多角度探究一道三角求值题

作业中，一道三角函数求值题，多数同学未能寻求到正确的解题思路，笔者对这道题进行了一番研究，将解题记录呈现如下.

如图1，在直角坐标系xOy中，锐角三角形ABC内接于圆x2+y2=1，BC平行于x轴，AB的斜率为2，记∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.

图1

由条件知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），于是=2，由这个条件无法求出α， β的三角函数值，而且代入sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ也不能消去α，β，解题失败.

按套路解题遇到困难！一些重点知识内容与题型，有一定的规律可循，有一定的方法可套，但很多问题会出现我们从未遇到过的情形，需要重新考虑解答，寻找解题的其他切入点.

重新审题，圆x2+y2=1的内接三角形ABC，只有∠ABC已知，BC平行于x轴，A，B的位置不定，α，β的三角函数值为变量，无法求出α，β的三角函数值.

从结论猜测，α，β变化，但α+β应不变，与定角∠ABC有何关系？

圆的条件有何用途？同学们解题时，要对头脑中处于休眠状态的知识进行挑选并收集相关内容，进行联想、化归、建构.

如图2，设AB交x轴于D，点A，B在圆O上，则OA=OB，∠OAB=∠OBA.

图2

BC平行于x轴，∠ADO=∠ABC，∠DOB=∠OBC. 这些具有等量关系的角与α，β有什么联系？怎样将α+β向定角∠ABC转化？

观察图形，可以发现α=∠OAB+∠ADO，β=π+∠DOB. 于是有α+β=∠OAB+∠ADO+π+∠DOB=∠OBA+∠ABC+π+∠OBC =2∠ABC+π. 据此可以得sin（α+β）=sin（π+2∠ABC）= -sin2∠ABC= -=-.

解题后不反思，就错过了解题的一个重要而有益的方面. 通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结果和得出这一结果的路子，同学们可以巩固自身的知识和发展解题能力.

反思1：对题目的条件反思

圆的条件还有何用途？从解析几何的角度看，AB是斜率确定的圆的弦， 取弦中点是处理圆的弦问题的一种常见方法.

图3

如图3，取AB的中点E，则OE的斜率为-，tan∠xOE=-. 定角∠xOE与α，β有什么关系？

又因为OE平分∠AOB，∠xOE=∠xOA+∠BOA=α+=. 所以sin（α+β）=2sincos==-.

反思2：对失败思路反思

重新思考失败思路，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中的α，β变化，无法求出它们的三角函数值，失败的原因之一是忽视了一个重要条件，A，B是一条直线与圆的两交点.

设直线AB的方程为y=2x+m，且A（x1，y1），B（x2，y2）. 联立得方程组y=2x+m，x2+y2=1，消去y，得5x2+4mx+m2-1=0，所以x1+x2=-，x1·x2=. 由此得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=x2y1+？摇x1y2=x2（2x1+m）+x1（2x2+m）=4x1x2+m（x1+x2）=4×-=-.

解题时，尤其要注重对题目的分析：每个已知条件能给我们提供什么信息？所求结果需要什么条件？条件与条件、条件与结论有着怎样的联系？很多情况下无法建立已知与所求之间的联系时，需要反复读题，变化问题，直至利用这些条件变化、重组、构建到能解决问题为止.

反思3：对失败思路再反思

由于α，β只与A，B的位置有关，觉得条件中的点C多余，忽视点C也是解题失败的原因之一.

由已知条件可知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）. 因为BC平行于x轴，所以C（-cosβ，sinβ）. 因为AB的斜率为2，所以tan∠ABC=2. 因为∠ABC为锐角，所以sin∠ABC=.

在△ABC中，根据正弦定理得=2.

=2，2+2cos（α+β）=，cos（α+β）=. 因为0<α<，π<β<，π<α+β<2π，所以sin（α+β）=-.

反思4：对特殊情形反思

特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小的集合，或仅仅一个对象. 特殊化在解决问题时常对一般情形具有启发性.

直线AB过原点时，α+β=∠xOA+π+∠xOA=2∠ABC+π. 猜测，是否一般情形下也有α+β=2∠ABC+π？找到这个切入点，会大大降低题目难度，缩短解题时间.

反思5：对一般情形反思

普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到一个包含这个较小集合的更大集合. 把有些特殊的数学问题一般化是挖掘数学内涵的一种重要方法.

推广 在直角坐标系xOy中，锐角三角形ABC内接于圆x2+y2=1，且BC平行于x轴，AB的斜率为k，记∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.endprint

作业中，一道三角函数求值题，多数同学未能寻求到正确的解题思路，笔者对这道题进行了一番研究，将解题记录呈现如下.

如图1，在直角坐标系xOy中，锐角三角形ABC内接于圆x2+y2=1，BC平行于x轴，AB的斜率为2，记∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.

图1

由条件知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），于是=2，由这个条件无法求出α， β的三角函数值，而且代入sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ也不能消去α，β，解题失败.

按套路解题遇到困难！一些重点知识内容与题型，有一定的规律可循，有一定的方法可套，但很多问题会出现我们从未遇到过的情形，需要重新考虑解答，寻找解题的其他切入点.

重新审题，圆x2+y2=1的内接三角形ABC，只有∠ABC已知，BC平行于x轴，A，B的位置不定，α，β的三角函数值为变量，无法求出α，β的三角函数值.

从结论猜测，α，β变化，但α+β应不变，与定角∠ABC有何关系？

圆的条件有何用途？同学们解题时，要对头脑中处于休眠状态的知识进行挑选并收集相关内容，进行联想、化归、建构.

如图2，设AB交x轴于D，点A，B在圆O上，则OA=OB，∠OAB=∠OBA.

图2

BC平行于x轴，∠ADO=∠ABC，∠DOB=∠OBC. 这些具有等量关系的角与α，β有什么联系？怎样将α+β向定角∠ABC转化？

观察图形，可以发现α=∠OAB+∠ADO，β=π+∠DOB. 于是有α+β=∠OAB+∠ADO+π+∠DOB=∠OBA+∠ABC+π+∠OBC =2∠ABC+π. 据此可以得sin（α+β）=sin（π+2∠ABC）= -sin2∠ABC= -=-.

解题后不反思，就错过了解题的一个重要而有益的方面. 通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结果和得出这一结果的路子，同学们可以巩固自身的知识和发展解题能力.

反思1：对题目的条件反思

圆的条件还有何用途？从解析几何的角度看，AB是斜率确定的圆的弦， 取弦中点是处理圆的弦问题的一种常见方法.

图3

如图3，取AB的中点E，则OE的斜率为-，tan∠xOE=-. 定角∠xOE与α，β有什么关系？

又因为OE平分∠AOB，∠xOE=∠xOA+∠BOA=α+=. 所以sin（α+β）=2sincos==-.

反思2：对失败思路反思

重新思考失败思路，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中的α，β变化，无法求出它们的三角函数值，失败的原因之一是忽视了一个重要条件，A，B是一条直线与圆的两交点.

设直线AB的方程为y=2x+m，且A（x1，y1），B（x2，y2）. 联立得方程组y=2x+m，x2+y2=1，消去y，得5x2+4mx+m2-1=0，所以x1+x2=-，x1·x2=. 由此得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=x2y1+？摇x1y2=x2（2x1+m）+x1（2x2+m）=4x1x2+m（x1+x2）=4×-=-.

解题时，尤其要注重对题目的分析：每个已知条件能给我们提供什么信息？所求结果需要什么条件？条件与条件、条件与结论有着怎样的联系？很多情况下无法建立已知与所求之间的联系时，需要反复读题，变化问题，直至利用这些条件变化、重组、构建到能解决问题为止.

反思3：对失败思路再反思

由于α，β只与A，B的位置有关，觉得条件中的点C多余，忽视点C也是解题失败的原因之一.

由已知条件可知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）. 因为BC平行于x轴，所以C（-cosβ，sinβ）. 因为AB的斜率为2，所以tan∠ABC=2. 因为∠ABC为锐角，所以sin∠ABC=.

在△ABC中，根据正弦定理得=2.

=2，2+2cos（α+β）=，cos（α+β）=. 因为0<α<，π<β<，π<α+β<2π，所以sin（α+β）=-.

反思4：对特殊情形反思

特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小的集合，或仅仅一个对象. 特殊化在解决问题时常对一般情形具有启发性.

直线AB过原点时，α+β=∠xOA+π+∠xOA=2∠ABC+π. 猜测，是否一般情形下也有α+β=2∠ABC+π？找到这个切入点，会大大降低题目难度，缩短解题时间.

反思5：对一般情形反思

普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到一个包含这个较小集合的更大集合. 把有些特殊的数学问题一般化是挖掘数学内涵的一种重要方法.

推广 在直角坐标系xOy中，锐角三角形ABC内接于圆x2+y2=1，且BC平行于x轴，AB的斜率为k，记∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.endprint

作业中，一道三角函数求值题，多数同学未能寻求到正确的解题思路，笔者对这道题进行了一番研究，将解题记录呈现如下.

如图1，在直角坐标系xOy中，锐角三角形ABC内接于圆x2+y2=1，BC平行于x轴，AB的斜率为2，记∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.

图1

由条件知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），于是=2，由这个条件无法求出α， β的三角函数值，而且代入sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ也不能消去α，β，解题失败.

按套路解题遇到困难！一些重点知识内容与题型，有一定的规律可循，有一定的方法可套，但很多问题会出现我们从未遇到过的情形，需要重新考虑解答，寻找解题的其他切入点.

重新审题，圆x2+y2=1的内接三角形ABC，只有∠ABC已知，BC平行于x轴，A，B的位置不定，α，β的三角函数值为变量，无法求出α，β的三角函数值.

从结论猜测，α，β变化，但α+β应不变，与定角∠ABC有何关系？

圆的条件有何用途？同学们解题时，要对头脑中处于休眠状态的知识进行挑选并收集相关内容，进行联想、化归、建构.

如图2，设AB交x轴于D，点A，B在圆O上，则OA=OB，∠OAB=∠OBA.

图2

BC平行于x轴，∠ADO=∠ABC，∠DOB=∠OBC. 这些具有等量关系的角与α，β有什么联系？怎样将α+β向定角∠ABC转化？

观察图形，可以发现α=∠OAB+∠ADO，β=π+∠DOB. 于是有α+β=∠OAB+∠ADO+π+∠DOB=∠OBA+∠ABC+π+∠OBC =2∠ABC+π. 据此可以得sin（α+β）=sin（π+2∠ABC）= -sin2∠ABC= -=-.

解题后不反思，就错过了解题的一个重要而有益的方面. 通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结果和得出这一结果的路子，同学们可以巩固自身的知识和发展解题能力.

反思1：对题目的条件反思

圆的条件还有何用途？从解析几何的角度看，AB是斜率确定的圆的弦， 取弦中点是处理圆的弦问题的一种常见方法.

图3

如图3，取AB的中点E，则OE的斜率为-，tan∠xOE=-. 定角∠xOE与α，β有什么关系？

又因为OE平分∠AOB，∠xOE=∠xOA+∠BOA=α+=. 所以sin（α+β）=2sincos==-.

反思2：对失败思路反思

重新思考失败思路，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中的α，β变化，无法求出它们的三角函数值，失败的原因之一是忽视了一个重要条件，A，B是一条直线与圆的两交点.

设直线AB的方程为y=2x+m，且A（x1，y1），B（x2，y2）. 联立得方程组y=2x+m，x2+y2=1，消去y，得5x2+4mx+m2-1=0，所以x1+x2=-，x1·x2=. 由此得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=x2y1+？摇x1y2=x2（2x1+m）+x1（2x2+m）=4x1x2+m（x1+x2）=4×-=-.

解题时，尤其要注重对题目的分析：每个已知条件能给我们提供什么信息？所求结果需要什么条件？条件与条件、条件与结论有着怎样的联系？很多情况下无法建立已知与所求之间的联系时，需要反复读题，变化问题，直至利用这些条件变化、重组、构建到能解决问题为止.

反思3：对失败思路再反思

由于α，β只与A，B的位置有关，觉得条件中的点C多余，忽视点C也是解题失败的原因之一.

由已知条件可知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）. 因为BC平行于x轴，所以C（-cosβ，sinβ）. 因为AB的斜率为2，所以tan∠ABC=2. 因为∠ABC为锐角，所以sin∠ABC=.

在△ABC中，根据正弦定理得=2.

=2，2+2cos（α+β）=，cos（α+β）=. 因为0<α<，π<β<，π<α+β<2π，所以sin（α+β）=-.

反思4：对特殊情形反思

特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小的集合，或仅仅一个对象. 特殊化在解决问题时常对一般情形具有启发性.

直线AB过原点时，α+β=∠xOA+π+∠xOA=2∠ABC+π. 猜测，是否一般情形下也有α+β=2∠ABC+π？找到这个切入点，会大大降低题目难度，缩短解题时间.

反思5：对一般情形反思

普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到一个包含这个较小集合的更大集合. 把有些特殊的数学问题一般化是挖掘数学内涵的一种重要方法.

推广 在直角坐标系xOy中，锐角三角形ABC内接于圆x2+y2=1，且BC平行于x轴，AB的斜率为k，记∠xOA=α0<α<，∠xOB=βπ<β<，求sin（α+β）的值.endprint