试析复函数与一元实函数的不同点

霍凤茹

摘 要： 复变函数是数学分析的后继课.复变函数是实函数的后继与延伸，二者在某些概念、结论上既有区别又有联系.因此为了更清楚、明确二者的不同之处，本文对实函数与复函数的定义、性质等内容进行了分析比较，指出了它们的不同之处及相似之处，为更好地学习、理解复函数提供帮助.

关键词： 复变函数 极限 导数

复变函数是实函数的后继与延伸，二者在某些概念、结论上既有区别又有联系.有关实函数的一些概念与性质，很多都是可以直接推广到复变函数上来.但二者又有很多不同之处，下面将从不同的方面对实函数与复函数做出比较，为今后更好地学习、理解复函数提供帮助.

一、一元实函数与复函数的极限

实函数与复函數的导数定义在形式上相同，其实质上却有很大的区别.因为实函数只沿着实轴逼近零，但是复函数则沿着复平面上的任一曲线逼近零，所以复函数可导的要求比实函数可导的要求较严格.复函数在一点可导的定义与一元实函数在一点可导的定义看似相似，都是用因变量的变化与自变量的变化之比的极限给出的.但是极限的存在应与自变量增量趋于0的方式无关，在这一点上对f（z）的要求比对f（x）的要求严格得多.因为显然，两者实部相等，但虚部取值却不相同.

（4）Lnz的定义域为除零之外的全体复数，而lnx的定义域是x>0.

以上通过比较实函数和复函数的某些定义与性质，发现了它们之间的区别和联系，从而加深对实函数和复函数的理解，使学生在今后的学习过程中达到事半功倍的效果.

参考文献：

[1]钟玉泉.复变函数论[M].第三版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]卢彦鸣.复变函数[M].北京：化学工业出版社，2010.