基于灰色关联和模糊聚类的机床温度测点优化

张 伟 叶文华

南京航空航天大学，南京，210016

0 引言

在机械加工中，由于机床部件温升而引起的热变形会使机床上刀具与工件之间的相对位置发生偏移，从而产生热误差［1］。国内外大量研究表明，在所有机床误差源中，热误差是主要的因素之一，尤其对于精密加工，热误差占70%左右［2］，所以有效控制机床热误差是提高机床加工精度的重要方法。目前，热误差建模与补偿技术是一种既有效又经济的减小机床热误差提高机床加工精度的手段［3－4］。数控机床热误差补偿技术的核心是建立能够客观反映机床温度与热误差之间关系的热误差模型，热误差模型的精确性和鲁棒性取决于模型能否准确反映机床温度场动态分布特性。由于机床温度场具有非线性和时变性，且分布极为复杂，需要在机床上布置大量的温度传感器来获得准确的温度场，但这会大大增加实验成本及工作量。由于机床各温度测点之间存在很强的相关性，而这种相关性会极大地影响热误差模型的鲁棒性，所以从降低实验成本和提高热误差模型鲁棒性上考虑，数控机床热误差补偿首先要解决的问题是机床温度测点优化。

在国内，沈金华等［5］利用多元统计分析中的聚类分析法对温度变量进行优化，避免了温度测点的相互影响；闫嘉钰等［6］提出了基于灰色综合关联度，对温度测点进行优化选取，提高热误差模型精度的方法；凡志磊等［7］提出了基于偏相关分析的优化方法，对温度变量进行优化选择，实现了温度测点的优化布置；李郝林等［8］提出了基于信息论与机床热误差有限元分析方法，对机床温度测点位置进行优化，得出了包含机床热误差互信息量最大的点。在国外，美国密歇根大学的Ma［9］根据热误差和温度场的动态特性优化了温度测点的位置；韩国的Lee等［10］采用相关系数和线性回归相结合的方法对温度变量进行了优化，其线性模型具有应用性强、计算时间短、模型精度高和鲁棒性强等特点；美国的Creighton等［11］利用有限元法建立了主轴温升与热变形模型，并用热电偶和电容计获取了主轴关键测点的温升和热变形，温升和热变形的实验值与有限元分析值具有良好的一致性。

温度场的有限温度测点测量相对于整个机床温度分布场具有小样本、贫信息等特点，本文利用灰色系统的基本理论，根据现场测得的数据序列，建立了灰色关联分析模型，以分析机床温度场分布中测点温度对热误差的影响程度，并根据提出的筛选准则，选择得到对机床热误差影响较大的温度测点。由于温度测点之间存在相关性，本文提出对温度进行模糊聚类，对所选择的温度测点进行再次筛选，得到最终用于建立机床热误差模型的温度测点。在试验过程中，通对温度测点进行优化，减少了测点数量，优化了温度测点在机床上的布置，避免了多温度变量在热误差模型中产生复共线问题，从而提高了机床热误差模型的鲁棒性。

1 温度变量的灰色关联分析与模糊聚类分析

1.1 温度变量灰色关联分析模型

灰色关联分析是按照系统中各特征参量系列之间的相似相近程度用数学理论所进行的系统分析［12］。在实验数据处理中，灰色系统理论具有传统统计理论无法比拟的优点，即在很少的实验数据及所研究系统概率未知的情况下，计算结果可以充分体现所研究系统的内在规律［13］。本文在对机床温度测点的实验数据进行分析时，采用灰色关联分析模型，通过一定的方法寻求温度测点与热误差之间的关系，从而找出影响机床加工热误差的主要因素。

1.1.1数据序列的规范化处理

由于各影响因素的含义及目的不同，因而各序列通常具有不同的量纲和数据级。如果两个序列间的数据相差很大，则小数值序列的作用容易被大数值序列掩盖。为了保证各因素间具有等效性和同序性，需要对原始序列数据进行处理，使之量纲一化和归一化。对原始数据采用极差化变换处理法，极差化变换法有两种处理方式，这里采用数值越大效用越小的因素处理法，即

式中，x（k）为归一化数据；x（0）（k）为原始数据。

1.1.2灰色关联系数

设有热误差数据数列x0＝｛x0（k）｜k＝1，2，…，m｝及温度测点数据数列xi＝｛xi（k）｜i＝1，2，…，n；k＝1，2，…，m｝，则x0对xi在第k点的关联系数为

式中，minminΔ0i（k）为两极最小差；maxmaxΔ0i（k）为两极最大差；ρ为分辨系数，ρ∈ ［0，1］，一般取ρ＝0.5，在具体运算中，可根据各数据序列间的关联度对ρ取值进行调整，以增加对比分析的分辨能力。

1.1.3灰色关联度

热误差序列与温度测点序列之间的关联度可用两序列各个时刻的关联度系数的平均值来计算，即

式中，r0i为温度测点序列xi与热误差序列x0的关联度。

最后将各个温度测点序列与热误差序列的关联度按大小顺序排列起来，即组成关联序列，它直接反应了各个温度测点对热误差的影响大小的关系。

1.2 温度变量模糊聚类分析

模糊聚类分析是根据温度变量间的相关性建立模糊关系，利用模糊关系对温度变量进行聚类分析的一种分析方法。为了简单直观，一般将模糊关系转化为模糊矩阵，用模糊矩阵进行模糊聚类分析。

1.2.1模糊相似矩阵

采用相关系数法建立模糊相似矩阵R＝［rij］p×p，设 X ＝ ｛x1，x2，…，xp｝为p个温度变量的集合，其中xi＝ ｛xi1，xi2，…，xin｝（i＝1，2，…，p）为第i个温度变量的n个观测值，则用来描述变量x、y之间的关联程度的相关系数的计算公式为

1.2.2模糊等价矩阵

模糊等价矩阵要同时满足自反性、对称性、传递性三个条件才可以进行合理的分类。模糊相似矩阵R不一定具有传递性，要进行分类，必须将模糊相似矩阵R构造成模糊等价矩阵。采用平方法求R的传递闭包t（R），经过有限次运算后存在k使得R2k＝R2（k＋1）。令t（R）＝R2k，t（R）即为所求的模糊等价矩阵。

1.2.3温度变量模糊聚类

式中，m为温度变量总数；p为模型中温度变量个数。

2 试验验证

2.1 试验方案

图1 温度传感器分布示意图

以MCH63卧式加工中心作为试验对象，根据文献［2］的机床热源分析在机床上布置29个温度传感器（图1），并将一个电涡流位移传感器安装在工作台上测量Z向（主轴轴向）的热误差（图2）。温度传感器的安装如表1所示。试验采用空切削方式，机床开机后主轴转速为3000r／min，运行15min后升为8000r／min，1h后升为12000 r／min，运 行 1.5h 降 到 6000r／min，20min 后 停机，机床三轴进给速度为2000mm／min。试验采集两组数据，一组用于温度热误差优化建模分析，另一组则用于验证模型的预测精度。

表1 温度传感器的安装位置

2.2 温度测点优化结果

以机床Z向热误差数列为母序列x0，29个温度传感器的测量值数列为子序列xi（i＝1，2，…，29）。依据灰关联分析理论，对原始数据进行极差化变换，以消除量纲。在此基础上，根据上文的灰色关联分析模型计算各子序列xi与母序列x0的灰关联度。计算结果如下：

通过上述分析计算，对灰色关联度按从大到小进行排序，取其前15个因素作为主要因素。主要 因 素 为：r0，22、r0，6、r0，20、r0，28、r0，16、r0，11、r0，25、r0，12、r0，3、r0，26、r0，2、r0，17、r0，27、r0，24、r0，18。与之对应的 传 感 器 的 编 号 为 T7、T6、T14、T3、T19、T4、T28、T10、T11、T8、T24、T25、T18、T9、T13。

表2 阈值λ和、（）′ 值

表2 阈值λ和、（）′ 值

λ 0.91 0.93 0.95 0.1 2 5 7温度变量 T3，T4，T6，T7，T14，T19 97分组数T4，T14，T19，T3，T7，T8 T6，T7，T14，T8，T9，T18 T6，T7，T14，T8，T9，T18，T28 R2 p 0.9723 0.9742 0.9964 0.9965（R2p）′ 0.9647 0.9672 0.9955 0.9953

图3 关键温度变量数据

2.3 结果验证

2.3.1对比灰色关联和模糊聚类结合法与灰色关联法的温度变量优化结果

利用基于最小二乘的多元线性回归模型对温度变量的优化结果进行验证。对优化得到的关键温度变量建立Z向热误差模型：

式中，ΔZ为机床主轴轴向热误差；ΔT6、ΔT7、ΔT8、ΔT9、ΔT14、ΔT18分别为各关键温度测点的温升。

该模型热误差预测曲线如图4a所示，图4b是采用灰色关联度选取关键温度变量进行建模的热误差预测图。图中残差是热误差模型的预测值与测量值之差。从表3可以看出，采用灰色关联结合模糊聚类法得到关键温度变量建立的热误差模型，其平均误差较小，误差值分布范围较小，最大残差为7.6μm；而采用灰色关联分析法得到的温度变量建立热误差建模，其误差平均值较大，误差值分布范围较广，最大残差为17μm，模型精度和鲁棒性较差。可见，本文方法所选取的关键温度变量对机床主轴热误差影响较为显著。

图4 Z向热误差模型预测图

表3 热误差预测结果

2.3.2 λ值优化

λ值不同时，关键温度变量的选取也不同，热误差建模结果比较见表4。表中RMSE为均方根误差，即热误差模型预测值与测量值间误差的均方根，用来说明拟合曲线残差的总体离散程度。由表4可知，不同λ值选取的温度变量用于热误差建模所得的值都很大，可见模型拟合得很好。λ取0.97时，热误差模型的最大残差、平均误差与RMSE值最小，但其值却变小了，可知在其精度提升的同时，鲁棒性却在下降。λ取0.95时，热误差模型的最大残差、平均误差与RMSE值稍大，但其值却变大了，可知其鲁棒性较高，温度变量分类较合理。因此，利用复判定系数和修正复判定系数对λ值优化可以准确合理地确定温度变量的分类。

表4 λ的优化结果

3 结论

（1）本文采用灰色关联和模糊聚类相结合的方法对温度变量进行选择优化，并在一台卧式加工中心MCH63上进行了试验验证。试验结果表明，机床温度测点数量由29个减少到6个，主轴方向（Z向）热误差从41.3μm减小到7.6μm。

（2）采用灰色关联和模糊聚类法优化得到的关键温度变量用于热误差建模，其最大残差仅为7.6μm，而灰色关联分析法的最大残差为17μm。因此，本文提出的灰色关联和模糊聚类法优于灰色关联分析法，能使预测值更接近观测值，预测效果好，既保证了热误差模型的预测精度，又避免了温度变量之间的耦合影响，提高了热误差模型的鲁棒性。

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