货币账户带时滞的期权定价

张国辉　李葛　李龙

摘要在股票价格过程和货币市场账户均受时滞影响时，利用无风险对冲原理和鞅定价原理，得到了标准欧式期权的价格公式.研究表明，时滞对期权价格公式有明显的影响.

关键词期权；时滞；鞅定价原理；Girsanov定理；无风险对冲原理

中图分类号F830文献标识码A文章编号10002537（2014）05007605

大量研究表明波动率以一种不确定性的方式依赖于时间，从而使得经典BS公式在预测期权价格的时候不够理想[14]， 此时可以考虑在股票价格过程引入时滞，即过去资产价格对期权定价的影响.Federico等学者研究了时滞对最优停时的影响，这在美式期权定价中有重要运用[5]. Larssen，Federico等学者研究了时滞在随机控制中的应用[67]，Kazmerchuk， Arriojas等学者研究了在时滞影响下的后期权定价问题[89].随后，李，黄 [1012]研究了股票价格过程在分红和时滞影响下对欧式期权定价公式的影响，并得到了关于期权价格的相关结论.国内学者王磊、金治明也对波动率非常数的情形进行了研究[13].但是以上工作都没有讨论货币账户也带有时滞的情形，本文在Arriojas等[9]讨论的股票价格过程具有时滞的理论结构下，做出了进一步的研究.

3结论

本文利用带时滞的随机微分方程理论和鞅定价原理，讨论了股票价格过程和货币市场账户均带有时滞的情形下，标准欧式看涨期权的定价.在一般情形，即不带用时滞的情形下，由看涨看跌期权平价关系，对于标准欧式期权而言，由看跌或看涨期权的价格公式，就能获得另一种期权的定价公式，但是由我们的结论可知，在时滞影响下期权价格公式呈现复杂性，故可以采用类似定理2中的方法对看跌期权进行定价.对于本文的特殊情形，即μs（t-a）=μ（t），g（s（t-b））=σ（t），dM（t）=rM（t）dt时，定价公式恰好是经典BS定价公式.在考虑货币账户具有时滞的情形下，期权定价的一些拓展性问题，比如交换期权定价等，将是未来研究方向.

参考文献：

[1]SHEINKMAN J， LEBARON B. Nonlinear dynamics and stock returns [J].J Business， 1989，62（3）：311337.

[2]LAUTERHACH B， SCHULTZ P. Pricing warrantst： an empirical study of the BlackScholes model and its atternatives[J].J Fin， 1990，45（4）：11811209.

[3]ELSANOUSII I， OKSENDAL B， SULEM A. Some solvable stochastic control problems with delay[J].Stoch Stocha Rep， 2000，71（1/2）：6989.

[4]HOBSON D， ROGERS L C G. Complete models with stochastic volatility[J]. Math Fin，1998，8（1）：2748.

[5]FEDERICO S， KENDAL B K. Optimal stopping of stochastic differential equations with delay driven by lévy noise[J]. Potential Anal， 2011，34（2）：181198.

[6]LARSSEN B. Dynamic programming in stochastic control of systems with delay[J].Stoch Stoch Rep， 2002，74（3/4）：651673.

[7]FEDERICO S， SUPERIORE S N. A stochastic control problem with delay arising in a pension fund model[J]. Fin Stoch， 2011，15（3）：421459.

[8]KAZMERCHUK Y， SWISHCHUK A， WU J. The pricing of option for securities markets with delayed response[J].Math Comput Simul， 2007，75（3/4）：6979.

[9]ARRIOJAS M， HU Y， MOHHAAMMED S E， et al. A delayed black and scholes formula[J].Stoch Anal Appl， 2007，25（2）：471492.

[10]李亚琼， 黄立宏. 红利支付下的具有时滞的股票期权定价[J]. 湖南大学学报：自然科学版， 2009，36（12）：8992.

[11]李亚琼， 黄立宏. 双币种期权与时滞期权定价研究[M]. 长沙：湖南大学出版社， 2011.

[12]李亚琼， 黄立宏. 漂移项和扩散项具有时滞的股票期权定价[J]. 经济数学， 2011，28（1）：1013.

[13]王磊， 金治明. 波动率非常数时一类博弈期权定价[J]. 湖南师范大学自然科学学报， 2009，32（1）：710.

[14]KWOK K Y. Mathematical models of financial derivatives[R]. Singapore： SpringerVerlag，1998：35180.

（编辑胡文杰）

摘要在股票价格过程和货币市场账户均受时滞影响时，利用无风险对冲原理和鞅定价原理，得到了标准欧式期权的价格公式.研究表明，时滞对期权价格公式有明显的影响.

关键词期权；时滞；鞅定价原理；Girsanov定理；无风险对冲原理

中图分类号F830文献标识码A文章编号10002537（2014）05007605

大量研究表明波动率以一种不确定性的方式依赖于时间，从而使得经典BS公式在预测期权价格的时候不够理想[14]， 此时可以考虑在股票价格过程引入时滞，即过去资产价格对期权定价的影响.Federico等学者研究了时滞对最优停时的影响，这在美式期权定价中有重要运用[5]. Larssen，Federico等学者研究了时滞在随机控制中的应用[67]，Kazmerchuk， Arriojas等学者研究了在时滞影响下的后期权定价问题[89].随后，李，黄 [1012]研究了股票价格过程在分红和时滞影响下对欧式期权定价公式的影响，并得到了关于期权价格的相关结论.国内学者王磊、金治明也对波动率非常数的情形进行了研究[13].但是以上工作都没有讨论货币账户也带有时滞的情形，本文在Arriojas等[9]讨论的股票价格过程具有时滞的理论结构下，做出了进一步的研究.

3结论

本文利用带时滞的随机微分方程理论和鞅定价原理，讨论了股票价格过程和货币市场账户均带有时滞的情形下，标准欧式看涨期权的定价.在一般情形，即不带用时滞的情形下，由看涨看跌期权平价关系，对于标准欧式期权而言，由看跌或看涨期权的价格公式，就能获得另一种期权的定价公式，但是由我们的结论可知，在时滞影响下期权价格公式呈现复杂性，故可以采用类似定理2中的方法对看跌期权进行定价.对于本文的特殊情形，即μs（t-a）=μ（t），g（s（t-b））=σ（t），dM（t）=rM（t）dt时，定价公式恰好是经典BS定价公式.在考虑货币账户具有时滞的情形下，期权定价的一些拓展性问题，比如交换期权定价等，将是未来研究方向.

参考文献：

[1]SHEINKMAN J， LEBARON B. Nonlinear dynamics and stock returns [J].J Business， 1989，62（3）：311337.

[2]LAUTERHACH B， SCHULTZ P. Pricing warrantst： an empirical study of the BlackScholes model and its atternatives[J].J Fin， 1990，45（4）：11811209.

[3]ELSANOUSII I， OKSENDAL B， SULEM A. Some solvable stochastic control problems with delay[J].Stoch Stocha Rep， 2000，71（1/2）：6989.

[4]HOBSON D， ROGERS L C G. Complete models with stochastic volatility[J]. Math Fin，1998，8（1）：2748.

[5]FEDERICO S， KENDAL B K. Optimal stopping of stochastic differential equations with delay driven by lévy noise[J]. Potential Anal， 2011，34（2）：181198.

[6]LARSSEN B. Dynamic programming in stochastic control of systems with delay[J].Stoch Stoch Rep， 2002，74（3/4）：651673.

[7]FEDERICO S， SUPERIORE S N. A stochastic control problem with delay arising in a pension fund model[J]. Fin Stoch， 2011，15（3）：421459.

[8]KAZMERCHUK Y， SWISHCHUK A， WU J. The pricing of option for securities markets with delayed response[J].Math Comput Simul， 2007，75（3/4）：6979.

[9]ARRIOJAS M， HU Y， MOHHAAMMED S E， et al. A delayed black and scholes formula[J].Stoch Anal Appl， 2007，25（2）：471492.

[10]李亚琼， 黄立宏. 红利支付下的具有时滞的股票期权定价[J]. 湖南大学学报：自然科学版， 2009，36（12）：8992.

[11]李亚琼， 黄立宏. 双币种期权与时滞期权定价研究[M]. 长沙：湖南大学出版社， 2011.

[12]李亚琼， 黄立宏. 漂移项和扩散项具有时滞的股票期权定价[J]. 经济数学， 2011，28（1）：1013.

[13]王磊， 金治明. 波动率非常数时一类博弈期权定价[J]. 湖南师范大学自然科学学报， 2009，32（1）：710.

[14]KWOK K Y. Mathematical models of financial derivatives[R]. Singapore： SpringerVerlag，1998：35180.

（编辑胡文杰）

摘要在股票价格过程和货币市场账户均受时滞影响时，利用无风险对冲原理和鞅定价原理，得到了标准欧式期权的价格公式.研究表明，时滞对期权价格公式有明显的影响.

关键词期权；时滞；鞅定价原理；Girsanov定理；无风险对冲原理

中图分类号F830文献标识码A文章编号10002537（2014）05007605

大量研究表明波动率以一种不确定性的方式依赖于时间，从而使得经典BS公式在预测期权价格的时候不够理想[14]， 此时可以考虑在股票价格过程引入时滞，即过去资产价格对期权定价的影响.Federico等学者研究了时滞对最优停时的影响，这在美式期权定价中有重要运用[5]. Larssen，Federico等学者研究了时滞在随机控制中的应用[67]，Kazmerchuk， Arriojas等学者研究了在时滞影响下的后期权定价问题[89].随后，李，黄 [1012]研究了股票价格过程在分红和时滞影响下对欧式期权定价公式的影响，并得到了关于期权价格的相关结论.国内学者王磊、金治明也对波动率非常数的情形进行了研究[13].但是以上工作都没有讨论货币账户也带有时滞的情形，本文在Arriojas等[9]讨论的股票价格过程具有时滞的理论结构下，做出了进一步的研究.

3结论

本文利用带时滞的随机微分方程理论和鞅定价原理，讨论了股票价格过程和货币市场账户均带有时滞的情形下，标准欧式看涨期权的定价.在一般情形，即不带用时滞的情形下，由看涨看跌期权平价关系，对于标准欧式期权而言，由看跌或看涨期权的价格公式，就能获得另一种期权的定价公式，但是由我们的结论可知，在时滞影响下期权价格公式呈现复杂性，故可以采用类似定理2中的方法对看跌期权进行定价.对于本文的特殊情形，即μs（t-a）=μ（t），g（s（t-b））=σ（t），dM（t）=rM（t）dt时，定价公式恰好是经典BS定价公式.在考虑货币账户具有时滞的情形下，期权定价的一些拓展性问题，比如交换期权定价等，将是未来研究方向.

参考文献：

[1]SHEINKMAN J， LEBARON B. Nonlinear dynamics and stock returns [J].J Business， 1989，62（3）：311337.

[2]LAUTERHACH B， SCHULTZ P. Pricing warrantst： an empirical study of the BlackScholes model and its atternatives[J].J Fin， 1990，45（4）：11811209.

[3]ELSANOUSII I， OKSENDAL B， SULEM A. Some solvable stochastic control problems with delay[J].Stoch Stocha Rep， 2000，71（1/2）：6989.

[4]HOBSON D， ROGERS L C G. Complete models with stochastic volatility[J]. Math Fin，1998，8（1）：2748.

[5]FEDERICO S， KENDAL B K. Optimal stopping of stochastic differential equations with delay driven by lévy noise[J]. Potential Anal， 2011，34（2）：181198.

[6]LARSSEN B. Dynamic programming in stochastic control of systems with delay[J].Stoch Stoch Rep， 2002，74（3/4）：651673.

[7]FEDERICO S， SUPERIORE S N. A stochastic control problem with delay arising in a pension fund model[J]. Fin Stoch， 2011，15（3）：421459.

[8]KAZMERCHUK Y， SWISHCHUK A， WU J. The pricing of option for securities markets with delayed response[J].Math Comput Simul， 2007，75（3/4）：6979.

[9]ARRIOJAS M， HU Y， MOHHAAMMED S E， et al. A delayed black and scholes formula[J].Stoch Anal Appl， 2007，25（2）：471492.

[10]李亚琼， 黄立宏. 红利支付下的具有时滞的股票期权定价[J]. 湖南大学学报：自然科学版， 2009，36（12）：8992.

[11]李亚琼， 黄立宏. 双币种期权与时滞期权定价研究[M]. 长沙：湖南大学出版社， 2011.

[12]李亚琼， 黄立宏. 漂移项和扩散项具有时滞的股票期权定价[J]. 经济数学， 2011，28（1）：1013.

[13]王磊， 金治明. 波动率非常数时一类博弈期权定价[J]. 湖南师范大学自然科学学报， 2009，32（1）：710.

[14]KWOK K Y. Mathematical models of financial derivatives[R]. Singapore： SpringerVerlag，1998：35180.

（编辑胡文杰）