时滞切换系统的稳定性研究

赵永驰?仲福建

本文研究时滞线性切换系统满足 性能条件。推导了当 时，给定的条件保证时滞线性切换系统是渐近稳定的；当 时，给定的条件满足时滞线性切换系统满足零初始条件下 性能。最后给出了给出了仿真例子，表明了时滞线性切换系统给出的条件是合理的，同时验证了时滞对切换系统的影响。

在工业控制系统中，因测量、以及采样，而后传输等多重因素出现时滞。一方面，时滞存在会影响控制系统性能。另一方面，具有滞切换系统的有关研究也面临巨大挑战和困难，值得继续深入探讨。时滞问题造成不利系统特性，例如导致系统不稳定。故时滞切换系统在什么情况下是渐近稳定的就有研究的必要。近年来有许多人研究切换系统，研究的成果也很多[1-4]，如确保任意切换稳定所利用的共同Lyapunov函数方法，多Lyapunov函数方法[2，3]，平均驻留时间方法[4，5]等，也对各个方法进行了总结与归纳[6，7]，提出了切换系统发展的新方向。Zmaes提出的控制理论使系统具有鲁棒性条件，使鲁棒控制得到了发展。当确保切换系统稳定时，也将干扰对系统的影响抑制在可控水平之下，利用切换Lyapunov函数方法和切换与脉冲奇异系统的解，其控制问题被推广到H无穷控制理论，同时在延迟系统问题方面也有研究，例如研究了具有H无穷保性能的网络切换时延系统， 设计动态输出反馈控制在扰动衰减水平可控下以确保闭环时延系统渐近稳定。*表示对称矩阵对应部分。

一、 问题描述

考虑线性时间系统：

（1）

其中是状态向量，是系统被调输出，是一个q维扰动输入，属于。是滞后时间，满足和；，；，，，，是分段常数函数。

在本文中研究时滞切换系统满足问题，确保如下条件：

（1）当时，时滞切换系统（1）是渐近稳定的；

（2）令扰动，在零初始条件下，有标量，信号z偏差符合如下要求：

（2）

二、时滞切换系统稳定性分析

在该节中针对时滞切换系统（1），研究时滞切换系统要符合 条件问题。

定理1 针对时滞切换系统（1），若存在矩阵和，，，，，，使得下面线性矩阵不等式成立

（3）

并且正定矩阵有如下关系：

（4）

平均驻留时间满足如下条件：

（5）

故时滞切换系统（1）符合性能指标。

证明：假定第i个子系统在区间运行，且定义如下李雅普诺夫Krasovskii函数：

（6）

首先证明当时，时滞切换系统符合条件（3）的渐近稳定。

导数，根据时滞切换系统的轨迹，能得到：（7）

求的导数：

（8）

依据（7）-（8）推导：

（9）

根据公式（3），删除系统被调输出及外部扰动部分，得到：

（10）

把（10）代入（9），可以得到：

（11）

让表示系统切换时间左极限，表示在切换之前瞬间，通过（4）和（11），获得切换系统从第i子系统切换到第j个子系统情形，推导如下：

（12）

依据切换系统切换规则，当，有如下推导：

（13）

又根据切换系统的切换序列有如下推导：

（14）

又由（5）有如下推导：

（15）

令，则根据（15）和（5）两式，推导出如下：

（16）

其中是常数

从上看出，随时间t逐渐减小，满足条件（3）、（4）和（5）的时滞切换系统是渐近稳定的。

下面考虑当时，时滞切换系统具有 性能指标，令：

（17）

从零初始条件开始，可以获得如下：

（18）

继而有如下推导：

（19）

又由可以得到：

（20）

其中：

综合（9）和（20）两式，可以推导如下：

（21）

把（21）代入（19），可以得到：

（22）

公式（3）利用Schur补性质得到：

（23）

把（23）代入（22），可以得到如下推导：

（24）

把（24）代入（18），可以得到如下推导：

（25）

把（25）代入（17），可以得到如下推导：

因此当时，时滞切换系统具有 性能指标，定理得到证明。

假如，时滞切换系统具有共同的Lyapunov函数，当且仅当，时滞切换系统的各子系统均是稳定的，则在任意切换信号下时滞切换系统是指数渐近稳定。

三、仿真分析

例1.考虑线性时滞切换系统（1）有2个子系统，其中参数分别为：

，，，，，，，，，，，，令，，， w（t）=（ sin（t） sin（t） sin（t））T，。

根据定理1，求出和； 和。

切换规则是单数秒激活第一个子系统，双数秒激活第二子系统，第一、二系统时滞依切换规则依次为=0.5，0.7，1.2，1.5，2，初值为（1；0.8；0.9），得到误差切换系统的仿真图形1所示。图1体现了切换系统是渐近稳定的，总体表明切换系统满足 性能指标，表明了定理1的有效性。

又当=2，3，4，5，得到如圖2仿真图形。可看出，时滞时间的增加，时滞切换系统的稳定性收敛有所放缓，表明了时滞对切换系统的影响。

四、结语

本文对时滞线性切换系统进行研究，给出的条件保证了当 时，系统是渐近稳定的；当 时，时滞切换系统满足 性能。最后给出了仿真案例表明了系统给出条件有效性。同时从给出的图形可以看出：时滞时间的增大，导致系统收敛到零有所延缓。 （作者单位为绵阳师范学院信息工程学院）

基金项目：四川省教育厅基金 （No.17ZB0212，16ZB0312）和绵阳师范学院基金（No.QN-2016-A05）。