一类三角形问题的两种常规解法

三角形的问题一直是高考的重点，纵观多年的高考试卷，很多题目都是围绕三角形的角和边进行拓展，如何解决这一类的问题，严谨踏实不丢分，作者凭借多年的经验提出精彩的阐述，希望对同学们有所帮助.

题：△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，tanC=，

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC外接圆的直径为1，求a2+b2的取值范围.

这是一道高三复习三角知识时常选的一例，解决第一个问题时首先从条件出发求出角C的大小，有如下两种常用方法：

方法1：化角：由已知条件tanC=得=，故sinC（cosA+cosB）=cosC（sinA+sinB），所以sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB，不难得到sin（C-A）=sin（B-C）. 因为A，B，C∈（0，π），所以C-A∈（-π，π），B-C∈（-π，π），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）或C-A= -π-（B-C），即C=或B-A=π（舍）或 A-B=π（舍），故C=.

方法2：化边：由tanC=变形得sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB. 同时使用正弦、余弦定理得：c·+c·=a·+b·，经整理得：ac3+bc3-a3c-b3c=0，进一步可化为c2（a+b）=a3+b3，故有c2（a+b）=（a+b）（a2-ab+b2），？摇所以c2=a2-ab+b2，所以a2+b2-c2=ab，故有==cosC. 因为c∈（0，π），所以c=.

这是对第（1）问的两种处理方案，显然方法1较为容易. 但本文所要介绍的重点是第（2）问的处理方法.

方法1：由（1）知c=，又外接圆直径2R=1，所以c=2RsinC=. 又由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-ab=，所以ab=a2+b2-. 又由基本不等式知ab≤，所以a2+b2-≤，所以a2+b2≤，当且仅当a=b时取等号. 再由a2+b2-ab=c2知a2+b2>c2=，所以a2+b2的取值范围是，. 这一方法是利用了余弦定理及基本不等式求出了a2+b2的最大值，又抓住a2+b2-ab=c2得出a2+b2的下限是. 所用知识广而不深，处理得灵活便捷.

方法2：由（1）知c=，外接圆直径2R=1，所以根据正弦定理a2+b2=（2RsinA）2+（2RsinB）2=4R2·sin2A+4R2sin2B=sin2A+sin2B=+. 又A+B+C=π，C=，B=π-A且A∈0，π，？摇所以原式=+=1-·cos2A+cosπ-2A=1-·cos2A-·cos2A-·sin2A=1-·cos2A-·sin2A=1+sin2A-. 因为A∈0，π，所以2A-∈-，，所以1+sin2A-∈，.

方法2与方法1的风格截然不同，它是利用正弦定理，通过消元将目标式a2+b2逐步化成Asin（ωx+φ）+k的形式，再根据角的取值范围求出目标式的取值范围，这一做法虽没有方法1快捷，但能把不少的三角公式——两角和差、降幂公式、辅助角公式作了考查，也不失为一个好方法.

细细体会本题，其实质是已知三角形的一角及其对边，再求相关目标式的取值范围，这类问题笔者认为均可利用类似前面的方法1、方法2加以解决. 不妨请看下面两道变式题.

变式1：已知C=，c=，求△ABC周长l的取值范围.

分析：为求周长的取值范围，只需求出a+b的取值范围.

方法1：c2=a2+b2-2abcosC，所以

（下转37页）

a2+b2-ab=，所以（a+b）2-3ab=，所以3ab=（a+b）2-. 又因为ab≤，所以（a+b）2-≤（a+b）2，a+b≤，当且仅当a=b时取“=”. 同时在△ABC中，根据两边之和大于第三边得a+b>c，所以

方法2：因为C=，c=，所以2R==1，所以a+b=2RsinA+2RsinB=sinA+sinB=sinA+sin-A=sinA+·cosA=·sinA+cosA=·sinA+. 因为A∈0，π，所以A+∈，π，所以a+b∈，.所以周长l的取值范围是，

变式2：已知C=，c=，求△ABC面积S的取值范围.

分析：S=absinC，即只需要求出ab的取值范围.

方法1：由c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=，所以a2+b2=ab+. 又a2+b2≥2ab，所以ab+≥2ab，ab≤. 所以S=absinC≤××=（当且仅当a=b时，取“=”）. 又S=absinC=ab>0（当a，b两边中一边趋向于0时，S趋向于0），所以0

方法2：同样的，已知ab=2RsinA·2RsinB=sinA·sinB=sinA·sinπ-A=sinA·cosA+sinA=·sinAcosA+sin2A=sin2A+×=+sin2A-·cos2A=+sin2A-. 因为A∈0，π，2A-∈-，，所以ab∈0，，所以S=absinC∈0，.

类似的例子还有许多，在此不一一赘述，两种方法各有优劣. 方法1需对基本不等式能正确应用，对目标式的下限能灵活应对；方法2则需对三角表达式的变形严谨踏实，不在符号、数字上出差错.

三角形的问题一直是高考的重点，纵观多年的高考试卷，很多题目都是围绕三角形的角和边进行拓展，如何解决这一类的问题，严谨踏实不丢分，作者凭借多年的经验提出精彩的阐述，希望对同学们有所帮助.

题：△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，tanC=，

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC外接圆的直径为1，求a2+b2的取值范围.

这是一道高三复习三角知识时常选的一例，解决第一个问题时首先从条件出发求出角C的大小，有如下两种常用方法：

方法1：化角：由已知条件tanC=得=，故sinC（cosA+cosB）=cosC（sinA+sinB），所以sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB，不难得到sin（C-A）=sin（B-C）. 因为A，B，C∈（0，π），所以C-A∈（-π，π），B-C∈（-π，π），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）或C-A= -π-（B-C），即C=或B-A=π（舍）或 A-B=π（舍），故C=.

方法2：化边：由tanC=变形得sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB. 同时使用正弦、余弦定理得：c·+c·=a·+b·，经整理得：ac3+bc3-a3c-b3c=0，进一步可化为c2（a+b）=a3+b3，故有c2（a+b）=（a+b）（a2-ab+b2），？摇所以c2=a2-ab+b2，所以a2+b2-c2=ab，故有==cosC. 因为c∈（0，π），所以c=.

这是对第（1）问的两种处理方案，显然方法1较为容易. 但本文所要介绍的重点是第（2）问的处理方法.

方法1：由（1）知c=，又外接圆直径2R=1，所以c=2RsinC=. 又由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-ab=，所以ab=a2+b2-. 又由基本不等式知ab≤，所以a2+b2-≤，所以a2+b2≤，当且仅当a=b时取等号. 再由a2+b2-ab=c2知a2+b2>c2=，所以a2+b2的取值范围是，. 这一方法是利用了余弦定理及基本不等式求出了a2+b2的最大值，又抓住a2+b2-ab=c2得出a2+b2的下限是. 所用知识广而不深，处理得灵活便捷.

方法2：由（1）知c=，外接圆直径2R=1，所以根据正弦定理a2+b2=（2RsinA）2+（2RsinB）2=4R2·sin2A+4R2sin2B=sin2A+sin2B=+. 又A+B+C=π，C=，B=π-A且A∈0，π，？摇所以原式=+=1-·cos2A+cosπ-2A=1-·cos2A-·cos2A-·sin2A=1-·cos2A-·sin2A=1+sin2A-. 因为A∈0，π，所以2A-∈-，，所以1+sin2A-∈，.

方法2与方法1的风格截然不同，它是利用正弦定理，通过消元将目标式a2+b2逐步化成Asin（ωx+φ）+k的形式，再根据角的取值范围求出目标式的取值范围，这一做法虽没有方法1快捷，但能把不少的三角公式——两角和差、降幂公式、辅助角公式作了考查，也不失为一个好方法.

细细体会本题，其实质是已知三角形的一角及其对边，再求相关目标式的取值范围，这类问题笔者认为均可利用类似前面的方法1、方法2加以解决. 不妨请看下面两道变式题.

变式1：已知C=，c=，求△ABC周长l的取值范围.

分析：为求周长的取值范围，只需求出a+b的取值范围.

方法1：c2=a2+b2-2abcosC，所以

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a2+b2-ab=，所以（a+b）2-3ab=，所以3ab=（a+b）2-. 又因为ab≤，所以（a+b）2-≤（a+b）2，a+b≤，当且仅当a=b时取“=”. 同时在△ABC中，根据两边之和大于第三边得a+b>c，所以

方法2：因为C=，c=，所以2R==1，所以a+b=2RsinA+2RsinB=sinA+sinB=sinA+sin-A=sinA+·cosA=·sinA+cosA=·sinA+. 因为A∈0，π，所以A+∈，π，所以a+b∈，.所以周长l的取值范围是，

变式2：已知C=，c=，求△ABC面积S的取值范围.

分析：S=absinC，即只需要求出ab的取值范围.

方法1：由c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=，所以a2+b2=ab+. 又a2+b2≥2ab，所以ab+≥2ab，ab≤. 所以S=absinC≤××=（当且仅当a=b时，取“=”）. 又S=absinC=ab>0（当a，b两边中一边趋向于0时，S趋向于0），所以0

方法2：同样的，已知ab=2RsinA·2RsinB=sinA·sinB=sinA·sinπ-A=sinA·cosA+sinA=·sinAcosA+sin2A=sin2A+×=+sin2A-·cos2A=+sin2A-. 因为A∈0，π，2A-∈-，，所以ab∈0，，所以S=absinC∈0，.

类似的例子还有许多，在此不一一赘述，两种方法各有优劣. 方法1需对基本不等式能正确应用，对目标式的下限能灵活应对；方法2则需对三角表达式的变形严谨踏实，不在符号、数字上出差错.

三角形的问题一直是高考的重点，纵观多年的高考试卷，很多题目都是围绕三角形的角和边进行拓展，如何解决这一类的问题，严谨踏实不丢分，作者凭借多年的经验提出精彩的阐述，希望对同学们有所帮助.

题：△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，tanC=，

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC外接圆的直径为1，求a2+b2的取值范围.

这是一道高三复习三角知识时常选的一例，解决第一个问题时首先从条件出发求出角C的大小，有如下两种常用方法：

方法1：化角：由已知条件tanC=得=，故sinC（cosA+cosB）=cosC（sinA+sinB），所以sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB，不难得到sin（C-A）=sin（B-C）. 因为A，B，C∈（0，π），所以C-A∈（-π，π），B-C∈（-π，π），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）或C-A= -π-（B-C），即C=或B-A=π（舍）或 A-B=π（舍），故C=.

方法2：化边：由tanC=变形得sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB. 同时使用正弦、余弦定理得：c·+c·=a·+b·，经整理得：ac3+bc3-a3c-b3c=0，进一步可化为c2（a+b）=a3+b3，故有c2（a+b）=（a+b）（a2-ab+b2），？摇所以c2=a2-ab+b2，所以a2+b2-c2=ab，故有==cosC. 因为c∈（0，π），所以c=.

这是对第（1）问的两种处理方案，显然方法1较为容易. 但本文所要介绍的重点是第（2）问的处理方法.

方法1：由（1）知c=，又外接圆直径2R=1，所以c=2RsinC=. 又由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-ab=，所以ab=a2+b2-. 又由基本不等式知ab≤，所以a2+b2-≤，所以a2+b2≤，当且仅当a=b时取等号. 再由a2+b2-ab=c2知a2+b2>c2=，所以a2+b2的取值范围是，. 这一方法是利用了余弦定理及基本不等式求出了a2+b2的最大值，又抓住a2+b2-ab=c2得出a2+b2的下限是. 所用知识广而不深，处理得灵活便捷.

方法2：由（1）知c=，外接圆直径2R=1，所以根据正弦定理a2+b2=（2RsinA）2+（2RsinB）2=4R2·sin2A+4R2sin2B=sin2A+sin2B=+. 又A+B+C=π，C=，B=π-A且A∈0，π，？摇所以原式=+=1-·cos2A+cosπ-2A=1-·cos2A-·cos2A-·sin2A=1-·cos2A-·sin2A=1+sin2A-. 因为A∈0，π，所以2A-∈-，，所以1+sin2A-∈，.

方法2与方法1的风格截然不同，它是利用正弦定理，通过消元将目标式a2+b2逐步化成Asin（ωx+φ）+k的形式，再根据角的取值范围求出目标式的取值范围，这一做法虽没有方法1快捷，但能把不少的三角公式——两角和差、降幂公式、辅助角公式作了考查，也不失为一个好方法.

细细体会本题，其实质是已知三角形的一角及其对边，再求相关目标式的取值范围，这类问题笔者认为均可利用类似前面的方法1、方法2加以解决. 不妨请看下面两道变式题.

变式1：已知C=，c=，求△ABC周长l的取值范围.

分析：为求周长的取值范围，只需求出a+b的取值范围.

方法1：c2=a2+b2-2abcosC，所以

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a2+b2-ab=，所以（a+b）2-3ab=，所以3ab=（a+b）2-. 又因为ab≤，所以（a+b）2-≤（a+b）2，a+b≤，当且仅当a=b时取“=”. 同时在△ABC中，根据两边之和大于第三边得a+b>c，所以

方法2：因为C=，c=，所以2R==1，所以a+b=2RsinA+2RsinB=sinA+sinB=sinA+sin-A=sinA+·cosA=·sinA+cosA=·sinA+. 因为A∈0，π，所以A+∈，π，所以a+b∈，.所以周长l的取值范围是，

变式2：已知C=，c=，求△ABC面积S的取值范围.

分析：S=absinC，即只需要求出ab的取值范围.

方法1：由c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=，所以a2+b2=ab+. 又a2+b2≥2ab，所以ab+≥2ab，ab≤. 所以S=absinC≤××=（当且仅当a=b时，取“=”）. 又S=absinC=ab>0（当a，b两边中一边趋向于0时，S趋向于0），所以0

方法2：同样的，已知ab=2RsinA·2RsinB=sinA·sinB=sinA·sinπ-A=sinA·cosA+sinA=·sinAcosA+sin2A=sin2A+×=+sin2A-·cos2A=+sin2A-. 因为A∈0，π，2A-∈-，，所以ab∈0，，所以S=absinC∈0，.

类似的例子还有许多，在此不一一赘述，两种方法各有优劣. 方法1需对基本不等式能正确应用，对目标式的下限能灵活应对；方法2则需对三角表达式的变形严谨踏实，不在符号、数字上出差错.