求一个典型的交错级数的和

朱双荣

摘 要： 本文先构造幂级数求其和函数或将给定函数展开成傅立叶级数，再在收敛域内给自变量取适当的值以得到数项级数的和.

关键词： 交错级数 幂级数 傅立叶级数 和函数

数项级数的求和是学生学习的一个难点，碰到这类题目时，除了有少数数项级数的和可以根据定义求部分和数列的极限得到以外，大部分数项级数的求和要通过其他途径得到，比如通过一个幂级数的和函数或者某一个函数的傅立叶级数展开式在它们的收敛域内取某个特定的值时对应得到.下面求一个典型的交错级数■（-1）■■的和.

根据莱布尼兹判别法易知，交错级数

■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...

是收敛的，那么其和是多少呢？它的和通过定义求部分和数列的极限是无法得到的，以下从不同的角度考虑其和的求法.

解法1：构造一个幂级数

令S（x）=x-■x■+■x■-■x■+...+（-1）■■x■+...

可以求得该幂级数的收敛域为（-1，+1]，下面来求该幂级数的和函数S（x）.

逐项求导得 S′（x）=1-x■+x■-x■+...+（-1）■x■+...=■，

所以S（x）=？蘩■■■dx=arctanx，

即arctanx=x-■x■+■x■-■x■+...+（-1）■■x■+...，

将x=1代入上式得arctan1=■=1-■+■-■+...+（-1）■■+....

即交錯级数■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...的和为■.

解法2：写出给定函数的傅立叶级数展开式

（1）设f（x）是以2π为周期的函数，它在[0，2π]上的表示式为f（x）=■，将f（x）展开为傅立叶级数.

由于傅立叶系数为

a■=■？蘩■■■dx=■[πx-■]■■=0；

a■=■？蘩■■■cosnxdx=■[■sinnx-■cosnx]■■=0（n=1，2，3，...）；

b■=■？蘩■■■sinnxdx=■[-■cosnx-■sinnx]■■=■（n=1，2，3，...）.

因此，

f（x）=■=sinx+■+■+...+■+...

其中且x∈（-∞，+∞），且x≠2kπ，k=0，±1，±2，±3...

在展开式中令x=■，即得

■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...=■.

（2）已知锯齿波函数f（x）是以2π为周期的周期函数，且 f（x）=x，（-π≤x<π），将其展开成傅立叶级数.

易知f（x）为奇函数，所以其傅立叶级数为正弦级数，且

a■=0（n=0，1，2，...）；

b■=■？蘩■■f（x）sinnxdx=■？蘩■■xsinnxdx

=■[-■xcosnx+■sinnx]■■

=-■cosnπ=（-1）■■（n=1，2，3，...）

因此f（x）的傅立叶级数展开式为

f（x）=x=2[sinx-■sin2x+■sin3x-■sin4x+...+（-1）■■sinnx+...]，

其中x∈（-∞，+∞），且x≠（2k+1）π，k=0，±1，±2，...

在展开式中取x=■，得■=2[1-■+■-■+...+（-1）■■+...]，

从而■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...=■.

解法3：考虑复数域内的幂级数及复数相等的条件

先看两个结论：（1）lnz=ln（|z|e■=ln|z|）+iargz[1]；

（2）■■=ln■[2]，其中z=e■.

注意到■■=ln■，其中z=e■，

而■■=■■+i■■；

ln■=-ln（1-cosx-isinx）

=-■ln（2-2cosx）+iarctan■

=-ln|2sin■|+iarctan■.

根据复数相等的条件有

■■=arctan■

=arctan（cot■）

=arctan（tan■）

=■，（0

在上式中令x=■，有■■sin■=■，即

■（-1）■■=1-■+■-■+...+（-1）■■+...=■.

参考文献：

[1]费定晖，周学圣.数学分析习题解[M].济南：山东科学技术出版社.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2001.