TI数理技术应用案例

蒋燕敏

摘 要：本论文介绍的是TI-92图形计算器在数学课堂教学方面的应用，说明了TI图形计算器是一个可以随时随地探索知识的流动实验室。

关键词：TI图形计算器；圆的公切线；教案

中图分类号：G612 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）20-250-03

一、教学意义

在数学课堂教学中，TI图形计算器提供了一种直观教学的手段和一个实验研究的环境，许多数学概念可以用数字的、图形的和符号的方式来表示，一些数学问题也可以用以上三种方式加以解决。有了TI图形计算器，教师可以对学生进行一些更具探索性、开放性或更加贴近实际的问题解决的训练，有利于学生增强创新思维意识和数学应用意识，逐渐养成积极探索的良好习惯，同时培养学生动手、动脑和数形结合地处理问题地能力。

二、教学目标

利用图形计算器的直观表现，理解两圆的公切线、内公切线及外公切线的概念，通过对两个圆的公切线的探究，培养学生的归纳、总结能力。

三、教学用具

TI-92图形计算器

四、教学过程

1、复习概念（参见[1，P44-46]）：

和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

（1）外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

（2）内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

2、有关两个圆的位置关系与公切线条数之间的对应联系的探究（参见[3]）：

打开计算器，在主屏幕中键入程序名circles（）（见图1），此时计算器将出现请输入两圆的圆心距离（见图2）。因为圆心距必须为正数，所以如果输入的值是0或者负数，计算器将重复出现图2，直到得到正确的输入值。

图1

图2

得到圆心距后，计算器将分别出现请输入圆1的半径（见图3），圆2的半径（见图4）。同样的计算器也将对两个半径进行判断，看其是否有效。如果三个值均有效，计算器将自动画出两个圆及两圆的内公切线和外公切线图。

图3

图4

画图完成后，计算器将出现两个菜单，可以选择继续画图或是跳出。

F1：选择AGAIN菜单，计算器会重新出现图2、图3、图4，供继续作图使用，无需重新启动circles（）程序。

F2：选择QUIT菜单，执行退出命令，计算器将返回主屏幕。

教师解释说明程序的用法后，让学生自己操作TI-92图形计算器。在学生多次运行circles（）程序后，提问学生，让他们完成课本第45页的表格（见下表），教师再加以归纳总结。

两圆位置关系 外公切线条数 内公切线条数 总公切线条数

相离 2 2 4

外切 2 1 3

相交 2 0 2

内切 1 0 1

包含 0 0 0

五、小结：

1、当 时，两个圆相离（见图5），一共有4条公切线，其中2条外公切线，2条内公切线；

2、当 时，两个圆外切（见图6），一共有3条公切线，其中2条外公切线，1条内公切线；

3、当 时，两个圆相交（见图7），一共有2条公切线，其中2条都是外公切线，没有内公切线；

4、当 时，两个圆内切（见图8），只有1条公切线，是外公切线，没有内公切线。

5、当 时，两个圆包含（见图9），没有公切线。

图5 图6

图7 图8

六、公切线的求法及程序说明

已知两圆的圆心距为 ，圆1半径为 ，圆2半径为 ，因此不妨设两圆的圆心分别为 和 ，则两圆的方程分别为：

圆1： ；

圆2： 。

1、外公切线的求法：

设圆的外公切线 的方程为 ，因为两个圆的圆心距为 ，圆1的半径为 ，圆2的半径为 ，所以 ， 。因为 是直角三角形，故 （见图10）。

图9 图10

因此圆的两条外公切线的斜率分别为：

， 。

又因为圆1到 的距离为 ，圆2到 的距离为 ，故 且 ， 或者 。所以

， 。

因此直线 的方程为： ；

直线 的方程为： 。

为了使得方程有意义，将上述两方程变形为：

： ；

： 。

2、内公切线的求法：

已知圆1的半径为 ，圆2的半径为 ，圆心距为 ，所以 ， ， ，点 的横坐标为 ，纵坐标为 。所以不妨设圆的内公切线 的方程为 。又因为 ， ，又因为 是直角三角形，所以 （见图11）。

因此圆的两条内公切线的斜率分别为：

， 。

图11

所以直线 的方程为： ；

直线 的方程为： 。

为了使得方程有意义，将上述两方程变形为：

： ；

： 。

TI计算器的画图命令DrawFunc所能画的是斜率存在的一次函数图，因此为了把全部的图形画出，需要对圆的公切线方程的斜率存在性进行分情况讨论。当斜率不存在时，改用画参数方程的命令DrawParm来画图。程序的编制过程除了需要圆的内公切线和外公切线的方程以外，还要注意画图区间的设定。把两个圆看成是中间部分，然后增加横、纵坐标的范围，增加的值要使得得到的单位横坐标和单位纵坐标的长度相等。

附录：（程序语言参见[2]、[4]）

circles（）

Prgm

SetGraph（“axes”，“off”）

SetGraph（“labels”，“off”）

Local a，b，d

Lbl ccc

ClrDraw

Lbl cd0

Request “dist between circles”，d

expr（d）→d

If d≤0 Then

Goto cd0

EndIf

Lbl cd1

Request “Radius of circle1”，a

expr（a）→a

If a≤0 Then

Goto cd1

EndIf

Lbl cd2

Request “Radius of circle2”，b

expr（b）→b

If b≤0 Then

Goto cd2

EndIf

max（d/2+max（a，b）+1，（max（a，b）+1）*119/51）→xmax

-xmax→xmin

1→xscl

xmax*51/119→ymax

-ymax→ymin

1→yscl

DispG

Circle -d/2，0，a

Circle d/2，0，b

If d=abs（a-b） Then

DrawParm （a^2-b^2）/2/d，t，ymin，ymax，.1

ElseIf d>abs（a-b） Then

DrawFunc （（b-a）*x+d*（a+b）/2）/ （d^2-（a-b）^2）

DrawFunc -（（b-a）*x+d*（a+b）/2）/ （d^2-（a-b）^2）

EndIf

If d=a+b Then

DrawParm （a-b）/2，t，ymin，ymax，.1

ElseIf d>a+b Then

DrawFunc （（a+b）*x+（b-a）*d/2）/ （d^2-（a+b）^2）

DrawFunc -（（a+b）*x+（b-a）*d/2）/ （d^2-（a+b）^2）

EndIf

Toolbar

Title “AGAIN”，ccc

Title “QUIT”，ccd

EndTBar

Lbl ccd

SetMode（“Split 1 App”，“Home”）

EndPram

参考文献：

[1] 陈昌平主编.九年制义务教育课本数学（试用本）九年级第二学期[M].上海教育出版社.1997.7.第2版

[2] TI-92袖珍指南册[M].Texas Instruments Instructional Communications（美国德克萨斯仪器公司教育通信部）.

[3] 唐瑞芬.忻重义主编.探究性课题设计（TI图形计算器的应用）[M]，华东师范大学出版社.2000.8.第一版

[4] 忻重义.林磊等编.数学学习中的DIY（TI技术与数学实验）[M].华东师范大学出版社.2003.7.第1版