波利亚“思维过程”理论下的数学活动课教学

王裕鑫

美国数学家乔治·波利亚在《数学的发现》第十一章“思维的作用”中，用生动的语言向读者介绍解数学问题的思维过程理论，引导读者理解思维的涵义，体会思维的过程，学习如何思考问题、分析问题、解决问题.

对于学生来说，学会如何思考要比得到简单的数学知识更美妙；而对于教师来说，教会学生方法要比教会学生答案更重要.学习数学的过程，是接受数学思想的过程.教授数学这门课程，是通过对数学问题的学习，展现思维的方式，领悟思维的过程.笔者以“制作无盖的长方体纸盒”为例，谈一谈如何将思维的过程融入数学教学中，让学生在学习中和情感上都有愉悦体验.

《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版数学七年级上册中一课题学习的题目.该课题学习主要考查立体图形的平面展开，逆向思维如何将平面图形折成立体图形，以及逼近的思想.

本节课的重点是：用数学知识解决实际问题需要建模，会用函数式表达变量之间的相依关系；感受数量之间相依变化的状态和趋势。由于七年级的学生还不能应用学过的知识确定体积的最大值，因此让学生应用分割逼近的方法求体积的最大值，体验从特殊到一般的探究过程.

设计教学过程如下。

一、有一个问题

问题是数学的心脏，一个好的问题可以激发学生一连串的猜想.问题的提出要让学生具有解决问题的愿望、干劲和决心.教师可以这样引出话题：我们生活在丰富的图形世界里，生活为我们提供了丰富的素材，元旦快到了，小明和妈妈去商场为奶奶购买新年礼物时，被商场里许多商品精美的包装盒深深吸引了，这些精美的包装盒都可以近似地看成？摇 ？摇？摇？摇（长方体）.如果老师把上面的盖子取走，它就是一个？摇？摇 ？摇？摇（无盖的长方体纸盒）.

设计意图：提出问题，营造舒适、轻松愉快的学习氛围，使学生以积极的学习心态进入课堂.

二、相关性

解题者在解决问题时注意力是选择的，他排斥与题目不相关的事，选择与题目相关的资料，这就是所谓的相关性.对于上面给出的问题，我们不断地引导学生朝着问题的发展方向延伸和思考，如何制作无盖长方形纸盒，我们可以将问题转化为无盖的长方形纸盒的平面展开图是什么，这样一来，我们就找到了同原来问题相关的问题.教师可以这样设计：用剪刀将你事先准备的一个无盖的长方体纸盒剪开，展开成一个平面图形.无盖的长方体纸盒因为剪开棱的方式不同，得到的平面图形不尽相同.反过来，我们将这些平面图形折叠后又能得到无盖的长方体纸盒.那么同学们可以通过展开、折叠解决这个问题.

设计意图：通过动手实践，让学生得出无盖长方体的平面展开图.

三、接近度

在学生做数学题的时候，对于是否正确，大致都会有一个感觉.一道数学题，应该从这个方向着手，应该这样做出辅助条件，学生在心理上会有趋向于正确解法的感觉，这就是解题者与题目之间“心理上的距离”接近度.同样，对有我们上面这个并不难的问题，学生会有解决问题的趋向.这时候，教师只要稍加引導：同学们，用一张正方形纸板如何制作一个无盖的长方体纸盒？基本操作步骤是什么？先思考，再与同学交流.经过学生们发言讨论之后，可以得到基本步骤：一画（先在正方形的4个角画出4个相同的小正方形），二剪（用剪刀剪去这4个小正方形），三折（折叠成一个无盖的长方体纸盒）.

设计意图：教师引导，学生按照自己的体验，归纳出制作无盖长方体的基本步骤.

四、预见

解题者面对问题时，都会适当地猜想，感觉猜想与实际答案的偏离程度，感觉自己的猜想与答案接近，又或者立即就可以做出来了，这和上面我们谈到的相关性和接近度是一样的.教师请同学们根据基本步骤，用一张边长为的正方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒.通过学生们的动手操作，很快有不同的长方形纸盒从同学们的手中展现出来.此时，师：同学们，请你们观察，这几个长方体，有什么发现？生：颜色不同，高矮不同，胖瘦不同，大小不同.师：大小也就是容积，那么它的容积与什么有关系呢？生：长、宽、高.到这里为止，教师已经很好地引导学生预见下面的问题.师：怎样做，长方体的容积最大？

设计意图：学生在简单的动手操作后， 让学生从视觉的角度观察不同的长方体，引导学生思考怎样才能制作出容积最大的无盖长方体纸盒.

五、探索范围

正如小朋友们玩捉迷藏一样，游戏的规则就是要在指定的范围内找到躲藏者.做数学题也是一样，你要寻求的答案也是在一定范围之内，这就需要解题者不断地探索，寻找正确解答.那么我们上面要解决的问题，怎样做，长方体的容积最大？教师进一步地启示：长方体的容积同长方体的长、宽、高有关，那在这里，大正方形的边长为20cm，假如设减去的小正方形边长为，那么，你能用的代数式表示无盖长方体纸盒的容积吗？这里的取值又是在什么范围之内呢？

设计意图：让学生感受纸盒的长、宽、高和原来纸片的边长及剪去的小正方形的边长之间的关系.

六、决断

解决数学问题，像是爬山一样，会有很多不同的曲折蜿蜒的小路，每到转折的时候，都需要解题者做出决断.这个决断不是果断和武断，它是对相关性和接近度的感觉，以及对正解的归属感，这种决断会扩大探索范围，放弃限制，更进一步地向正解迈进.

七、动员与组织

当解题者面临问题的时候，他会搜寻自己的记忆，寻找一切与这个问题相关的定理、材料、辅助资源等.在脑海中筛选，哪些定理是可以用得到的，哪些材料可以成为辅助资源，将这些有用的信息提取出来与问题相结合.这种搜寻我们称为动员，这种将信息同问题相结合的联系，我们称为组织.二者相辅相成，不能分割.针对我们讨论的问题，教师可以这样设计：师：长方体纸盒的容积为V.减去的小正方形边长x，那么怎样表示它的容积？生：V=x（20-2x）■.师：观察这个体积的表达式，回想我们学过的知识，同学们会有什么发现呢？生1：……生2：体积随着减去的小正方形边长的变化而变化.师：说得好，“变化而变化”函数思想.师：你能确定减去小正方形边长是__时，容积就是最大的吗？有可能更大吗？

设计意图：通过教学引导，让学生回想过去学过的函数知识，并体会实际问题转化为数学问题的过程，体会建模的方法.

八、辨认与回忆

在动员组织这个过程中，当我们辨认出一些与问题有关的素材或资料时，回忆起这些素材和资料是否与要解答的问题有关时，往往有豁然开朗的感觉.辨认能够引起我们回忆一些有用的东西，从而把有关的知识动员起来.师：边长x取什么数时，V最大呢？生：……师：请看公式，这里的x是不是任意数？生：不是.师：它有什么限制？生：0

设计意图：体积的大小与小正方形的边长有关，它们之间也是一种函数关系.学生通过回忆过往的知识，对现在的问题提出解决方案.

九、充实与重新配置

在解题的过程中，解题者在头脑中不断的动员一些可利用的因素，这就不断地充实了问题本身.充实让解题的资料更丰富完整，但有的时候也并不需添加什么新的资料，只需将现有的条件重新组合配置，在新的关系下，我们在问题的解决方面依然会得到进展.重新配置相当于重建，重新建造问题的结构，改变问题的重点，从而使解答的方法柳暗花明，更加明了.教师可以将问题的条件更进一步充实，（分组练习一段时间后）师：同学们，你们得出结果了吗？老师已经把结果算出来了.综合你们自己和老师的结果，同学们看一下有什么发现.看下面的表格：

生1：x=3时V最大.师：你还有什么发现？通过刚才的研究，我们发现随着剪去小正方形边长的增大，长方体容积先变大后变小，那么x=3时，容积是最大的吗？（板书x=3时，V=588）

设计意图：让学生通过合作的方式完成大量的计算，增强学生与他人合作的能力.

十、分离与组合

当问题变得复杂时，也会有很多细节不断显露出来，将这些细节分离出来再重新组合，又会得到一个新的整体，这样我们就使用了分离与综合两种手段进行分析问题.以上面的问题为例，教师可以将x=3时体积V=588分离出来，进一步分析：师：x=3时，容积是最大的吗？（板书x=3时，V=588）生：不一定.师：那你估计呢？生：2～3或3～4之間.师：很好，我们继续尝试，那么到底在2～3还是3～4之间呢？我们不如取2.5、3.5时，请同学们用计算器算一下.（板书：x=2.5，x=3，x=3.5时V分别等于多少？）

师：其实我们可以用同样的方法继续尝试下去，实验研究表明，当x=■时，容积最大.（板书：x=■时，V最大）.

设计意图：探究当取什么值时，的值最大，归纳出结论；体会分割逼近的思想；体会探究学习的方法.

十一、回顾与总结

我们重新回顾一下，首先由一个问题引发我们解决问题的期望，在解决问题的过程中，我们要根据与问题相关的资料合理的预见解决问题的方法和道路，当然这也是依赖解题者在心理上对问题答案的接近度决断的.这就需要我们在一定的知识范围内动员脑海中熟悉的条件和资源，辨认哪些定理和知识是我们可以用到的，将其充实到问题中，抑或是将重建问题的条件，使资料更丰富完整.当然当面临比较复杂的问题时，我们也不必慌乱，总会注意到一些细节，将它们分离出来重新组合，又会是一个新的方向，不断推进解题的进行.

接下来，我们回到课堂总结中.

师：老师在电脑上演示一下，容积随x的变大情况.同学们，我们用逼近的方法，探求出x=■时，所制作的无盖长方体的容积最大.本节课，我们通过制作无盖长方体纸盒的活动，从中

经历

的过程.

同学们，通过本节课的学习，你们有什么收获呢？（由学生总结发言）

师：数学源于生活并指导生活，希望同学们学会用数学的眼光看世界，相信同学们一定能用自己灵巧的双手，敏锐的思维，设计出一张美丽的人生名片，包装自己，充实人生！下课！

设计意图：总结本课的知识要点、探究过程中的方法，消除疑惑.

到此，制作无盖长方体纸盒这节活动课就结束了，这节课从提出问题到分析问题，再到解决问题，遵循了思维的规律，按照思维的发展过程，一步一步地将思维的方式方法呈现给学生.学生通过本节课的学习，掌握了两个重要的数学思想，函数思想和分割逼近思想，相信在日后的数学学习过程中会有很大的帮助.教师通过这堂课的教学，更明白“授人以鱼，不如授人以渔”的重要性；思考如何进行思维模式的教学设计，对教师的专业化水平提高有很大的作用.