记一堂数学探究性学习课

张健

摘 要： 作者在对高一复习时（当时已经学习了人教版必修1全部内容和必修4“三角函数”部分内容），和学生一起学习了函数的凹凸性.本节课由课本中一道习题出发，学生运用自身已学知识，在教师引导下，一步一步探究出函数的凹凸性，了解了凹凸函数的概念，掌握并有效利用了该性质.在探究过程中，可谓“步步惊心，步步受益”.最后，师生共同收获了自信、成功和快乐.

关键词： 探究性学习课 凹凸性 自主学习

《课程标准》指出，数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.“探究式”是一种全新的数学课堂教学模式，与布鲁诺的“发现式”教学法在本质上是一致的.叶澜教授在“中国基础教育改革跨世纪思考”中倡导：必须超出和突破“教学特殊认识论”的传统框架.重新全面地认识课堂教学，构造新的课堂教学观.这就要求教师在教学中，充分挖掘例题习题的“可探究元素”，让学生借助原有的知识经验，感悟数学问题产生的原因，以及解决问题的方法.

下面这个案例是笔者的教学实录.

一、追本溯源，初探凹凸函数的概念

师：请同学们完成课本（人教版第45页）第5题.

教师巡视查看学生做题方法，发现绝大多数都是用代数方法证明，也看到有些同学在那里画图思考.

师：同学们完成得又快又好，请大家想一想，从几何视角，为什么会产生这种不等式，你还能举出一些具体例子吗？

（表扬永远是最好的鼓励方式，抛出问题，先从具体例子开始，由具体到抽象，从特殊到一般的数学研究方法.）

众生画图，思考.

生1：y=x.

大家齐笑，觉得这个太简单，就是刚才的y=g（x）特例.

师：其实是一很好的个例子，它最简单，又是二次函数的代表.

看到一个同学要发言，立即示意他发言.

生2：不等式的两边分别表示两个自变量函数值的均值和两个自变量均值的函数值.

师：有点拗口了，说得很好，是算术平均值.

生2：对，从图像上看，只要函数图像时曲线，就会产生不等式.

师：非常棒，一语道破天机.

生2一直是班上比较能发现问题的学生，此时他很激动，拉开了全班同学的思绪.

生3：那函数可多了，我们高中学的函数都是的.

生4：比如y=，y=x.

生5：例如y=sinx，y=2.

生6：还有y=lgx，y=lnx.

生7：大家举的例子很多，但是不等式的方向是不一样的.

师：大家讨论得很好.

生8：那还要注意函数图像不能连续波动，也就是所讨论的区间内，图像不能连续波动.

师：完美补充.

师：下面给出凹凸函数的定义.

师：下面再看看凹凸函数的图像特征：

生9：由图像可知，下凸函数在其定义域中任意两点x，x之间曲线位于相应弦AB的下方，而上凸函数在其定义域中任意两点x，x之间曲线位于相应弦AB的上方.

师：这是从形状特征的几何解释，大家再从图像切线斜率特征方面看看？

生10：下凸函数在其定义域里作曲线切线，随x增大切线斜率增大；而上凸函数在其定义域里作曲线切线，随x增大切线斜率减小.

师：回答得很好，我们也画出图像.

师：犹如我们平时爬上坡，下凸函数是越来越难爬，坡度越来越陡；而上凸函数是越来越容易爬了，坡度越来越平缓.

通过教师的引导，大家踊跃参与，由一道习题发散出我们所要研究的性质，通过同学们的探究，初步了解了凹凸函数的定义和图像特征.通过学生自己所见所识，发现问题的规律性，更能深刻把握问题的关键.

师：好的，定义了凹凸函数，你还能再挖掘一下它的性质吗？

生：明露难色.

师：比如前面学习过“增函数+增函数=增函数”，或者从图像变换方面……

生11：上凸函数+上凸函数=上凸函数.

生12：下凸函数+下凸函数=下凸函数.

生13：要求在同一定义域内.

师：是的.

生14：函数y=f（x）与函数y=-f（x）的凹凸性相反.

师：很好，完善下表述.

生15：若函数y=f（x）在区间D上为上凸函数，则函数y=-f（x）在区间D上为下凸函数，反之也成立.

师：与函数单调性一样，函数的凹凸性也是函数的局部性质.

师：也正是这个性质呢，有的文献资料上只讨论上凸函数的性质，原因在此.

这一环节，让学生对函数的凹凸性的认识，从刚才的具体实例和图像中解放出来，对该性质有了更深刻的理解.通过教师引导，学生类比出相应性质，也反映出学生具有举一反三、触类旁通的能力.只要引导合理，就能激活学生思维，探究出“步步精彩”.

二、函数凹凸性概念的进一步延伸

师：刚才我们完成了阶段性的胜利（学生此时露出欣慰的笑容），下面继续探讨.

师：若函数y=f（x）在区间D上为下凸函数（例如f（x）=x），则在D上任意取x，x，x，是否有相应的不等式呢，即自变量增加到三个.

生16：应该有不等式f（）≤.

生17：经验算，函数f（x）=x满足该不等式.

猜想，是发现数学真理很重要的方法.猜想，也需要很大勇气，是通过类比，推理再加上大胆的假设，是一个高强度的思维过程，并且需要一个强大的内心.

这种推广，就像是一个新的产品，如果有一个人认可了，接着就有第二个，第三个，然后更多……

师：能否继续增加自变量呢？endprint

生18：当然，若函数y=f（x）在区间D上为下凸函数，在D上任意取x，x，x，x，有

f（）≤.

生19：要推广到n个自变量了呢.

生20：若函数y=f（x）在区间D上为下凸函数，在D上任意取n个自变量，x，x，…x，有

f（）≤.

师：大家推广得很好，上凸函数有类似结论.

师：对于凹凸函数的一般定义，大家课下可参考一下资料，下面我们就要用性质了.

三、从做题一小步到出题一大步的能力提高

师：请大家尝试证明下列不等式：

生：（1）可设f（x）=x，证明略.

（2）可设f（x）=x，证明略.

（3）可设f（x）=|x|，证明略.

（4）可设f（x）=2，证明略.

师：同学们出色地完成了习题，下面请根据凹凸函数的定义和性质，自己编题.

生21：已知x，y∈R，求证：lg≥或者变形为lg（x+y）≥lg2+.

生22：已知a，b∈R，求证：≥.

生23：已知α，β∈（0，π），求证：sin≥.

生24：已知a，b∈R，求证：≥.

生25：已知a，b∈R，求证：a+b+≤a++b+

（可设f（x）=x+（x>0））.

师：太好了，我们同学们对凹凸函数性质的理解更进一步了，并且能把已学的基本初等函数很好运用在这里，实在是太好了.

学生通过对刚才例题解答，凹凸函数性质的理解，能够很好地把例题中的几个基本初等函数置换成其他的基本初等函数，构成不等式，并且有的还做了变形，体现学生活学活用、灵活变换的能力，也让学生在寓学于乐的学习氛围之中在教师的提醒、点拨下，做得更出色.

师：同学们能不能再构造出新颖的、特别的不等式？可考虑用前面探讨出的性质.

生26：已知f（x）=-x+cosx，设x，x∈（-，），求证：f（）≥.

师：这个不等式构造得好，哪个来说说？

生27：这个不等式利用了刚才我们探究出来的性质，可设p（x）=-x，q（x）=cosx在（-，）均为下凸函数，其和也为下凸函数，所以有不等式成立.

师：嗯，说得好.我再来看看我们大家写的.

生28：已知x，y，z∈R，求证：≤（++）（可设f（x）=）.

生29：已知A，B，C为锐角，求证：tan≤（可设f（x）=tanx）.

生30：已知a，a，…，a∈R，求证：tan≥（可设f（x）=lnx）.

师：大家已经能够把自变量推广到三个以上了.

此时已经下课了，可大家仍在构造中……

对于函数的凹凸性学习，可让学生课下查阅相关资料，看看更一般的定义，以及相关证明方法和其他方面的应用，让这种探究从课堂上延续到课堂外，让这种探究精神培养起来，坚持下去.《课程标准》鼓励学生进行数学探究活动，所以只要教师坚持“以科学探究为课程改革的突破口”的理念，就能在数学课堂教学中引导学生通过探究的方法学习知识，从而真正实现对学生探究能力的培养，也有助于培养学生的学习兴趣和创新能力.

参考文献：

[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.

[2]普通高中课程标准实验教科书数学必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]陈光立.新课程高中教师手册·数学[M].南京：南京大学出版社，2012.

[4]沈红霞.探究能力培养例说.数学通报[J].2011，VOL50（10）.

[5]王奇南.让课堂教学焕发出生命活力——一道习题探究教学案例[J].中学数学教学参考，2013（7）.endprint

生18：当然，若函数y=f（x）在区间D上为下凸函数，在D上任意取x，x，x，x，有

f（）≤.

生19：要推广到n个自变量了呢.

生20：若函数y=f（x）在区间D上为下凸函数，在D上任意取n个自变量，x，x，…x，有

f（）≤.

师：大家推广得很好，上凸函数有类似结论.

师：对于凹凸函数的一般定义，大家课下可参考一下资料，下面我们就要用性质了.

三、从做题一小步到出题一大步的能力提高

师：请大家尝试证明下列不等式：

生：（1）可设f（x）=x，证明略.

（2）可设f（x）=x，证明略.

（3）可设f（x）=|x|，证明略.

（4）可设f（x）=2，证明略.

师：同学们出色地完成了习题，下面请根据凹凸函数的定义和性质，自己编题.

生21：已知x，y∈R，求证：lg≥或者变形为lg（x+y）≥lg2+.

生22：已知a，b∈R，求证：≥.

生23：已知α，β∈（0，π），求证：sin≥.

生24：已知a，b∈R，求证：≥.

生25：已知a，b∈R，求证：a+b+≤a++b+

（可设f（x）=x+（x>0））.

师：太好了，我们同学们对凹凸函数性质的理解更进一步了，并且能把已学的基本初等函数很好运用在这里，实在是太好了.

学生通过对刚才例题解答，凹凸函数性质的理解，能够很好地把例题中的几个基本初等函数置换成其他的基本初等函数，构成不等式，并且有的还做了变形，体现学生活学活用、灵活变换的能力，也让学生在寓学于乐的学习氛围之中在教师的提醒、点拨下，做得更出色.

师：同学们能不能再构造出新颖的、特别的不等式？可考虑用前面探讨出的性质.

生26：已知f（x）=-x+cosx，设x，x∈（-，），求证：f（）≥.

师：这个不等式构造得好，哪个来说说？

生27：这个不等式利用了刚才我们探究出来的性质，可设p（x）=-x，q（x）=cosx在（-，）均为下凸函数，其和也为下凸函数，所以有不等式成立.

师：嗯，说得好.我再来看看我们大家写的.

生28：已知x，y，z∈R，求证：≤（++）（可设f（x）=）.

生29：已知A，B，C为锐角，求证：tan≤（可设f（x）=tanx）.

生30：已知a，a，…，a∈R，求证：tan≥（可设f（x）=lnx）.

师：大家已经能够把自变量推广到三个以上了.

此时已经下课了，可大家仍在构造中……

对于函数的凹凸性学习，可让学生课下查阅相关资料，看看更一般的定义，以及相关证明方法和其他方面的应用，让这种探究从课堂上延续到课堂外，让这种探究精神培养起来，坚持下去.《课程标准》鼓励学生进行数学探究活动，所以只要教师坚持“以科学探究为课程改革的突破口”的理念，就能在数学课堂教学中引导学生通过探究的方法学习知识，从而真正实现对学生探究能力的培养，也有助于培养学生的学习兴趣和创新能力.

参考文献：

[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.

[2]普通高中课程标准实验教科书数学必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]陈光立.新课程高中教师手册·数学[M].南京：南京大学出版社，2012.

[4]沈红霞.探究能力培养例说.数学通报[J].2011，VOL50（10）.

[5]王奇南.让课堂教学焕发出生命活力——一道习题探究教学案例[J].中学数学教学参考，2013（7）.endprint

生18：当然，若函数y=f（x）在区间D上为下凸函数，在D上任意取x，x，x，x，有

f（）≤.

生19：要推广到n个自变量了呢.

生20：若函数y=f（x）在区间D上为下凸函数，在D上任意取n个自变量，x，x，…x，有

f（）≤.

师：大家推广得很好，上凸函数有类似结论.

师：对于凹凸函数的一般定义，大家课下可参考一下资料，下面我们就要用性质了.

三、从做题一小步到出题一大步的能力提高

师：请大家尝试证明下列不等式：

生：（1）可设f（x）=x，证明略.

（2）可设f（x）=x，证明略.

（3）可设f（x）=|x|，证明略.

（4）可设f（x）=2，证明略.

师：同学们出色地完成了习题，下面请根据凹凸函数的定义和性质，自己编题.

生21：已知x，y∈R，求证：lg≥或者变形为lg（x+y）≥lg2+.

生22：已知a，b∈R，求证：≥.

生23：已知α，β∈（0，π），求证：sin≥.

生24：已知a，b∈R，求证：≥.

生25：已知a，b∈R，求证：a+b+≤a++b+

（可设f（x）=x+（x>0））.

师：太好了，我们同学们对凹凸函数性质的理解更进一步了，并且能把已学的基本初等函数很好运用在这里，实在是太好了.

学生通过对刚才例题解答，凹凸函数性质的理解，能够很好地把例题中的几个基本初等函数置换成其他的基本初等函数，构成不等式，并且有的还做了变形，体现学生活学活用、灵活变换的能力，也让学生在寓学于乐的学习氛围之中在教师的提醒、点拨下，做得更出色.

师：同学们能不能再构造出新颖的、特别的不等式？可考虑用前面探讨出的性质.

生26：已知f（x）=-x+cosx，设x，x∈（-，），求证：f（）≥.

师：这个不等式构造得好，哪个来说说？

生27：这个不等式利用了刚才我们探究出来的性质，可设p（x）=-x，q（x）=cosx在（-，）均为下凸函数，其和也为下凸函数，所以有不等式成立.

师：嗯，说得好.我再来看看我们大家写的.

生28：已知x，y，z∈R，求证：≤（++）（可设f（x）=）.

生29：已知A，B，C为锐角，求证：tan≤（可设f（x）=tanx）.

生30：已知a，a，…，a∈R，求证：tan≥（可设f（x）=lnx）.

师：大家已经能够把自变量推广到三个以上了.

此时已经下课了，可大家仍在构造中……

对于函数的凹凸性学习，可让学生课下查阅相关资料，看看更一般的定义，以及相关证明方法和其他方面的应用，让这种探究从课堂上延续到课堂外，让这种探究精神培养起来，坚持下去.《课程标准》鼓励学生进行数学探究活动，所以只要教师坚持“以科学探究为课程改革的突破口”的理念，就能在数学课堂教学中引导学生通过探究的方法学习知识，从而真正实现对学生探究能力的培养，也有助于培养学生的学习兴趣和创新能力.

参考文献：

[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.

[2]普通高中课程标准实验教科书数学必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]陈光立.新课程高中教师手册·数学[M].南京：南京大学出版社，2012.

[4]沈红霞.探究能力培养例说.数学通报[J].2011，VOL50（10）.

[5]王奇南.让课堂教学焕发出生命活力——一道习题探究教学案例[J].中学数学教学参考，2013（7）.endprint