包络定理及其应用

陈颂 闫晓芳

摘 要：包络在数学中是一个很基本的概念，在各个学科上都有自己独特的含义。通过讨论包络在数学中的概念，研究和数学联系非常紧密的经济学中包络的应用。

关键词：包络；包络定理；克莱罗方程

包络，形象地说就是许多椭圆形曲线交织，外观看起来是包起来的一样，故名包络。它在数学、物理学、文学、经济学、地质学、传统中医学等上都有自己独特的含义。本文主要讨论包络在数学中的概念，以及和数学联系非常紧密的经济学中的应用。本文共分五个部分，具体如下：

一、包络的概念

在数学上，一族平面直线（或曲线）的“包络”（envelope）是指一条与这族直线（或曲线）中任意一条都相切的曲线。假设这族平面曲线记为F（t，x，y），这里不同的t对应着曲线族中不同的曲线，则包络线上的每一点满足下面的两条方程：

F（t，x，y）=0■（t，x，y）=0

由这两条方程消去t后便可得出包络线的隐式表示。类似地可以定义空间中一族平面（或曲面）的包络。

数学中包络线的例子很多。例如，绣曲线是包络线；直线族（A-s）x+sy=（A-s）（s）（其中A是常数，s是直线族的变量）的包络线为抛物线。

二、包络在几何中的概念

几何中有包络原理（the envelope principle），它的定义为：平面内，以A、B为顶点的一条线段的一侧有若干个点，与A，B相连构成一个凸多边形，则该图形除AB外所有边之和大于AB；

若在该图形之外且在AB同侧有另外若干点与AB构成另一个凸多边形，则此多边形的周长大于上一图形的周长。

利用此原理，可证明一个圆的周长大于其内接凸多边形，小于其外切凸多边形，进而可以不断地缩小π的取值范围。

三、包络在微分方程中的概念

在微分方程中，一阶微分方程的奇解是通解曲线族的包络。例如，在常微分方程克莱罗（Clairaut）方程u=tu′+f（u）′中，两边对t取导数，得：u′=u′+tu′+f′（u′）u″整理得：（t+f′（u′））u″=0

由此可知u″=0或u″=-t.当u″=0时，u=Ct+f（C），称为克莱罗方程的一般解。当u′=-t时，只有一个解，其图像是一般解的图像的包络线。也就是说，克莱罗方程的通解是直线族，而奇解是克莱罗方程的奇积分曲线，对应的是通解的包络。用图形可以非常直观的表示出来，这样也可以更好地理解这一概念。

四、包络在光学中的应用

科学家惠更斯提出了包络面理论，他认为，在波的传播过程中，总可以找到同相位各点的几何位置，这些点的轨迹是一个等相位面，叫做波面（即包络面）。

惠更斯是世界知名物理学家、天文学家、数学家和发明家。他曾提出次波的假设来阐述波的传播现象，创建惠更斯原理。惠更斯原理可表述如下：任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面次波；在以后的任何时刻，所有这些次波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。光的直线传播、反射、折射等都能以此来进行较好的解释。此外，惠更斯原理还可解释晶体的双折射现象。

起初惠更斯原理是比较简单的，用它只能解释波绕过障碍物的非直线传播，而不能解释衍射现象产生的明暗条纹。菲涅耳在惠更斯原理的基础上，补充了描述次波的基本特征——位相和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干叠加”的原理，从而发展成为惠更斯—菲涅耳原理。

菲涅耳以惠更斯原理和干涉原理为基础，用新的定量形式建立了惠更斯—菲涅耳原理，完善了光的衍射理论。由于他在物理光学研究中的重大成就，被誉为“物理光学的缔造者”。

五、包络在经济学中的应用

包络在经济学上指的是每条包络线上，在连续变化的每一个产量水平上，都存在着长期成本LTC曲线和一条短期成本STC曲线的相切点。

经济上的包络定理考虑含参量a的函数f（x，a）的无条件极值问题（x是内生变量，a是外生变量），显然，其最优解V是参量a的函数，即V（a）。

包络定理指出：V对a的导数等于f对a的偏导数（注意是f对“a所在位”变量的偏导数）。

包络定理主要用于比较静态分析。比如，价格P1变化对效用最大值的边际影响，包络定理，求拉格朗日方程对P1的偏导就能得到，其结果是-X1*λ，其中X1是需求量，λ是拉格朗日乘子。

这里注意，事实上λ和X1也都是价格的函数。但包络定理的结论是，在求偏导的时候不用考虑这一点。

参考文献：

[1]陈维桓.微分几何[M].北京大学出版社，2006.

[2]Eugene Siberberg，Wing Suen.The Siructure of Ecinomics[M].北京：清华大学出版社，2003.

作者简介：陈颂，女，1985年7月出生，硕士，就职于河南省永城市永城职业学院，研究方向：数学教学。

闫晓芳，女，1980年5月出生，硕士，就职于河南省永城市永城职业学院，研究方向：数学教学。