利用物理意义推导二重积分的计算公式

杜美华

摘 要： 二重积分化为累次积分是非常重要的公式，本文从实际出发，利用积分的物理意义推导二重积分的计算公式。

关键词： 二重积分 物理意义 公式

在高等数学的教材中，二重积分的实际意义有几何意义和物理意义两种，分别代表是曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，但是传统教材中只是从几何意义出发，给出二重积分的计算公式。在本文中将从物理意义出发，给出直角坐标系下二重积分的计算公式。

假设区域D为X型区域，f（x，y）在区域D内连续，则区域D上二重积分的计算公式为

■f（x，y）dxdy=？蘩■■dx？蘩■■f（x，y）dy（1）

引理：设有一杆粗细可以忽略，占有实数轴上的区间[x■，x■]，其线密度为ρ（x），则此杆的质量为m=？蘩■■ρ（x）dx。

设有一平面薄片占有平面区域D，其面密度为f（x，y），由二重积分的物理意义可知，此薄片的质量为

m=■f（x，y）dxdy（2）

下面推导公式（1）。

？坌x∈[a，b]，过x作平行于y轴的直线，分别交区域D的边界于点A、B，则区域D可以看成是这些平行于y轴的直线段AB的集合，从而平面薄片的质量为所有这些直线段质量的总和，直线段AB上的点横坐标都为x，纵坐标y由φ■（x）到φ■（x），其线密度为f（x，y）（x看作常数），由引理知其质量为

m（x）=？蘩■■ρ（y）dy=？蘩■■f（x，y）dy（3）

另外，将直线段AB投影于x轴，投影点即为x，相应地将直线段AB的质量压缩在点x上，则平面薄片的质量亦即为闭区间[a，b]的质量。由（3）可知，闭区间[a，b]的线密度为m（x），于是闭区间[a，b]的质量为

m=？蘩■■m（x）dx=？蘩■■[？蘩■■f（x，y）dy]dx

=？蘩■■dx？蘩■■f（x，y）dy

由（2）式可知，

■f（x，y）dxdy=？蘩■■dx？蘩■■f（x，y）dy

同理，此方法对Y型区域也成立。

特别的，当f（x，y）=1，（x，y）∈D时，面密度为常数1，此时由公式

m=μ×σ

其中μ为面密度，σ薄片的面积，可知二重积分

■f（x，y）dxdy=■1dxdy=σ

这是和几何意义推导二重积分的计算公式是不相违背的。

用物理意义来推导二重积分的计算公式，能加强对二重积分物理意义的理解，也加强了知识间的内在联系，也让学生理解到二重积分能够解决能用这一类和式的极限■■f（ξ■，η■）△σ■求解的实际的问题。类似的，三重积分利用物理意义，在直角坐标系下将立体分别投影在坐标面上和数轴上，可得“2+1”模式的投影法和“1+2”模式的截面法。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社出版，2007，6.

[2]吴赣昌.高等数学（理工类）[M].北京：中国人民大学出版社，2006，3.