浅谈导数在实际生活中的应用

黄绍东

(河南工业和信息化职业学院，河南 焦作 454000)

导数知识是学习高等数学的基础，它在自然科学、工程技术及日常生活等方面都有着广泛的应用。导数是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用，而且在工农业生产及日常生活中也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“利润最大”“效率最高”等优化问题．这类问题在数学上就是最大值，最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决．今天我们就导数在实际生活中的应用简单探讨如下。

1．导数与函数的极值，最值

1．1 函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能不存在。

1．2 函数y=f(x)在x0点处可导，则f＇(x0)=0是x0是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也可能是极值点。

1．3 最大值，最小值是函数对整个定义域而言的，是在整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念。函数的最大值，最小值最多各有一个，函数的最值在极值点或者区间端点处取得。

2利用导数解决实际问题的方法与步骤

2．1 首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。其次，建立相应的数学模型，将应用问题转化为数学问题，再求解。这里涉及到建立目标函数，一定要注意确定函数的定义域，在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f＇(x0)=0的情形，如果函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值，这里所说的也适用于开区间或无穷区间。

2．2 求最大(小)值应用题的一般方法

首先，分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。其次，确定函数的定义域，并求出极值点。最后，比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点。

3导数在实际生活中的应用

根据实际意义建立好目标函数，体会导数在实际问题中的应用。

3．1 导数在生产利润问题中的应用

例1现要生产某种洗衣机，若已知该洗衣机的售价为ρ元，年需求量为q台则其成本函数为c(q)=3．9×103q+7×106，经过市场研究发现，这种洗衣机年需求量q=3．2×105－40ρ，那么销售量及售价为多少时利润最大。

解:由题意知q=3．2×105－40ρ，则ρ=8×103－0．025q

设总的利润函数为L，总的收入函数为R

所以若销售量为q，则销售函数为

对(1)式求导

L＇(q)=4．1×103－0．05q

令L＇(q)=0求得q=8．2×104是函数的唯一驻点，所以q=8．2×104是利润函数L(q)的极大值点，也是最大值点，当q=8．2×104时，最大利润为

L(q)=4．1×103×8．2×104－0．025×(8．2×104)2－7×106=2．201×108

售价为ρ=8×103－0．025×8．2×104=5950

则销售量为8．2×104，售价为5950时利润最大。

3．2 导数在资源的合理利用中的应用

例2某宾馆有60间客房，已知每间客房每天100元将全部租出，所租房间店主每天支付10元水电费，若每间房每天多收10元，则有一间房间不能租出，试求每天租金定位多少，才能使店主所获利润最大?

解 设每间房每天租金为x元，则成本函数为

令L＇(x)=0解得x=355所以x=355是函数的驻点，也是函数的最大值点，当时，最大利润为

所以当租金为355元时所获利润最大。

3．3 导数在器具制造中的应用

例3在边长为60cm的正方形铁皮的四角上切去相等的正方形，然后把他的四边翻转90°角，焊接成一个无盖的方底箱子，问箱底的边长是多少时箱子的容积最大?最大容积是多少?

分析 可设箱底边长为xcm，然后将容积表示成关于x的函数，再用导数求最值。

解得x=40(x=0舍去)

当时x∈(0，40)时，V＇(x)＞0;

当时x∈(40，60)时，V＇(x)＜0。

因此，x=40是函数V(x)的极大值点，也是最大值点。而V(40)=16000cm3，所以当箱底的边长是40cm时箱子的容积最大，最大容积是16000cm3。

点评 在求面积、容积最大问题时，要充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，再利用导数计算，计算时一定要注意自变量的取值范围。

3．4 导数在变路移址中的应用

例4 河宽akm，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是bkm，今需在A与B之间铺设一条电缆，已知地下电缆的修建费是c万元/km，水下电缆的修建的费用是地下的电缆的修建费的n(n＞1)倍，假设河两岸呈平行直线状，那么应如何铺设电缆方使费用达到最省。

解 设按ADB的路线铺设电缆，依题意，点D在BC段，设CD=xkm，总的施工费用为y万元，依题意

总之，导数作为一种工具，在解决显示生活中的很多问题时使用非常方便，尤其是可以使用导数解决生活中的很多优化组合的问题，这些问题转化为求函数的最值问题，运用导数求解，很大程度上简化了我们的过程，缩短了步骤，起着非常重要的作用。因此，在实际生活中有非常重要的应用。

[1]五年制高等职业教育文化基础课教学用书:数学．苏州大学出版社

[2]周国球．运用导数解题应注意几个方面．中学数学教学，2006(1)

[3]徐妮．中学微积分的教与学研究．湖南师范大学，2008

[4]李秋凤．导数在函数问题中的应用．中国科技信息，2006(3)133－155

[5]华东师范大学数学系．数学分析(上册)．第三版．北京:高等教育出版社，2001．91