基于数学史的勾股定理教学探究

刘衍浩

[摘 要] 数学史对于数学教育的意义不言而喻，它对于践行新课改的知识与技能、过程与方法以及情感态度价值观的三维目标，倡导学生自主探究学习的教学模式等方面具有重要作用. 本文以勾股定理教学为例，探讨了上述问题.

[关键词] 数学史；勾股定理；教育价值

数学史对于数学教育的价值已不仅仅停留在理论层面的讨论. 翻阅近两年的数学教育类杂志可以发现，越来越多的中小学数学教师也在撰文阐述自己在教学中使用数学史的一些体会和教学案例. 在课程改革不断深入的当下，数学史融入数学教学对于践行课改的理念，培养全面发展有理想、有道德的高素质数学人才等方面确实有着积极的推进作用. 本文将给出一个基于数学史的勾股定理教学设计思路，旨在抛砖引玉，期待一线教师在不断加强自身数学史修养的同时，开发出更多基于数学史的优秀教学案例.

提出问题

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 此定理在西方叫做毕达哥拉斯定理，相传，这是由古希腊数学家毕达哥拉斯及其徒众发现的，后人更渲染其事，说毕达哥拉斯诸人十分重视这项发现，特地宰了一百头牛向天神奉献答谢，所以中世纪时这条定理被称作“百牛定理”. 在历史上，这条定理的名称特别多，在不同时代、不同地区都有不同的名称，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希腊数学家欧几里得在公元前300年左右编写了著名的经典之作《几何原本》，其中一个定理就是毕达哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.”

接下来的这个定理是毕达哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角.”

这两个定理合起来说明了直角三角形a，b，c三边的平方和关系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我国是最早发现勾股定理的国家，据《周髀算经》记载，我国数学家早在公元前1120年就对勾股定理有了明确认识. 勾股定理从发现到现在已有五千年的历史，在西方，它被称为毕达哥拉斯定理，但它的发现时间却比中国人晚了几百年. 勾股定理是把直角三角形与三边长的数量关系联系在一起，体现了数形结合思想.

定理的证明

在新课程人教版教材（八年级下册）中，先是引用毕达哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中国古代数学家赵爽的“弦图”证明了勾股定理. “弦图”是以弦为边长的正方形，在“弦图”内作四个相等的勾股形，各以正方形的边长为弦. “弦图证法”是依据“出入相补原理”，根据“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理的. 赵爽的“弦图证法”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，正因如此，这个图案被选为2002年北京召开的国际数学家大会会徽.

[图1]

引导学生探索其他解法

上述是我国古代数学家赵爽的“弦图”证法，即利用“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理. 这一方法给我们一定的启示，即围绕面积相等这一条，把原图形拆成几部分，然后根据面积相等实现定理的证明. 教师可以提示学生围绕这一观点，探索其他证明方法，学生提供的证法有可能和历史上大数学家的证法一致.

历史上的经典证明方法展示

发现勾股定理迄今已有五千年，五千多年来，世界上几个文明古国都相继发现和研究过这个定理，几千年来，人们给出了勾股定理的许多证法，有人统计，现在世界上已找到四百多种证法，下面列举其中具有数学思想的一些代表性证明方法. 如（1）欧几里得《几何原本》的证法；（2）比例证法；（3）另一种弦图证法；（4）总统证法；（5）帕斯卡拉二世的证明；（6）毕达哥拉斯的证法；（7）旋转证法. 限于篇幅，这些证明方法的证明过程在本文中省略不写.

基于上述分析，不难发现，历史上的勾股定理证明方法很多，据统计，有400多种，向学生展示不同的证明方法有很多益处，具体表现在：首先，给出勾股定理的多种证法，并非是比较证法之优劣，而是为了丰富教与学的内容知识，这也是数学史融入数学教学重要的功能之一. 其次，通过比较、分析各种证法的特色，可以让教师和学生在教与学上有所比较，以达到取长补短. 通过分析各种证法之不同，可以发现他们各自对于图形的依赖程度也不相同. 当我们试图理解某个版本的证法时，就好比与这位数学家进行对话，从而产生自我“历史诠释”. 再次，历史上的勾股定理证法还使我们认识到该如何呈现定理及其证明，以便可以兼顾到各个面向. 在教学中，若以历史文本为师，适时引入古人的原始想法，撷取前人的智慧，乃至前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更全面的观照. 最后，基于数学史数学教学所追求的目标之一，正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣，因此，数学历史文本中的任何地方可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归.

问题的推广

下面我们换个角度看勾股定理，定理会变成什么样呢？

推广一：勾股定理的不同表述方式

（1）直角三角形斜边长度的平方等于两个直角边长度的平方之和.

（2）直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形.

（3）直角三角形直角边上两个正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积.

推广二：“出入相补”原理的应用

所谓“出入相补”原理，是指一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变. 综观历史上有关勾股定理的证明方法，许多证法都是利用这一原理进行的，只是图形的分合移补略有不同而已. “出入相补”原理是我国古代数学家发明的一个证明几何图形面积和体积的非常重要的方法，下面，我们通过比较两个证明来说明某些问题.

赵爽和达·芬奇的证明方法（如图2所示）：

[图2：勾股定理的两种几何证明]

问题：这两种方法的联系是什么？

解答：如图3所示.

[图3：两种证明的联系]

可以看出，赵爽和达·芬奇对勾股定理的证明都使用了“出入相补”原理. 这两种来自不同时期、不同地域的方法背后有着更本质的联系，正因为这种本质联系，让我们找到了更多类似的证明方法. 它也展示了数学内部的一种联系. 正如韦尔斯在《数学与联想》一书中所说的：“这就是为什么数学强有力的一个理由. 数学家发现，两个表面不同的问题实际上是相同的，因此他只要解决一个也就解决了另一个. 认识到一百万个问题‘实质上都是相同的，因此，你只要解决一个就解决了一百万个. 事实上，这就是力量！”我们的数学读本，应该多多向学生介绍这方面的内容，让学生感受这种力量，去认识事物之间的联系.

推广三：把直角三角形三边上的正方形改为一般的直线形

若把以直角三角形为边长的正方形改为一般的直线形，勾股定理就推广为：直角三角形斜边上的直线形（任何形状）的面积，等于两条直角边上与它相对应的两个相似的直线形的面积之和（如图4所示）.

[图4]

推广四：把直角三角形三边上的直线形改为曲边形

若把直角三角形三边上的相似直线形改为三个半圆，勾股定理就推广为：以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作半圆的面积和. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广：（习题18.1“拓展探索”问题11）：如图5所示，直角三角形三条边上的三个半圆之间有什么关系？

[图5][2][1]

若把上述斜边上的半圆沿斜边翻一个身，此时显然有“1和2的面积之和等于直角三角形的面积”. 其实这个结论早在公元前479年就已经由古希腊数学家希波克拉底得到，因1和2部分状如弦月，故称“希波克拉底月形”. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广（习题18.1“拓展探索”问题12）：如图5所示，直角三角形的面积是20，求图中1和2的面积之和.

推广五：勾股定理与费马大定理

勾股定理是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，写出公式就是a2+b2=c2. 丢番图的名作《算术》（第2卷问题8）中有一个与勾股定理类似的问题：将一个已知的平方数分为两个平方数. 丢番图在《算术》中以实例形式给出了这一问题的解答. 之所以在此独独提到丢番图的这一问题，是因为，大约16个世纪以后，正是在这一问题的启发下，费马在其旁白处写下了一段边注，从而诞生了一个让整个数学界为之苦思冥想了三百多年的问题. 费马在阅读巴歇校订的丢番图《算术》时，做了如下批注：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和. 我已找到了一个奇妙的证明，但书边太窄，写不下. ”1670年，费马之子萨谬尔连同其父的批注一起出版了巴歇校订的书的第二版，遂使费马这一猜想公之于世. 费马究竟有没有找到证明已成为数学史上的千古之谜. 从那时起，为了“补出”这条定理的证明，数学家们花费了三个多世纪的心血，直到1994年才由维尔斯给出证明.

推广六：勾股数

不言而喻，所谓勾股数，是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数（a，b，c），它们满足a2+b2=c2. 那么如何寻找更多的勾股数呢，方法如下.

1. 任取两个正整数m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数.

2. 若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下方法确定另两个数：首先观察已知数是奇数还是偶数.

（1）若已知数是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数.

（2）若已知数是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1和加1所得的两个整数与这个偶数构成一组勾股数.

练习题：限于篇幅，仅列一题.

练习题 今有立木，系索其末委地三尺，引索却行去本八尺而索尽，问索长几何？（该题出自南宋杨辉《详解九章算法》，公元1261年）

现代文翻译：有一根直立的木头，一条绳索系在它的顶端. 已知这条绳索比木头长3尺，现在向后紧拉绳索，使它的另一端着地，这时绳索与木的距离为8尺，问这条绳索的长为多少？

原书“术”曰：“以去本自乘，另如委数儿一，所得加委地数而半之，即索长.”

历史上涉及勾股定理应用的古算题很多，在学习勾股定理的同时，如果能尽可能多地向学生呈现这些古算题，会使我们的教学起到事半功倍之效. 向学生呈现古算题原题，学生首先会接受很多那个时代的社会、人文信息，包括古算题涉及的真实情景、古算题的出处、涉及的数学家等. 学生还要将文言文翻译成现代白话文，然后去理解题意，考虑其解题方法. 接着给学生呈现古人解决此类问题的“术”，又会使学生感受到他们的解法与历史上的解法其实有异曲同工之妙. 在这个过程中，新课程所涉及的“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标可以自然地达成. 诚然，教师在这个过程中需要适时地进行引导和点拨，它要求教师具备一定的数学史知识和修养.

结语：数学史在数学教育中的作用不言而喻，亟须一线教师开发出更多的教案和案例. 数学史对于数学教育的重要指导和引领作用，正如我国老一辈数学教育家、珠算算具改革先驱的余介石先生所说：“历史之于数学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之恩，收闻风兴起之效，更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑顺序，如何得以融合调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也”.