集合中的多解、少解与错解

祁居攀

集合问题在历年的高考数学试卷中，多以选择题、填空题的形式出现，考查的内容有集合的概念、集合的运算等，属于容易题的范畴，但是如果对集合问题中容易出错点不加以重视，也很容易造成丢解或错解.

一、集合中的多解问题

1.不注意验证导致多解

例1设全集U={2，3，a2+2a-3}，A={2，|2a-1|}，UA={5}，则实数a的值是.

错因分析：本题易出现多解的错误，如解题过程中由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4.

正确解析：∵UA={5}，∴5A，且5∈U，由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4，

当a=2时，A={2，3}，符合条件；当a=-4时，A={2，9}，而9U，不符合条件，故填2.

纠错心得：集合的元素具有确定性、互异性、无序性三大特征，因此当集合中含有未知的参数时，在根据条件求出参数的值后，注意要将结果代回原集合中验证，看是否满足这些特征，此类题易出现多解的错误.

2.忽视了集合中元素的互异性导致多解

例2已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值.

错解：∵1∈A，a=1或a2=1，解得a=±1.

正确解析：∵1∈A，a=1或a2=1解得a=±1.

当a=1时，集合A有重复元素，∴a≠1.

当a=-1时，集合A={1，-1}，符合互异性，a=-1.

错因分析：忽视了集合中元素的互异性，这是由于对集合概念理解不深而导致的错误.

二、集合中的少解问题

1.“漏空集”导致少解

例3已知A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，则m的取值范围是.

错因分析：本题易出现少解的情况，即忽略B为空集的情况.

通过解m+1≤2m-1

m+1≥-2

2m-1≤5得到2≤m≤3.

正确解析：①当m+1>2m-1时，即m<2，B=，满足BA；

②当m+1=2m-1时，即m=2，此时x=3，B={3}，满足BA；

③当m+1<2m-1时，即m>2，B≠，由BA得m+1≥-2

2m-1≤5即2

综上可得，m的取值范围为{m|m≤3}.

纠错心得：涉及集合的交、并、补运算时，注意集合是否为空集，即在限制条件“AB”，“A∩B=A”，“A∪B=B”下，A=均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集易产生丢解的情况.

2.“漏端点”导致少解

例4已知集合A={x|x2-2x-3<0}，B={x||x|

A. 0

C. 0

解析：由题得A={x|-1

错因分析：本题易出现少解的情况，即忽略端点是否重合的情况.

由题得-a>-1

a<3

a>0得0

正确解析：①当a=1时B={x|-1

②当a=3时B={x|-3

③由-a>-1

a<3

a>0得0

纠错心得：要彻底理解子集、真子集、集合相等的概念，熟练掌握两集合关系的判断.与不等式相关的集合运算问题要注意端点值的取舍，否则会导致少解或多解的情况，为避免此种问题的发生，应先让端点重合求出参数的值，然后将结果代回原集合中检验，看是否满足题意.

3.“漏系数”导致少解

例5已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围.

错因分析：此题容易出现少解情况，即忽略m=0的情况.

由方程mx2-2x+3=0则Δ=4-12m≤0得m≥13，

即当m≥13时，方程mx2-2x+3=0无实根或有两个相等的实数根，符合题意.故m≥13.

解题思路：A中元素至多只有一个，分两类：

①当m=0时，原方程为-2x+3=0，x=32符合题意；

②当m≠0时，方程mx2-2x+3=0为一元二次方程，由Δ=4-12m≤0得m≥13，

即当m≥13时，方程mx2-2x+3=0无实根或有两个相等的实数根，符合题意.

由上所述：m=0或m≥13.

纠错心得：此题集合A表示含参方程解的个数，容易将含参方程直接理解成一元二次方程求解，产生丢解的情况，因此解决含参数的方程或不等式时，要对其最高次项的系数进行讨论.

三、集合中的错解问题

例6已知集合A={y|y=x+1}，B={（x，y）|x2+y2=1}，则集合A∩B中元素的个数是（）

A. B. 1C. 2D. 多个

错因分析：误区1：直线y=x+1与圆x2+y2=1有两个交点，错选C.这是由于将A的代表元素y理解成（x，y），从而将A理解成了直线上的点集.解答时只注重了集合中元素的属性，而忽视了其中的代表元素.

误区2：方程y=x+1中y的取值范围是R，方程x2+y2=1中y的取值范围是[-1，1]，

故A∩B=[-1，1]，元素个数无穷多个，错选D.这是由于将A、B都看成了数集.

解题思路：因集合A表示函数y=x+1的值域，是数集，且M=R，集合B表示满足方程x2+y2=1的有序实数对，也可以说是表示圆x2+y2=1上的点，是点集，故A∩B=，应选A.

纠错心得：这里的集合A、B是用描述法表示的，首先要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性；从而确定该集合表示的意义，是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等，解决这一类问题时，一定要抓住集合及其元素的实质.

总之，对集合的概念及集合元素的理解是解决有关集合问题的基础，对容易遗漏的地方多加重视是解题的关键.

集合问题在历年的高考数学试卷中，多以选择题、填空题的形式出现，考查的内容有集合的概念、集合的运算等，属于容易题的范畴，但是如果对集合问题中容易出错点不加以重视，也很容易造成丢解或错解.

一、集合中的多解问题

1.不注意验证导致多解

例1设全集U={2，3，a2+2a-3}，A={2，|2a-1|}，UA={5}，则实数a的值是.

错因分析：本题易出现多解的错误，如解题过程中由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4.

正确解析：∵UA={5}，∴5A，且5∈U，由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4，

当a=2时，A={2，3}，符合条件；当a=-4时，A={2，9}，而9U，不符合条件，故填2.

纠错心得：集合的元素具有确定性、互异性、无序性三大特征，因此当集合中含有未知的参数时，在根据条件求出参数的值后，注意要将结果代回原集合中验证，看是否满足这些特征，此类题易出现多解的错误.

2.忽视了集合中元素的互异性导致多解

例2已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值.

错解：∵1∈A，a=1或a2=1，解得a=±1.

正确解析：∵1∈A，a=1或a2=1解得a=±1.

当a=1时，集合A有重复元素，∴a≠1.

当a=-1时，集合A={1，-1}，符合互异性，a=-1.

错因分析：忽视了集合中元素的互异性，这是由于对集合概念理解不深而导致的错误.

二、集合中的少解问题

1.“漏空集”导致少解

例3已知A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，则m的取值范围是.

错因分析：本题易出现少解的情况，即忽略B为空集的情况.

通过解m+1≤2m-1

m+1≥-2

2m-1≤5得到2≤m≤3.

正确解析：①当m+1>2m-1时，即m<2，B=，满足BA；

②当m+1=2m-1时，即m=2，此时x=3，B={3}，满足BA；

③当m+1<2m-1时，即m>2，B≠，由BA得m+1≥-2

2m-1≤5即2

综上可得，m的取值范围为{m|m≤3}.

纠错心得：涉及集合的交、并、补运算时，注意集合是否为空集，即在限制条件“AB”，“A∩B=A”，“A∪B=B”下，A=均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集易产生丢解的情况.

2.“漏端点”导致少解

例4已知集合A={x|x2-2x-3<0}，B={x||x|

A. 0

C. 0

解析：由题得A={x|-1

错因分析：本题易出现少解的情况，即忽略端点是否重合的情况.

由题得-a>-1

a<3

a>0得0

正确解析：①当a=1时B={x|-1

②当a=3时B={x|-3

③由-a>-1

a<3

a>0得0

纠错心得：要彻底理解子集、真子集、集合相等的概念，熟练掌握两集合关系的判断.与不等式相关的集合运算问题要注意端点值的取舍，否则会导致少解或多解的情况，为避免此种问题的发生，应先让端点重合求出参数的值，然后将结果代回原集合中检验，看是否满足题意.

3.“漏系数”导致少解

例5已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围.

错因分析：此题容易出现少解情况，即忽略m=0的情况.

由方程mx2-2x+3=0则Δ=4-12m≤0得m≥13，

即当m≥13时，方程mx2-2x+3=0无实根或有两个相等的实数根，符合题意.故m≥13.

解题思路：A中元素至多只有一个，分两类：

①当m=0时，原方程为-2x+3=0，x=32符合题意；

②当m≠0时，方程mx2-2x+3=0为一元二次方程，由Δ=4-12m≤0得m≥13，

即当m≥13时，方程mx2-2x+3=0无实根或有两个相等的实数根，符合题意.

由上所述：m=0或m≥13.

纠错心得：此题集合A表示含参方程解的个数，容易将含参方程直接理解成一元二次方程求解，产生丢解的情况，因此解决含参数的方程或不等式时，要对其最高次项的系数进行讨论.

三、集合中的错解问题

例6已知集合A={y|y=x+1}，B={（x，y）|x2+y2=1}，则集合A∩B中元素的个数是（）

A. B. 1C. 2D. 多个

错因分析：误区1：直线y=x+1与圆x2+y2=1有两个交点，错选C.这是由于将A的代表元素y理解成（x，y），从而将A理解成了直线上的点集.解答时只注重了集合中元素的属性，而忽视了其中的代表元素.

误区2：方程y=x+1中y的取值范围是R，方程x2+y2=1中y的取值范围是[-1，1]，

故A∩B=[-1，1]，元素个数无穷多个，错选D.这是由于将A、B都看成了数集.

解题思路：因集合A表示函数y=x+1的值域，是数集，且M=R，集合B表示满足方程x2+y2=1的有序实数对，也可以说是表示圆x2+y2=1上的点，是点集，故A∩B=，应选A.

纠错心得：这里的集合A、B是用描述法表示的，首先要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性；从而确定该集合表示的意义，是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等，解决这一类问题时，一定要抓住集合及其元素的实质.

总之，对集合的概念及集合元素的理解是解决有关集合问题的基础，对容易遗漏的地方多加重视是解题的关键.

集合问题在历年的高考数学试卷中，多以选择题、填空题的形式出现，考查的内容有集合的概念、集合的运算等，属于容易题的范畴，但是如果对集合问题中容易出错点不加以重视，也很容易造成丢解或错解.

一、集合中的多解问题

1.不注意验证导致多解

例1设全集U={2，3，a2+2a-3}，A={2，|2a-1|}，UA={5}，则实数a的值是.

错因分析：本题易出现多解的错误，如解题过程中由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4.

正确解析：∵UA={5}，∴5A，且5∈U，由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4，

当a=2时，A={2，3}，符合条件；当a=-4时，A={2，9}，而9U，不符合条件，故填2.

纠错心得：集合的元素具有确定性、互异性、无序性三大特征，因此当集合中含有未知的参数时，在根据条件求出参数的值后，注意要将结果代回原集合中验证，看是否满足这些特征，此类题易出现多解的错误.

2.忽视了集合中元素的互异性导致多解

例2已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值.

错解：∵1∈A，a=1或a2=1，解得a=±1.

正确解析：∵1∈A，a=1或a2=1解得a=±1.

当a=1时，集合A有重复元素，∴a≠1.

当a=-1时，集合A={1，-1}，符合互异性，a=-1.

错因分析：忽视了集合中元素的互异性，这是由于对集合概念理解不深而导致的错误.

二、集合中的少解问题

1.“漏空集”导致少解

例3已知A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，则m的取值范围是.

错因分析：本题易出现少解的情况，即忽略B为空集的情况.

通过解m+1≤2m-1

m+1≥-2

2m-1≤5得到2≤m≤3.

正确解析：①当m+1>2m-1时，即m<2，B=，满足BA；

②当m+1=2m-1时，即m=2，此时x=3，B={3}，满足BA；

③当m+1<2m-1时，即m>2，B≠，由BA得m+1≥-2

2m-1≤5即2

综上可得，m的取值范围为{m|m≤3}.

纠错心得：涉及集合的交、并、补运算时，注意集合是否为空集，即在限制条件“AB”，“A∩B=A”，“A∪B=B”下，A=均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集易产生丢解的情况.

2.“漏端点”导致少解

例4已知集合A={x|x2-2x-3<0}，B={x||x|

A. 0

C. 0

解析：由题得A={x|-1

错因分析：本题易出现少解的情况，即忽略端点是否重合的情况.

由题得-a>-1

a<3

a>0得0

正确解析：①当a=1时B={x|-1

②当a=3时B={x|-3

③由-a>-1

a<3

a>0得0

纠错心得：要彻底理解子集、真子集、集合相等的概念，熟练掌握两集合关系的判断.与不等式相关的集合运算问题要注意端点值的取舍，否则会导致少解或多解的情况，为避免此种问题的发生，应先让端点重合求出参数的值，然后将结果代回原集合中检验，看是否满足题意.

3.“漏系数”导致少解

例5已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围.

错因分析：此题容易出现少解情况，即忽略m=0的情况.

由方程mx2-2x+3=0则Δ=4-12m≤0得m≥13，

即当m≥13时，方程mx2-2x+3=0无实根或有两个相等的实数根，符合题意.故m≥13.

解题思路：A中元素至多只有一个，分两类：

①当m=0时，原方程为-2x+3=0，x=32符合题意；

②当m≠0时，方程mx2-2x+3=0为一元二次方程，由Δ=4-12m≤0得m≥13，

即当m≥13时，方程mx2-2x+3=0无实根或有两个相等的实数根，符合题意.

由上所述：m=0或m≥13.

纠错心得：此题集合A表示含参方程解的个数，容易将含参方程直接理解成一元二次方程求解，产生丢解的情况，因此解决含参数的方程或不等式时，要对其最高次项的系数进行讨论.

三、集合中的错解问题

例6已知集合A={y|y=x+1}，B={（x，y）|x2+y2=1}，则集合A∩B中元素的个数是（）

A. B. 1C. 2D. 多个

错因分析：误区1：直线y=x+1与圆x2+y2=1有两个交点，错选C.这是由于将A的代表元素y理解成（x，y），从而将A理解成了直线上的点集.解答时只注重了集合中元素的属性，而忽视了其中的代表元素.

误区2：方程y=x+1中y的取值范围是R，方程x2+y2=1中y的取值范围是[-1，1]，

故A∩B=[-1，1]，元素个数无穷多个，错选D.这是由于将A、B都看成了数集.

解题思路：因集合A表示函数y=x+1的值域，是数集，且M=R，集合B表示满足方程x2+y2=1的有序实数对，也可以说是表示圆x2+y2=1上的点，是点集，故A∩B=，应选A.

纠错心得：这里的集合A、B是用描述法表示的，首先要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性；从而确定该集合表示的意义，是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等，解决这一类问题时，一定要抓住集合及其元素的实质.

总之，对集合的概念及集合元素的理解是解决有关集合问题的基础，对容易遗漏的地方多加重视是解题的关键.