10－5、5.0×10－5和8.0×10－5时，获得的计算结果如图2～图4所示。

图1 载荷时间曲线

图2 载荷为3.0×10－5时压力及油膜厚度分布

图3 载荷为5.0×10－5时压力及油膜厚度分布

比较点A1点和A3点的膜厚曲线可知，曲线在入口区和中心区的走向呈相反趋势，这同载荷在这两点的走向相反的特点相一致。A2点和A4点的曲线亦呈现此特点。瞬时点A1的载荷最大，为（W0＋Wd），A3点最小，A2点、A4点载荷相同，这与压力分布图上的压力宽度相符。而出口处的颈缩现象随负载的加大而减小。

图4 载荷为8.0×10－5时压力及油膜厚度分布

2.2 动载比例的影响

采用上述参数，频率为1500Hz，保持量纲一总载荷为8.0×10－5不变，逐步增大动载比例，当动载幅值分别为1.0×10－5和3.0×10－5时，获得的计算结果如图5、图6所示。

图5 动载幅值为1.0×10－5压力及油膜厚度分布

图6 动载幅值为3.0×10－5压力及油膜厚度分布

经比较可以看出，Wd幅值小时，对各点压力和膜厚分布影响不大。Wd幅值大时，各点压力曲线可能出现双峰，出口处的颈缩现象减弱或消失。

2.3 频率的影响

采用上述参数，保持量纲一总载荷为8.0×10－5、动载为2.0×10－5不变，逐步增大频率，当频率分别为500Hz和2500Hz时，获得的计算结果如图7、图8所示。

图7 频率为500Hz压力及油膜厚度分布

经比较可以看出，频率增大动态效应明显。动态效应主要发生在入口区和中心区，出口区（颈缩区）和最小油膜厚度变化不大；随着频率的增大，压力分布曲线由抛物线变为双峰，压力最大值增加。

3 结论

（1）随载荷的增大，出口处颈缩现象减弱，挤压效应明显。

（2）周期性载荷的频率和幅值对油膜压力和膜厚分布有较大影响，频率越高，幅值越大，挤压效应越明显。

（3）动载幅值和频率的表现特征有所不同。动载幅值只改变油膜的中心区，随着动载幅值的增大，材料表面在中心区发生局部凹陷的程度增强；频率对入口区和中心区的影响较大，频率达到一定程度，油膜形状呈波浪状。

［1］任志强，张彬彬，王静.冲击载荷条件下线接触往复运动的弹流润滑特性［J］.润滑与密封，2013，38（1）：28－34 Ren Zhiqiang，Zhang Binbin，Wang Jing.Elasto Hydrodynamic Lubrication in Line Contact Reciprocating Motion under Impulse Load［J］.Lubrication Engineering，2013，38（1）：28－34.

［2］刘德良，孙昂，徐久军.载荷对线接触热弹流温度场的影响［J］.机床与液压，2012，40（1）：134－136.Liu Deliang，Sun Ang，Xu Jiujun.The Effects of Loads on Temperature Field of the Line Contact Thermal EHL［J］.Machine Tool and Hydraulics，2012，40（1）：134－136.

［3］梅甫良，龙连春.线接触非稳态弹流问题的数值解［J］.石油大学学报，1996，20（5）：65－68.Mei Fuliang，Long Lianchun.Numerical Solution for the Isothermal Elasto－Hydrodynamic Problems under Line Contacts［J］.Journal of the University of Petroleum，1996，20（5）：65－68.

［4］艾晓岚，俞海清.线接触非稳态弹流润滑完全数值解及其实际应用［C］／／第四届全国摩擦学学术会议论文集.北京，1987：21－27.

［5］Wijnant Y H，Venner C H，Larsson R，et al.Effect of Structure Vibrations on the Film Thickness in an EHL Circular Contact［J］.ASME Journal of Tribology，1999，121（4）：259－264.

［6］王静，杨沛然.时变等温线接触弹流润滑问题球解的多重网格技术［J］.润滑与密封，2000（3）：9－11.Wang Jing，Yang Peiran.Multileve Technique for the Solution to Time－dependet Isothermsl EHL Line Contact Problem［J］.Lubrication Engineering，2000（3）：9－11.

［7］严珩志，王红志，钟掘.谐波振动下线接触弹流润滑的仿真及分析［J］.摩擦学学报，2002，22（1）：62－65.Yan Hengzhi，Wang Hongzhi，Zhong Jue.Simulation and Analysis of Elastohydrodynamic Ubrication Line Contact Problem under Sine Wave Vibration［J］.Tribology，2002，22（1）：62－65.

［8］梅雪松，谢友柏.一种快速求解非稳态弹流问题的直接迭代算法）［J］.应用力学学报，1991，8（3）：20－28.Mei X S，Xie Y B.Direct Overlapping Method for Quick Solution of Unstable Hydrodynamic Problem［J］.Journal of Applied Mechanics，1991，8（3）：20－28.

［9］Ilya I Kudish.On Formulation of a Non－steady Lubrication Problem for a Non－conformal Contact［J］.Tribology Transanctions，1999，42（1）：53－57.

［10］温诗铸，杨沛然.弹性流体动力润滑［M］.北京：清华大学出版社，1998.