由一道习题的演变剖析三大性质力做功情况的变化

关亚男

摘 要： 做功在物理学中具有特定含义。做功是生产和生活中常见的现象。同是斜面上物体受到的三大性质力——重力、弹力（支持力）、摩擦力，在稍稍改变条件的情况下，致使它们做正功、负功和零功，真可谓一举多得。而弄清正、负、零功的关键在于首先弄清各力方向与位移方向的夹角。

关键词： 功力 位移 正功 负功 零功 夹角

做功在物理学中具有特定含义。

首先，功是描述力在空间位移上累积作用的物理量。力和在力的方向上移动的距离，是做功的两个必要因素，缺一不可。

其次，功尽管不是矢量，却有正负之分。正功的意义是：动力对物体做功，向物体提供能量，即受力物体获得了能量。负功的意义是：阻力对物体做功，或物体克服外力做正功，向外输出能量（以消耗自身的能量为代价），即负功表示物体失去能量。零功即表示不做功，无动力效果也无阻力效果，不能改变物体的速率。

可见，功是能量转化的量度。不同形式间的“能”是可以互相转换的，物体做了多少功就有多少能转化为其他形式的能。如果一个物体能够做功，这个物体就具有能量。能量大的物体，做功的本领也大。物体对外做功，自身能量减小；外界对物体做功，物体的能量将增大。

做功是生产和生活中常见的现象。不仅人能做功，运动的物体也能做功。下面我们仅以一道习题的演变重点剖析不同运动情况同一性质力做功的不同。

例题：如图所示，小物块位于粗糙的斜面上，斜面固定在水平地面上，在小物块沿斜面下滑的过程中，判断小物块所受各个力做功情况。

【解析】很显然，小物块受到三个力的作用，竖直向下的重力、垂直斜面向上的支持力和沿着斜面向上的滑动摩擦力。由于斜面固定不动，小物块的位移方向沿斜面向下。不难看出，重力方向与位移方向夹锐角，属于动力，做正功；支持力方向恰好与位移方向垂直，不做功；而滑动摩擦力方向与位移方向正好相反，典型的阻力，做负功。

将上述例题中的条件加以改变，则有：

变式一：如图所示，小物块位于粗糙的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，在小物块沿斜面下滑的过程中，判断小物块所受各个力做功情况。

【解析】小物块仍受到三个力的作用，竖直向下的重力、垂直斜面向上的支持力和沿着斜面向上的滑动摩擦力。由于斜面不再固定，当小物块沿斜面下滑的同时，在支持力的反作用力作用下，斜面要后退。如图所示，小物块同时参与了两个方向的分运动：沿斜面的下滑运动、随斜面的后退运动。小物块的合位移s方向仍与重力方向夹锐角，故重力仍做正功；与支持力方向和摩擦力方向均夹钝角，均属阻力，则支持力和摩擦力对小物块都做负功。

由变式一可知，受力不变，位移方向改变，做功即发生相应改变。

如果小物块随斜面一起水平运动，情况又如何呢？

变式二：如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ.现使斜面水平向左以速度v匀速移动距离l，（物体与斜面相对静止），以下说法正确的是（ ？摇？摇）

A.斜面体对物体做的总功是0

B.重力对物体做的功为mgl

C.摩擦力对物体做的功为μmglcosθ

D.斜面对物体的支持力做功的功率为mgvcosθ

【解析】小物体仍受到三个力的作用，竖直向下的重力mg、垂直斜面向上的支持力和沿着斜面向上的静摩擦力，由于物体随斜面处于匀速的平衡状态，则支持力大小为mgcosθ，静摩擦力的大小为mgsinθ。

由于物体相对斜面静止，二者可看成统一的整体，则斜面水平移动位移即物体的位移，即物体的位移是水平的，大小为l。这样，重力方向与位移方向垂直，做功为零，B选项错误；支持力方向与位移方向夹锐角，做正功，大小为mgcosθ·l·cos（90°-θ）=mgl·sinθcosθ=mgl·sin2θ/2。由于运动时间为t=l/v，支持力做功的功率为W■/t=mgv·sin2θ/2，故D选项错误；静摩擦力方向与位移方向夹钝角，做负功，大小为mgsinθ·l·cos（180°-θ）=mgl·sinθ·（-cosθ）=-mgl·sinθ·cosθ=-mgl·sin2θ/2，故C选项也错误。因此，斜面对物体做的总功为支持力与摩擦力做功的总和，即为零，故只有A选项正确。

如果再加一个问，求物体所受合外力做的总功，将三个力做的功加起来，同样是零，也满足物体做匀速运动的条件。

如果二者一起向右匀速运动呢？很显然，物体受力不变，重力方向与位移方向仍夹直角，仍不做功，B选项错误；支持力方向与位移方向夹钝角，做负功，大小为mgcosθ·l·cos（90°+θ）=mgl·sinθ（-cosθ）=-mgl·sin2θ/2。由于运动时间为t=l/v，支持力做功的功率为╪W■╪/t=mgv·sin2θ/2，故D选项错误；静摩擦力方向与位移方向夹锐角，做正功，大小为mgsinθ·l·cosθ=mgl·sinθ·cosθ=mgl·sinθ·cosθ=mgl·sin2θ/2，故C选项也错误。但合外力做功依然为零，依然满足物体做匀速运动的条件。

变式二中的两例都是相对静止绝对平衡的实例，受力不变，也是通过改变位移方向从而改变做功情况的。

变式三：如图所示，自动卸货车始终静止在水平地面上，车厢在液压机的作用下，θ角逐渐增大且货物相对车厢静止的过程中，下列说法正确的是（）

A.货物受到的摩擦力增大

B.货物受到的支持力不变

C.货物受到的支持力对货物做正功

D.货物受到的摩擦力对货物做负功

【解析】由题意可知，相对车厢静止的货物受到三个力的作用，竖直向下的重力mg、垂直斜面向上的支持力和沿着斜面向上的静摩擦力。在θ角逐渐增大的过程中，可认为货物处于动态平衡状态，则支持力大小为N=mgcosθ，静摩擦力的大小为f=mgsinθ。

θ增大时，导致cosθ减小，sinθ增大，则N减小，f增大，故A选项正确，B选项错误。

本题中货物的运动轨迹为圆弧曲线，故其位移方向与瞬时速度方向相同为切线方向。

货物向左上方移动，重力永远做负功；货物受到的支持力的方向与位移方向的夹锐角，做正功，故C选项正确；静摩擦力的方向每时每刻都与速度方向垂直，即与位移方向垂直，不做功，故D选项错误。

可见，这道题主要通过改变斜面的倾角探讨三大性质力做功情况的。注意物体运动轨迹是曲线，位移方向即相应时刻的速度的方向，即切线方向。

不难看出，同是斜面上物体受到的三大性质力——重力、弹力（支持力）、摩擦力，在稍稍改变条件的情况下，致使它们都可以做正功、负功和零功，真可谓一举多得。而弄清正、负、零功的关键，在于首先弄清各力方向与位移方向的夹角。

参考文献：

[1]杜志建.高中常考问题一本全[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2012：114.

[2]李维坦.高中物理解题题典[M].长春：东北师范大学出版社，2008：209-210.

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