三角函数的图象与性质

邬坚耀

重点：掌握“五点法”画三角函数的图象及其逆向思维，能运用转化思想，通过恒等变形、换元等方法熟练地求解三角函数的周期、单调区间、奇偶性、对称性；熟练求解三角函数的值域；理解参数A，ω，φ对函数y=Asin（ωx+φ）的图象变化的影响以及掌握图象变换.

难点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象的综合变换；由函数y=Asin（ωx+φ）的图象确定A，ω，φ的值或范围. 前者一般先逆用诱导公式化为同名同号，再分解成若干个中间步骤，并注意变换顺序；后者常常以“五点法”中的五个点作为突破口，从图象的升降情况找准对应的五个点的位置，如何把多对一的问题转化为一对一的问题，并恰当运用待定系数法是解题的关键.

解决三角函数的图象与性质的相关问题，一般是把图象或目标恒等式变形化为一个角的一种三角函数的形式：y=Asin（ωx+φ）+B，并注意角的范围，然后化归为y=Asinx+B的性质；要注意数形结合思想的应用.具体包括以下几个方面：

（1）求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数的图象来求解.

（2）求三角函数的值域的方法有：①利用sinx和cosx的值域直接求；②把形如y=asinx+bcosx的三角函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式求值域；③利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.

（3）求y=Asin（ωx+φ）（ω≠0）的对称轴，只需令ωx+φ=+kπ（k∈Z），求出x的值，写成直线方程的形式即得对称轴；求y=Asin（ωx+φ）（ω≠0）的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ（k∈Z），求出x的值即为对称中心的横坐标.

（4）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为y=Asin（ωx+φ）+B的形式，再将ωx+φ看做一个整体，代入y=sint的相应单调区间求解.

（5）求三角函数式的最小正周期时，一般地，先经过恒等变形变成y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求解即可.

（6）作函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象的方法主要是五点作图法（简称“五点法”）和图象变换法. 用五点作图法作函数y=Asin（ωx+φ）的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；用图象变换法作函数y=Asin（ωx+φ）的简图，先将三角函数y=Asinx的图象进行平移变换，再沿x轴方向进行伸缩变换，平移的量是φ个单位；而先沿x轴方向进行伸缩变换，再作平移变换，则平移的量是个单位.

（7）已知y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分图象求其解析式时，从图中易直接得A，再由ω=可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，则令ωx0+φ=0（或ωx0+φ=π），即可求出φ.

例1 将函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（ ）

A. B.

C. 0 D. -

思索 利用平移规律求得解析式，验证得出答案.

破解 y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得y=sin2x++φ=sin2x++φ的图象. 所以，当φ=π时，y=sin（2x+π）=-sin2x，为奇函数；当φ=时，y=sin2x+=cos2x，为偶函数；当φ=0时，y=sin2x+，为非奇非偶函数；当φ=-时，y=sin2x，为奇函数. 故选B.

点评 此题考查了三角函数的平移规律、诱导公式、三角函数的奇偶性等知识，属于中档题.

例2 已知定义在R上的函数f（x）满足：当sinx≤cosx时， f（x）=cosx；当sinx>cosx时， f（x）=sinx.

给出以下结论：

①f（x）是周期函数；

②f（x）的最小值为-1；

③当且仅当x=2kπ（k∈Z）时， f（x）取得最小值；

④当且仅当2kπ-0；

⑤f（x）的图象上相邻两个最低点的距离是2π.

其中正确的结论序号是______.

思索 该分段函数为周期函数，通过数形结合，化抽象为直观，画出函数f（x）在一个周期内的图象，利用图象的直观性依次检验结论.

破解 易知函数f（x）是周期为2π的周期函数. 函数f（x）在一个周期内的图象如图1所示.

图1

由图象可得，函数f（x）的最小值为-，当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时， f（x）取得最小值；当且仅当2kπ-0；f（x）的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.

点评 本题主要考查三角函数的图象及分段函数的性质，同学们要多多注意三角函数与其他知识的融合.

例3 函数f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ<的一段图象如图2所示.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调减区间，并求出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合.

图2

思索 第（1）小题，已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分图象求其解析式时，A比较容易由图得出；令X=ωx+φ，现利用已知图象中的两个关键点的对应关系，运用待定系数法求ω和φ，也可由图象间接得出周期，再由ω=即可求出ω；确定φ时，将最低点的坐标代入解析式即可.

破解 （1）解法一：令X=ωx+φ，由图可得ω+φ=0，4πω+φ=π ？圯ω=，φ=-π， 所以f（x）=3sinx-.

解法二：由图知A=3，T=4π-=π，所以T=5π，所以ω=，所以f（x）=3sinx+φ.因f（x）的图象过点（4π，-3），故-3=3sin+φ，所以+φ=2kπ-，k∈Z，所以φ=2kπ-，k∈Z.因为φ<，所以φ=-，所以f（x）=3sinx-.？摇

（2）由2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，解得函数f（x）的单调减区间为5kπ+，5kπ+4π，k∈Z；函数f（x）的最大值为3，取到最大值时x的集合为xx=5kπ+，k∈Z.

点评：本题主要考查三角函数y=Asin（ωx+φ）+k的性质及解析式的求法，考查读图、识图能力，数据处理能力和运算求解能力.

例4 已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω>0.

（1）若y=f（x）在-，上单调递增，求ω的取值范围；

（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a

思索 第一小问是常考的复合三角函数的单调性逆用，只需要求出ωx的整体范围，再与y=sinx的单调区间比较即可；第二小问需要结合函数的图象，联系周期和零点个数之间的关系.

破解 （1）因为ω>0，根据题意有-ω≥-，ω≤？圯0<ω≤.

（2）由已知， f（x）=2sin2x，g（x）=2sin2x++1=2sin2x++1，g（x）=0？圯sin2x+=-？圯x=kπ-或x=kπ-，k∈Z，即g（x）的零点相离间隔依次为和. 若y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，则b-a的最小值为14×+15×=.

点评 此题体现了函数与方程的思想，具有一定的综合性. 考查熟练运用基础知识解决综合问题的能力，需要同学们有较强的运算能力和思维能力.

1. 为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（ ）

A. 向右平移个单位？摇

B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位？摇

D. 向左平移个单位

2. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f+x=f-x，则f 等于（ ）

A. 2或0？摇 B. -2或2？摇？摇？摇

C. 0？摇？摇？摇 D. -2或0

3. 已知函数f（x）=πsin，如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则x1-x2的最小值是（ ）

A. 8π B. 4π C. 2π D. π

4. 已知函数f（x）=a2cos2+sinx+b.

（1）若a=-1，求函数f（x）的单调增区间；

（2）若x∈[0，π]时，函数f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值.

5. 已知函数f（x）=sin2ωx+2·sinωx·cosωx-cos2ωx+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈，1.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若函数y=f（x）的图象经过点，0，求函数f（x）的值域.

参考答案

1. C 2. B 3. B？摇

4. f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=asinx++a+b.

（1）当a=-1时，函数f（x）=-·sinx++b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），所以f（x）的单调增区间为2kπ+，2kπ+（k∈Z）.

（2）因为0≤x≤π，所以≤x+≤，所以-≤sinx+≤1，由题意知a≠0.当a>0时，可得a+a+b=8，b=5，解得a=3-3，b=5；当a<0时，可得b=8，a+a+b=5，解得a=3-3，b=8.

综上所述，a=3-3，b=5或a=3-3，b=8.

6. （1）由已知f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin2ωx-+λ. 由直线x=π是y=f（x）图象的一条对称轴，可得sin2ωπ-=±1，所以2ωπ-=kπ+（k∈Z），即ω=+（k∈Z）.又ω∈，1，故ω=. 所以f（x）的最小正周期是.

（2）由已知，函数y=f（x）的图象过点，0，得f=0，从而可得λ=-2sin×-=-2sin=

-，即λ=-. 故f（x）=2sinx--，所以函数f（x）的值域为-2-，2-.

破解 （1）解法一：令X=ωx+φ，由图可得ω+φ=0，4πω+φ=π ？圯ω=，φ=-π， 所以f（x）=3sinx-.

解法二：由图知A=3，T=4π-=π，所以T=5π，所以ω=，所以f（x）=3sinx+φ.因f（x）的图象过点（4π，-3），故-3=3sin+φ，所以+φ=2kπ-，k∈Z，所以φ=2kπ-，k∈Z.因为φ<，所以φ=-，所以f（x）=3sinx-.？摇

（2）由2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，解得函数f（x）的单调减区间为5kπ+，5kπ+4π，k∈Z；函数f（x）的最大值为3，取到最大值时x的集合为xx=5kπ+，k∈Z.

点评：本题主要考查三角函数y=Asin（ωx+φ）+k的性质及解析式的求法，考查读图、识图能力，数据处理能力和运算求解能力.

例4 已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω>0.

（1）若y=f（x）在-，上单调递增，求ω的取值范围；

（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a

思索 第一小问是常考的复合三角函数的单调性逆用，只需要求出ωx的整体范围，再与y=sinx的单调区间比较即可；第二小问需要结合函数的图象，联系周期和零点个数之间的关系.

破解 （1）因为ω>0，根据题意有-ω≥-，ω≤？圯0<ω≤.

（2）由已知， f（x）=2sin2x，g（x）=2sin2x++1=2sin2x++1，g（x）=0？圯sin2x+=-？圯x=kπ-或x=kπ-，k∈Z，即g（x）的零点相离间隔依次为和. 若y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，则b-a的最小值为14×+15×=.

点评 此题体现了函数与方程的思想，具有一定的综合性. 考查熟练运用基础知识解决综合问题的能力，需要同学们有较强的运算能力和思维能力.

1. 为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（ ）

A. 向右平移个单位？摇

B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位？摇

D. 向左平移个单位

2. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f+x=f-x，则f 等于（ ）

A. 2或0？摇 B. -2或2？摇？摇？摇

C. 0？摇？摇？摇 D. -2或0

3. 已知函数f（x）=πsin，如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则x1-x2的最小值是（ ）

A. 8π B. 4π C. 2π D. π

4. 已知函数f（x）=a2cos2+sinx+b.

（1）若a=-1，求函数f（x）的单调增区间；

（2）若x∈[0，π]时，函数f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值.

5. 已知函数f（x）=sin2ωx+2·sinωx·cosωx-cos2ωx+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈，1.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若函数y=f（x）的图象经过点，0，求函数f（x）的值域.

参考答案

1. C 2. B 3. B？摇

4. f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=asinx++a+b.

（1）当a=-1时，函数f（x）=-·sinx++b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），所以f（x）的单调增区间为2kπ+，2kπ+（k∈Z）.

（2）因为0≤x≤π，所以≤x+≤，所以-≤sinx+≤1，由题意知a≠0.当a>0时，可得a+a+b=8，b=5，解得a=3-3，b=5；当a<0时，可得b=8，a+a+b=5，解得a=3-3，b=8.

综上所述，a=3-3，b=5或a=3-3，b=8.

6. （1）由已知f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin2ωx-+λ. 由直线x=π是y=f（x）图象的一条对称轴，可得sin2ωπ-=±1，所以2ωπ-=kπ+（k∈Z），即ω=+（k∈Z）.又ω∈，1，故ω=. 所以f（x）的最小正周期是.

（2）由已知，函数y=f（x）的图象过点，0，得f=0，从而可得λ=-2sin×-=-2sin=

-，即λ=-. 故f（x）=2sinx--，所以函数f（x）的值域为-2-，2-.

破解 （1）解法一：令X=ωx+φ，由图可得ω+φ=0，4πω+φ=π ？圯ω=，φ=-π， 所以f（x）=3sinx-.

解法二：由图知A=3，T=4π-=π，所以T=5π，所以ω=，所以f（x）=3sinx+φ.因f（x）的图象过点（4π，-3），故-3=3sin+φ，所以+φ=2kπ-，k∈Z，所以φ=2kπ-，k∈Z.因为φ<，所以φ=-，所以f（x）=3sinx-.？摇

（2）由2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，解得函数f（x）的单调减区间为5kπ+，5kπ+4π，k∈Z；函数f（x）的最大值为3，取到最大值时x的集合为xx=5kπ+，k∈Z.

点评：本题主要考查三角函数y=Asin（ωx+φ）+k的性质及解析式的求法，考查读图、识图能力，数据处理能力和运算求解能力.

例4 已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω>0.

（1）若y=f（x）在-，上单调递增，求ω的取值范围；

（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a

思索 第一小问是常考的复合三角函数的单调性逆用，只需要求出ωx的整体范围，再与y=sinx的单调区间比较即可；第二小问需要结合函数的图象，联系周期和零点个数之间的关系.

破解 （1）因为ω>0，根据题意有-ω≥-，ω≤？圯0<ω≤.

（2）由已知， f（x）=2sin2x，g（x）=2sin2x++1=2sin2x++1，g（x）=0？圯sin2x+=-？圯x=kπ-或x=kπ-，k∈Z，即g（x）的零点相离间隔依次为和. 若y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，则b-a的最小值为14×+15×=.

点评 此题体现了函数与方程的思想，具有一定的综合性. 考查熟练运用基础知识解决综合问题的能力，需要同学们有较强的运算能力和思维能力.

1. 为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（ ）

A. 向右平移个单位？摇

B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位？摇

D. 向左平移个单位

2. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f+x=f-x，则f 等于（ ）

A. 2或0？摇 B. -2或2？摇？摇？摇

C. 0？摇？摇？摇 D. -2或0

3. 已知函数f（x）=πsin，如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则x1-x2的最小值是（ ）

A. 8π B. 4π C. 2π D. π

4. 已知函数f（x）=a2cos2+sinx+b.

（1）若a=-1，求函数f（x）的单调增区间；

（2）若x∈[0，π]时，函数f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值.

5. 已知函数f（x）=sin2ωx+2·sinωx·cosωx-cos2ωx+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈，1.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若函数y=f（x）的图象经过点，0，求函数f（x）的值域.

参考答案

1. C 2. B 3. B？摇

4. f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=asinx++a+b.

（1）当a=-1时，函数f（x）=-·sinx++b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），所以f（x）的单调增区间为2kπ+，2kπ+（k∈Z）.

（2）因为0≤x≤π，所以≤x+≤，所以-≤sinx+≤1，由题意知a≠0.当a>0时，可得a+a+b=8，b=5，解得a=3-3，b=5；当a<0时，可得b=8，a+a+b=5，解得a=3-3，b=8.

综上所述，a=3-3，b=5或a=3-3，b=8.

6. （1）由已知f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin2ωx-+λ. 由直线x=π是y=f（x）图象的一条对称轴，可得sin2ωπ-=±1，所以2ωπ-=kπ+（k∈Z），即ω=+（k∈Z）.又ω∈，1，故ω=. 所以f（x）的最小正周期是.

（2）由已知，函数y=f（x）的图象过点，0，得f=0，从而可得λ=-2sin×-=-2sin=

-，即λ=-. 故f（x）=2sinx--，所以函数f（x）的值域为-2-，2-.