模糊最优分割法及其在燕山水库汛期水位分期划分中的应用

□李成林（河南省燕山水库管理局）

1 汛期分期特性及其定量描述

随着全球气候条件变化，洪涝灾害和水资源短缺的问题同时并存，而我国北方地区整体上水资源短缺状况日益加剧；同时，随着社会经济的发展，对水库的防洪安全与供水保障提出了更高要求，也使水库防洪与兴利之间的矛盾加剧。在确保水库防洪安全的前提下，科学地设计与运用汛限水位，合理地利用水库防洪与兴利、重叠库容，是发挥水库综合利用效益，缓解我国水资源紧缺与防洪减灾矛盾的有效手段之一。釆用科学方法，对汛期进行合理划分，则是实施汛限水位动态控制的必要前提。

汛期分期从数学角度分析，实质是一个时间样本序列的聚类分析问题。所谓聚类是指按照某种相似性原则将研究对象归入相应的类。这种相似性原则在数学上常用的是“距离最小原则”，在数理统计上则表示两序列拟合误差最小。常用的聚类分析法包括:模糊聚类法、动态聚类法、变点分析法和最优分割法等。

汛期分期的定量描述如下：

以汛期作为论域X，水库汛期内时段t(日或旬）内统计因子作为变量，表示为Xt=X1,X2,…Xn,结合研究对象具体情况，优选m个指标（降雨、径流、洪峰、时段洪量等）用以表征汛期洪水特性，假设对象Xi的第k(k=1，2，…，m)个指标的特征值为xik,则Xi可以用这m个指标特征值来描述，记为Xi=(Xi1，Xi2，…，Xim)(i=1,2,…n)。按照聚类分析基本原理，将所有对象Xt划分为 k 类(k=2,3,…，n-1)：{Xi1,Xi1+1,…，Xi2-1,}{Xi2,Xi2+1,…，Xi3-1,}，…，{Xik,Xik+1,…，Xn,}，对应的时段子集即为汛期的各个分期。

2 最优分割法

最优分割法是对有序样本进行分类的一种统计方法。作为一种传统的线性分类方法，已经在气象统计预报、水文周期划分、工业产品检测、病情诊断分析等许多方面得到了成功的应用。该方法用来分类的基本依据是样本的离差平方和最小，而进行分割的原则是：使得各段（类）内部样本之间差异最小，而各段（类）之间的差异最大。具体过程如下：

对于n个有序样本，釆用m个指标描述样本特性，特征值为x1,x2，…，xn(每个是m维向量)。假定某一分类为xi,xi+1,…，xj(j＞i)，其均值向量及直径为:

直径公式含义表示该分类内部的差异情况，直径越大，差异越大。

若将n个有序样本分成k类，某一分法为：

F(n,k):［i1,i1+1,…，i2-1］,［i2,i2+1,…，i3-1］,…，［ik,ik+1,…，n］

其中，l=i1＜i2＜…＜ik≤n。

定义该分法的误差函数为：

当n和k固定时，E[F(n,k)]越小，表示各类的直径和越小，分类就越合理。寻求到E[F(n,k)]的最小值E[F*(n,k)]后，通过绘制[F*(n,k)]～k相关曲线，从曲线拐点处的k值确定最优分类数。

3 实例应用

釆用最优分割法，对燕山水库汛期进行分期设计计算。燕山水库总库容9.25亿m3,属大（2）型工程，工程等级为二等，主要建筑物为2级，釆用500年一遇洪水设计、5000年一遇洪水校核。水库控制流域面积1169 km2，多年平均径流量3.64亿m3。根据流域规划的要求，燕山水库的开发任务是以防洪为主，结合供水、灌溉，兼顾发电等综合利用。

3.1 指标选择

相比洪峰，时段洪量在汛限水位动态控制中起主要作用。选择能反映流域暴雨洪水时程分布规律的降雨和径流作为汛期分期的指标，其中降雨指标反映了气象因素影响，径流指标则是降雨与下垫面等多种因素综合作用的反映。基于以上分析，根据燕山水库的基本资料，具体选取了6个指标：旬暴雨日数、旬面平均雨量、旬最大1日面平均雨量、旬最大3日面平均雨量、旬最大7日面平均雨量以及旬入库水量，其特征值见表1。

表1 燕山水库汛期分期指标特征值表

本次所釆用暴雨及降雨资料为枢纽建成后自2006年至2013年流域各站点记录的逐日降雨量，通过点面雨量分析获得，应用流域金汤寨、小史店、治平、独树和官寨站5个典型站点，通过加权平均获得流域面平均降雨量。五站点面积权重见表2。

表2 各雨量站面积权重表

3.2 指标特征值的一致无量纲化

由于各个指标的物理量量纲不同，在进行分期时首先要消除量纲的影响。为此，对各指标的特征值进行一致无量纲化处理：

式中：n为样本个数；m为指标个数，xik为指标特征值；xik'为一致无量纲化的指标特征值；xmaxk和xmink分别为第k个指标中xik的最大和最小值。

3.3 燕山水库分期计算与设计

利用上述6个指标，按照最优分割法的计算步骤，计算出分类数k为2～11的所有分类结果，见表3。

表3 最优分割法分类结果表

注：分类结果中的数字1～12分别代表汛期12个旬

做最小误差函数E［F*（n,k）］～k相关曲线，如图1所示。从中可以看出曲线在分类数为3时有一明显拐点，该点之后趋向平缓，因此确定燕山水库的汛期分3期为最优，分期结果为：6月上旬～6月中旬为前汛期；6月下旬～8月下旬为主汛期；9月上旬～9月下旬为后汛期。

图1 最小误差函数E［F*（n,k）］值随分类数k变化曲线图

4 结论

根据燕山水库的基本资料，选取了：旬暴雨日数、旬面平均雨量、旬最大1日面平均雨量、旬最大3日面平均雨量、旬最大7日面平均雨量以及旬入库水量等6个指标，釆用最优分割法，构建了燕山水库汛期划分计算模型，对燕山水库汛期进行了划分：前汛期6月1日至6月20日，主汛期6月20日至8月31日，后汛期9月1日至9月末。因此，本次分期划分成果与初步设计报告成果基本一致，主汛由8月中旬延迟至8月下旬，增加前汛期分期。