正、余弦定理及其应用

夏志辉

重点：①正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；②判断三角形的形状；③解斜三角形；④运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识的渗透综合.

难点：①解三角形时解的情况的讨论；②正、余弦定理与三角恒等变换等知识相联系的综合问题.

1. 加强对正、余弦定理及三角形面积公式的记忆

正、余弦定理揭示了三角形中边、角之间的内在联系，是沟通三角形边、角关系的桥梁，应正确理解两个定理的内涵，熟悉它们的推论及常见变式，并能灵活应用.

（1）正弦定理：在△ABC中，===2R（R为△ABC的外接圆的半径）.

由此可得变形：①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

②sinA=，sinB=，sinC=；

③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；

④==2R.

（2）余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA， b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.

由此可得变形：cosA=，cosB=，cosC=.

（3）三角形面积公式：S△=absinC=acsinB=bcsinA==（a+b+c）·r（r是三角形的内切圆的半径），并由此计算R，r.

2. 运用正、余弦定理解三角形

（1）运用正、余弦定理可以实现边与角的互化，从而把相应问题转化为只有角关系的三角函数问题或只有边关系的代数问题. 对正、余弦定理的特征（次数、元素个数等）的准确把握是选取公式的关键.

（2）解三角形就是已知三角形中的三个独立元素（至少已知一边）求出其他元素的过程. 三角形中的基本元素（边和角）与非基本元素（如中线、高、角平分线、外接圆半径、内切圆半径）之间的联系要通过对有关的概念与公式（周长、面积、射影定理、勾股定理、内角和定理、全等关系、正弦定理、余弦定理等）的掌握来实现.

（3）要多角度（几何作图、三角函数定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理等角度）去理解已知两边和其中一边的对角解斜三角形时，有一解、两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使得三角形有一解、两解或无解. 如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

（4）解决三角形中的计算与证明问题，要注意以下几点：

①三角形中常用的关系：sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），sin=cos，sin2A=-sin2（B+C），cos2A=cos2（B+C）.

②解决三角形中的问题，要从统一着手，或统一成角的关系，或统一成边的关系，要视情况灵活运用.

a. 解三角形时，要注意解题的完整性，谨防失根.

b. 要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一个角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列.

c. 对三角形中的不等式，要利用正、余弦的有界性进行适当“放缩”.

③已学过的一些结论：如边角不等关系；全等关系；三角形的面积公式，等等. 在解三角形的过程中可能要用到.

④注意三角公式的灵活运用，主要是利用两角和与两角差的三角函数，二倍角的三角函数，诱导公式等进行三角函数变换.

⑤由正弦定理可推导出一些非常有用的结论，如在△ABC中，A>B？圳sinA>sinB.

例1 如图1，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=.

（1）求cos∠CAD的值；

（2）若已知cos∠BAD=-，sin∠CBA=，求BC的长.

图1

思索 （1）已知△ACD的三条边，利用∠CAD的余弦定理即可得到该角的余弦值；（2）利用（1）问得到的∠CAD的余弦值可求得该角的正弦值，再利用正、余弦之间的关系即可得∠BAD，而∠BAD与∠CAD之差即为∠BAC，此时利用正弦的和差角公式可得∠BAC的正弦值，最后在△ABC中运用正弦定理即可求出BC的长.

破解 （1）在△ACD中，由余弦定理可得cos∠CAD===，所以cos∠CAD=.

（2）因为∠BAD为四边形的内角，所以sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，则由正、余弦的关系可得sin∠BAD==，sin∠CAD==.

再由正弦的和差角公式可得sin∠BAC=sin（∠BAD-∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD-sin∠CAD· cos∠BAD=×-×-=+=.

最后由△ABC的正弦定理可得=？圯BC=×=3.

点评 （1）仔细分析角与角之间的联系、式子的联系，是利用两角和与差的三角函数公式和诱导公式进行三角函数求值的关键，掌握公式的正用、逆用、变形用的运用方法，注意整体思想方法，不要乱用公式；（2）注意三角形内角和定理在减少角的形式个数中的转化作用；（3）在求解时要根据已知条件合理地使用正、余弦定理.

例2 △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（2）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.

思索 （1）因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b，再由正弦定理得sinA+sinC=2sinB；（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB==-，再由基本不等式求解.

破解 （1）因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b，再由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. 因为sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），所以sinA+sinC=2sin（A+C）.endprint

（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB===-.

因为a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时等号成立），所以-≥（当且仅当a=c时等号成立），即cosB≥，所以cosB的最小值为.

点评 （1）三角形中内角和为180°，这是首先要考虑的隐含条件，三角条件等式或恒等式的计算、证明，都应化繁为简，实现角、函数名称的统一；（2）本题第（2）小问的本质就是已知两个式子b2=ac和cosB=，去找出a，c的直接关系式，用到了消元的思想.

例3 如图2，某公司要在A，B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米. 设A，B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α，β.

图2

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问：CD的长至多为多少？（结果精确到0.01米）

（2）施工完成后， CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长.（结果精确到0.01米）

思索 （1）条件α≥2β可以转化为tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα，tanβ可用CD的长表示出来，从而得到关于CD的不等式，解之可得所求结论；（2）根据已知条件，要求CD的长，可在△ACD或△BCD中运用余弦定理求得，由此要知道AD或BD的长，而AD或BD两边在△ABD中，可用正弦定理求得.

破解 （1）由题得，因为α≥2β，且0<2β≤α<，所以tanα≥tan2β，即≥，从而解得CD≤20，所以CD≈28.28米.

（2）由题得∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°，因为=，所以AD≈43.61米.因为CD2=352+AD2-2.35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

点评 本题是正、余弦函数的实际运用问题，关键是将条件α≥2β转化为tanα≥tan2β，再用长度表示出正切值，找到长度间的关系，合理运用定理解决.

1. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosC=2a-c.

（1）求B；

（2）若△ABC的面积为，求b的取值范围.

2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2+ccos2=b.

（1）求证：a，b，c成等差数列；

（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积.

3. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b-c）·sinB+（2c-b）sinC.

（1）求角A的大小；

（2）若sinB+sinC=，试判断△ABC的形状.

参考答案

1. （1）B=

（2）[2，+∞）

2. （1）acos2+ccos2=a·+c·=b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b. 由正弦定理得sinA+sinAcosC+sinC+cosAsin C=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，所以sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理得a+c=2b，故a，b，c成等差数列.

（2）由∠B=60°，b=4及余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，所以（a+c）2-3ac=16.又由（1）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16.所以可知△ABC的面积S=acsinB=ac·sin60°=4.

3. （1）A=60°.

（2）因为A+B+C=180°，所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=，得sinB+sin（120°-B）=，所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=.所以sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1. 又因为0°

（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB===-.

因为a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时等号成立），所以-≥（当且仅当a=c时等号成立），即cosB≥，所以cosB的最小值为.

点评 （1）三角形中内角和为180°，这是首先要考虑的隐含条件，三角条件等式或恒等式的计算、证明，都应化繁为简，实现角、函数名称的统一；（2）本题第（2）小问的本质就是已知两个式子b2=ac和cosB=，去找出a，c的直接关系式，用到了消元的思想.

例3 如图2，某公司要在A，B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米. 设A，B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α，β.

图2

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问：CD的长至多为多少？（结果精确到0.01米）

（2）施工完成后， CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长.（结果精确到0.01米）

思索 （1）条件α≥2β可以转化为tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα，tanβ可用CD的长表示出来，从而得到关于CD的不等式，解之可得所求结论；（2）根据已知条件，要求CD的长，可在△ACD或△BCD中运用余弦定理求得，由此要知道AD或BD的长，而AD或BD两边在△ABD中，可用正弦定理求得.

破解 （1）由题得，因为α≥2β，且0<2β≤α<，所以tanα≥tan2β，即≥，从而解得CD≤20，所以CD≈28.28米.

（2）由题得∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°，因为=，所以AD≈43.61米.因为CD2=352+AD2-2.35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

点评 本题是正、余弦函数的实际运用问题，关键是将条件α≥2β转化为tanα≥tan2β，再用长度表示出正切值，找到长度间的关系，合理运用定理解决.

1. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosC=2a-c.

（1）求B；

（2）若△ABC的面积为，求b的取值范围.

2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2+ccos2=b.

（1）求证：a，b，c成等差数列；

（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积.

3. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b-c）·sinB+（2c-b）sinC.

（1）求角A的大小；

（2）若sinB+sinC=，试判断△ABC的形状.

参考答案

1. （1）B=

（2）[2，+∞）

2. （1）acos2+ccos2=a·+c·=b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b. 由正弦定理得sinA+sinAcosC+sinC+cosAsin C=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，所以sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理得a+c=2b，故a，b，c成等差数列.

（2）由∠B=60°，b=4及余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，所以（a+c）2-3ac=16.又由（1）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16.所以可知△ABC的面积S=acsinB=ac·sin60°=4.

3. （1）A=60°.

（2）因为A+B+C=180°，所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=，得sinB+sin（120°-B）=，所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=.所以sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1. 又因为0°

（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，由余弦定理得cosB===-.

因为a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时等号成立），所以-≥（当且仅当a=c时等号成立），即cosB≥，所以cosB的最小值为.

点评 （1）三角形中内角和为180°，这是首先要考虑的隐含条件，三角条件等式或恒等式的计算、证明，都应化繁为简，实现角、函数名称的统一；（2）本题第（2）小问的本质就是已知两个式子b2=ac和cosB=，去找出a，c的直接关系式，用到了消元的思想.

例3 如图2，某公司要在A，B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米. 设A，B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α，β.

图2

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问：CD的长至多为多少？（结果精确到0.01米）

（2）施工完成后， CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长.（结果精确到0.01米）

思索 （1）条件α≥2β可以转化为tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα，tanβ可用CD的长表示出来，从而得到关于CD的不等式，解之可得所求结论；（2）根据已知条件，要求CD的长，可在△ACD或△BCD中运用余弦定理求得，由此要知道AD或BD的长，而AD或BD两边在△ABD中，可用正弦定理求得.

破解 （1）由题得，因为α≥2β，且0<2β≤α<，所以tanα≥tan2β，即≥，从而解得CD≤20，所以CD≈28.28米.

（2）由题得∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°，因为=，所以AD≈43.61米.因为CD2=352+AD2-2.35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

点评 本题是正、余弦函数的实际运用问题，关键是将条件α≥2β转化为tanα≥tan2β，再用长度表示出正切值，找到长度间的关系，合理运用定理解决.

1. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosC=2a-c.

（1）求B；

（2）若△ABC的面积为，求b的取值范围.

2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2+ccos2=b.

（1）求证：a，b，c成等差数列；

（2）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积.

3. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b-c）·sinB+（2c-b）sinC.

（1）求角A的大小；

（2）若sinB+sinC=，试判断△ABC的形状.

参考答案

1. （1）B=

（2）[2，+∞）

2. （1）acos2+ccos2=a·+c·=b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b. 由正弦定理得sinA+sinAcosC+sinC+cosAsin C=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，所以sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理得a+c=2b，故a，b，c成等差数列.

（2）由∠B=60°，b=4及余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，所以（a+c）2-3ac=16.又由（1）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16.所以可知△ABC的面积S=acsinB=ac·sin60°=4.

3. （1）A=60°.

（2）因为A+B+C=180°，所以B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=，得sinB+sin（120°-B）=，所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=.所以sinB+cosB=，即sin（B+30°）=1. 又因为0°