一维无限深势阱的波函数

2014-11-10 10:47贾晶

晋中学院学报 2014年3期

贾晶

（山西大学物理电子工程学院，山西太原 030000）

一维无限深方势阱中束缚态作为量子力学最基本的问题，大部分的量子力学书中都有讲述[1～2].由于它是可以求得解析解的为数不多的例子之一，所以研究它的状态对于掌握量子力学的基本概念和处理问题的方法都有帮助，所以近年来仍然有不少文章对它进行讨论,并提出一些新的见解[3～6].

本文讨论一维无限深方势阱中束缚态中波函数的相位问题，其中数学计算相对容易，物理图像清晰,对于深入理解波函数具有相位不确定性这一特性可以起到一定的积极作用.

1 无限深势阱的波函数

考虑在一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内（x=-a到x=a）为零，而在此区域外势能为无限大.粒子的势可由下式描述：

这种势称为一维无限深势阱.它的一组波函数的解为：

2 波函数曲线

由（2）和（3）式可作出波函数图1～图6.由（4）式作出的波函数图为图7～图12.作图时以势阱宽度a为单位长度.下面根据（2）式编制程序绘制n=2，4，6的波函数,根据（3）式编制程序绘制n=1，3，5的波函数.而根据（4）编制的程序可以绘制n=1，2，3，4，5，6的波函数.

图1 利用式（3）绘制的n=1的波函数图像

图2 利用式（2）式绘制的n=2的波函数图像

图3 利用（3）式绘制的n=3的波函数曲线

图4 利用（2）式绘制的n=4的波函数曲线

图5 利用（3）式绘制的n=5的波函数曲线

图6 利用（2）式绘制的n=6的波函数曲线

图7 利用式（4）绘制的n=1的波函数图像

图8 利用式（4）绘制的n=2的波函数图像

图9 利用（4）式绘制的n=3的波函数曲线

图10 利用（4）式绘制的n=4的波函数曲线

图11 利用（4）式绘制的n=5的波函数曲线

图12 利用（4）式绘制的n=6的波函数曲线

从（5）和（6）式看出（2）式、（3）式与（4）式之间有一个相位差为（-1）k=eikπ=einπ/2（k=n/2）（n偶数）和（-1）k=eikπ=ei（n-1）π/2（k=（n-1）/2）（n为奇数）.所以当n=1，4，5…时两者绘出的波函数图形是相同的，但当n=2，3，6，7…时两者绘出的图是反相的.即当n取奇数时，对于使ei（n-1）π/2=1的奇数两波函数的相位相同，对于使ei（n-1）π/2=-1的奇数两波函数的相位相反.即当n取偶数时，对于使einπ/2=1的偶数两波函数的相位相同，对于使e-inπ/2=-1的偶数两波函数的相位相反.

3 概率密度曲线

当然（2）和（3）式与（4）式描写的粒子的概率密度应该是一致的，这非常关键，因为在同一时刻同一地点找到粒子的概率是一可测量的物理量，解应该是唯一的，不可能存在两种不同的结论.根据量子力学的基本原理，波函数可以相差一常数相位因子，所以（2）式和（3）式与（4）式描写的波函数都是可以的（仅差一相位因子）.我们分别由（2）和（3）式与（4）式绘制的概率密度曲线，如图13～图18.发现由（2）和（3）式与（4）式绘制的概率密度曲线完全一致.